2021版高考数学一轮复习核心素养测评十四利用导数研究函数的单调性理北师大版

2021版高考数学一轮复习核心素养测评十四利用导数研究函数的单调性理北师大版

核心素养测评十四 利用导数研究函数的单调性 ‎(30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.函数y=f(x)=x3-x2+的图像大致是 (　　)‎ ‎【解析】选A.因为f(0)=,所以排除C;因为f′(x)=3x2-2x,令f′(x)>0,所以 x∈(-∞,0)或 x∈时f(x)单调递增,令f′(x)<0,所以x∈时f(x)单调递减,排除B,D.‎ ‎2.下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是 (　　)‎ A.f(x)=sin 2x B.f(x)=xex C.f(x)=x3-x　　　 D.f(x)=-x+ln x ‎【解析】选B.对于A,f(x)=sin 2x的单调递增区间是(k∈Z);对于B,f′(x)=ex(x+1),当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,所以函数f(x)=xex在(0,+∞)上为增函数;对于C,f′(x)=3x2-1,令f′(x)>0,得x>或x<-,所以函数f(x)=x3-x在和上单调递增;对于D,f′(x)=-1+=-,令f′(x)>0,得00‎ C.a≤0 D.a<0‎ ‎【解析】选A.因为f(x)==ax-,‎ 所以f′(x)=a+.‎ 因为函数f(x)=在(0,+∞)上单调递增,‎ 所以f′(x)=a+≥0在(0,+∞)上恒成立且不恒为零,即a≥-在(0,+∞)上恒成立且不恒为零,所以a≥0.‎ ‎【变式备选】‎ 若函数f(x)=kex+x在(0,+∞)上单调递减,则k的范围为 (　　)‎ A.k≥-1 　　　　　　　 B.k≤-1‎ C.k≥1 D.k≤1‎ ‎【解析】选B.f′(x)=kex+1.‎ 由题意得kex+1≤0在(0,+∞)上恒成立,‎ 即k≤-,x∈(0,+∞).‎ 当x∈(0,+∞)时,-∈(-1,0),‎ - 10 -‎ 所以k≤-1.‎ ‎5.(2020·南昌模拟)已知函数f(x+1)是偶函数,当x∈(1,+∞)时,函数f(x)=sin x-x,设a=f,b=f(3),c=f(0),则a,b,c的大小关系为 (　　)‎ A.b-时,f ′(x)<0,当00,所以f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.‎ 答案:　‎ ‎8.(2020·西安模拟)已知函数f(x)=ax3+bx2的图像经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.若函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,则m的取值范围是________________.  ‎ ‎【解析】因为f(x)=ax3+bx2的图像经过点M(1,4),‎ 所以a+b=4,①‎ f′(x)=3ax2+2bx,则f′(1)=3a+2b.‎ 由题意可得f′(1)·=-1,即3a+2b=9.②‎ 联立①②两式解得a=1,b=3,‎ 所以f(x)=x3+3x2,f′(x)=3x2+6x.‎ - 10 -‎ 令f′(x)=3x2+6x≥0,得x≥0或x≤-2.‎ 因为函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,‎ 所以[m,m+1]⊆(-∞,-2]∪[0,+∞),‎ 所以m≥0或m+1≤-2,即m≥0或m≤-3.‎ 答案:(-∞,-3]∪[0,+∞)‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图像过点P(1,2),且在点P处的切线斜率为8.‎ ‎(1)求a,b的值.‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间.‎ ‎【解析】(1)因为函数f(x)的图像过点P(1,2),‎ 所以f(1)=2.所以a+b=1.①‎ 又函数图像在点P处的切线斜率为8,‎ 所以f ′(1)=8.又f ′(x)=3x2+2ax+b,所以2a+b=5.②‎ 解由①②组成的方程组,可得a=4,b=-3.‎ ‎(2)由(1)得f ′(x)=3x2+8x-3,‎ 令f ′(x)>0,可得x<-3或x>;‎ 令f ′(x)<0,可得-30得x>-1, ‎ 由f′(x)<0得x<-1,‎ 所以f(x)在(-∞,-1)上递减,‎ - 10 -‎ 在(-1,+∞)上递增.‎ ‎②当-0得x-1,由f′(x)<0得ln(-a)0得x<-1或x>ln(-a),由f′(x)<0得-10 B.x1+x2>0‎ C.->0 D.-<0‎ ‎【解析】选D.由f(x)=xsin x,得f′(x)=sin x+xcos x=cos x(tan x+x),当x∈时,f′(x)>0,即f(x)在上是增加的,又因为f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x),所以f(x)为偶函数,所以当f(x1)2时,F(x)<0,即f(x)0,即f(x)>x+4.‎ 答案:(2,+∞)‎ - 10 -‎ ‎【变式备选】‎ 函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为________________ . ‎ ‎【解析】由f(x)>2x+4,得f(x)-2x-4>0,设F(x)=f(x)-2x-4,则F′(x)=f′(x)-2,因为f′(x)>2,所以F′(x)>0在R上恒成立,所以F(x)在R上单调递增,而F(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-4>0等价于F(x)>F(-1),所以x>-1.‎ 答案:(-1,+∞)‎ ‎4.(10分)已知函数f(x)=x3-ax-1. ‎ ‎(1)若f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,求a的取值范围.‎ ‎(2)若f(x)在区间(-1,1)上为减函数,求a的取值范围.‎ ‎(3)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求a的值.‎ ‎【解析】(1)因为f ′(x)=3x2-a,且f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,所以f ′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,即3x2-a≥0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3,即a的取值范围是(-∞,3].‎ ‎(2)由题意得f ′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,所以a≥3x2在(-1,1)上恒成立.因为-10.因为f(x)=x3-ax-1,所以f ′(x)=3x2-a.‎ 由f ′(x)=0,得x=±,‎ 因为f(x)在区间(-1,1)上单调递减,所以=1,即a=3.‎ ‎5.(10分)已知函数f(x)=x2+(a+1)x+2ln(x-1). ‎ ‎(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线2x-y+1=0平行,求出这条切线的方程.‎ ‎(2)讨论函数f(x)的单调区间.‎ ‎【解析】 (1)f′(x)=ax+a+1+,‎ 得切线斜率为k=f′(2)=3a+3,‎ 据题设,k=2,所以a=-,故有f(2)=,‎ 所以切线方程为y-f(2)=2(x-2),‎ 即6x-3y-10=0.‎ - 10 -‎ ‎(2)f′(x)=ax+a+1+‎ ‎==(x>1).‎ 当a=0时,f′(x)=,‎ 由于x>1,所以f′(x)=>0,‎ 可知函数f(x)在定义区间(1,+∞)上单调递增,‎ 当a≠0时,‎ f′(x)=.‎ 若a>0,则<1,‎ 可知当x>1时,有f′(x)>0,‎ 函数f(x)在定义区间(1,+∞)上单调递增,‎ 若a<0,则>1,‎ 得当x∈时,f′(x)>0;‎ 当x∈时,f′(x)<0.‎ 所以,函数f(x)在区间上单调递增,‎ - 10 -‎ 在区间上单调递减.‎ 综上,当a≥0时,函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞);‎ 当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为,递减区间为.‎ 定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足x2f′(x)+1>0,f(2)=,则不等式f(lg x)<‎ ‎+4的解集为 (　　)‎ A.(10,100) B.(0,100)‎ C.(100,+∞)　　　 D.(1,100)‎ ‎【解析】选D.令g(x)=f(x)-,‎ 则g′(x)=f′(x)+>0,‎ g(x)在(0,+∞)上递增,‎ 而g(2)=f(2)- =4,‎ 故由f(lg x)<+4,得g(lg x)

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