【数学】2020届一轮复习人教版数列的概念及简单表示法学案

【数学】2020届一轮复习人教版数列的概念及简单表示法学案

‎ ‎ 第1节　数列的概念及简单表示法 考试要求　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；‎ ‎2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.‎ 知 识 梳 理 ‎1.数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.‎ ‎2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项 间的大 小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N*‎ 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 ‎3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.‎ ‎4.数列的通项公式 ‎(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.‎ ‎(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.‎ ‎[微点提醒]‎ ‎1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ ‎2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.‎ ‎3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.‎ 基 础 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(　　)‎ ‎(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.(　　)‎ ‎(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.(　　)‎ ‎(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)‎ 解析　(1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列.‎ ‎(2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列.‎ ‎(3)数列可以是常数列或摆动数列.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2.(必修5P33A4改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析　a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，‎ a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.‎ 答案　D ‎3.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.‎ 解析　由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，归纳an＝5n－4.‎ 答案　5n－4‎ ‎4.(2019·山东省实验中学摸底)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，Sn为其前n项和，则S5的值为(　　)‎ A.57 B.61 C.62 D.63‎ 解析　由条件可得a2＝2a1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝7，a4＝2a3＋1＝15，a5＝2a4＋1＝31，所以S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋3＋7＋15＋31＝57.‎ 答案　A ‎5.(2018·北京朝阳区月考)数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式an等于(　　)‎ A. B.cos C.cos π D.cos π 解析　令n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D正确.‎ 答案　D ‎6.(2019·天津河东区一模)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1＝________.‎ 解析　∵Sn＝，a4＝32，则a4＝S4－S3＝32.‎ ‎∴－＝32，∴a1＝.‎ 答案　 考点一　由数列的前几项求数列的通项 ‎【例1】 (1)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是(　　)‎ A.an＝(－1)n－1＋1 B.an＝ C.an＝2sin D.an＝cos(n－1)π＋1‎ ‎(2)已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是________.‎ 解析　(1)对n＝1，2，3，4进行验证，an＝2sin不合题意.‎ ‎(2)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－，‎ 故原数列可变为－，，－，，…，‎ 故其通项公式可以为an＝(－1)n·.‎ 答案　(1)C　(2)an＝(－1)n· 规律方法　由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 ‎(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.‎ ‎(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理.‎ ‎【训练1】 写出下列各数列的一个通项公式：‎ ‎(1)－，，－，，…；‎ ‎(2)，2，，8，，…；‎ ‎(3)5，55，555，5 555，….‎ 解　(1)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n×，n∈N*.‎ ‎(2)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即，，，，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝.‎ ‎(3)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1).‎ 考点二　由an与Sn的关系求通项　易错警示 ‎【例2】 (1)(2019·广州质检)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________________.‎ ‎(2)(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1，则S6＝________.‎ 解析　(1)由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，‎ 当n＝1时，a1＝S1＝3；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝ ‎(2)由Sn＝2an＋1，得a1＝2a1＋1，所以a1＝－1.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，‎ 得an＝2an－1.‎ ‎∴数列{an}是首项为－1，公比为2的等比数列.‎ ‎∴S6＝＝＝－63.‎ 答案　(1)an＝　(2)－63‎ 规律方法　数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝①当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；②当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示.‎ 易错警示　在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形.例如例2第(1)题易错误求出an＝2n(n∈N*).‎ ‎【训练2】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则数列{an}的通项公式an＝________.‎ ‎(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则数列的通项公式an＝________.‎ 解析　(1)a1＝S1＝2－3＝－1，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，‎ 由于a1也适合上式，∴an＝4n－5.‎ ‎(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2·3n－1.‎ 显然当n＝1时，不满足上式.‎ ‎∴an＝ 答案　(1)4n－5　(2) 考点三　由数列的递推关系求通项　易错警示 ‎【例3】 (1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于(　　)‎ A.2＋ln n B.2＋(n－1)ln n C.2＋nln n D.1＋n＋ln n ‎(2)若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________.‎ ‎(3)若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________.‎ ‎(4)若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则an＝________.‎ 解析　(1)因为an＋1－an＝ln ＝ln(n＋1)－ln n，‎ 所以a2－a1＝ln 2－ln 1，‎ a3－a2＝ln 3－ln 2，‎ a4－a3＝ln 4－ln 3，‎ an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2).‎ 把以上各式分别相加得an－a1＝ln n－ln 1，‎ 则an＝2＋ln n，且a1＝2也适合，‎ 因此an＝2＋ln n(n∈N*).‎ ‎(2)由nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，得＝(n≥2).‎ 所以an＝···…···a1‎ ‎＝···…···1＝，‎ 又a1也满足上式，所以an＝.‎ ‎(3)由an＋1＝2an＋3，得an＋1＋3＝2(an＋3).‎ 令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.‎ 所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列.‎ ‎∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.‎ ‎(4)因为an＋1＝，a1＝1，所以an≠0，‎ 所以＝＋，即－＝.‎ 又a1＝1，则＝1，‎ 所以是以1为首项，为公差的等差数列.‎ 所以＝＋(n－1)×＝＋＝.‎ 所以an＝.‎ 答案　(1)A　(2)　(3)2n＋1－3　(4) 规律方法　由数列的递推关系求通项公式的常用方法 ‎(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.‎ ‎(2)已知a1(a1≠0)，且＝f(n)，可用“累乘法”求an.‎ ‎(3)已知a1，且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可用待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列.‎ ‎(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.‎ 易错警示　本例(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a1是否适合所求式.‎ ‎【训练3】 (1)(2019·山东、湖北部分重点中学联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1，则an＝________.‎ ‎(2)若a1＝1，an＋1＝2nan，则通项公式an＝________.‎ 解析　(1)a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1⇒an＋1－an＝2n－1＋1⇒an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，‎ 则an＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋n－1＋a1‎ ‎＝＋n－1＋2＝2n－1＋n.‎ ‎(2)由an＋1＝2nan，得＝2n－1(n≥2)，‎ 所以an＝··…··a1‎ ‎＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2.‎ 又a1＝1适合上式，故an＝2.‎ 答案　(1)2n－1＋n　(2)2 考点四　数列的性质 ‎【例4】 (1)数列{an}的通项an＝，则数列{an}中的最大项是(　　)‎ A.3 B.19 C. D. ‎(2)数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2 019项为________.‎ 解析　(1)令f(x)＝x＋(x>0)，运用基本不等式得f(x)≥2，当且仅当x＝3时等号成立.因为an＝，所以≤，由于n∈N*，不难发现当n＝9或n＝10时，an＝最大.‎ ‎(2)由已知可得，a2＝2×－1＝，a3＝2×＝，‎ a4＝2×＝，a5＝2×－1＝，‎ ‎∴{an}为周期数列且T＝4，‎ ‎∴a2 019＝a504×4＋3＝a3＝.‎ 答案　(1)C　(2) 规律方法　1.在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性.‎ ‎2.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用周期性求值.(2)数列的单调性只需判定an与an＋1的大小，常用比差或比商法进行判断.‎ ‎【训练4】 (1)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，则a2 020＝________.‎ ‎(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是________.‎ 解析　(1)∵a1＝1，an＋1＝a－2an＋1＝(an－1)2，‎ ‎∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{an}是以2为周期的数列，∴a2 020＝a2＝0.‎ ‎(2)由an＋1>an知该数列是一个递增数列，‎ 又通项公式an＝n2＋kn＋4，所以(n＋1)2＋k(n＋1)＋4>n2＋kn＋4，即k>－1－2n.‎ 又n∈N*，所以k>－3.‎ 答案　(1)0　(2)(－3，＋∞)‎ ‎[思维升华]‎ ‎1.数列是特殊的函数，要利用函数的观点认识数列.‎ ‎2.已知递推关系求通项公式的三种常见方法：‎ ‎(1)算出前几项，再归纳、猜想.‎ ‎(2)形如“an＋1＝pan＋q”这种形式通常转化为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列.‎ ‎(3)递推公式化简整理后，若为an＋1－an＝f(n)型，则采用累加法；若为＝f(n)型，则采用累乘法.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.解决数列问题应注意三点 ‎(1)在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值是正整数.‎ ‎(2)数列的通项公式不一定唯一.‎ ‎(3)注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2.‎ ‎2.数列{an}中，若an最大，则an≥an－1且an≥an＋1；若an最小，则an≤an－1且an≤an＋1.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.数列1，3，6，10，15，…的一个通项公式是(　　)‎ A.an＝n2－(n－1) B.an＝n2－1‎ C.an＝ D.an＝ 解析　观察数列1，3，6，10，15，…可以发现：‎ ‎1＝1，‎ ‎3＝1＋2，‎ ‎6＝1＋2＋3，‎ ‎10＝1＋2＋3＋4，‎ ‎…‎ 所以第n项为1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝，‎ 所以数列1，3，6，10，15，…的通项公式为an＝.‎ 答案　C ‎2.已知数列{an}满足：任意m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由题意，得a2＝a1a1＝，a3＝a1·a2＝，则a5＝a3·a2＝.‎ 答案　A ‎3.(2019·江西重点中学盟校联考)在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N*)，则a2 019的值为(　　)‎ A.－ B.5 C. D. 解析　在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N*)，所以a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－，所以{an}是以3为周期的周期数列，所以a2 019＝a673×3＝a3＝.‎ 答案　C ‎4.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，则S5＝(　　)‎ A.31 B.42 C.37 D.47‎ 解析　由题意，得Sn＋1－Sn＝Sn＋1(n∈N*)，∴Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)(n∈N*)，故数列{Sn＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2，则S5＋1＝3×24，所以S5＝47.‎ 答案　D ‎5.(2019·成都诊断)已知f(x)＝数列{an}(n∈N*)满足an＝f(n)，且{an}是递增数列，则a的取值范围是(　　)‎ A.(1，＋∞) B. C.(1，3) D.(3，＋∞)‎ 解析　因为{an}是递增数列，‎ 所以解得a>3，‎ 则a的取值范围是(3，＋∞).‎ 答案　D 二、填空题 ‎6.在数列－1，0，，，…，，…中，0.08是它的第________项.‎ 解析　令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，‎ 则(2n－5)(n－10)＝0，解得n＝10或n＝(舍去).‎ 所以a10＝0.08.‎ 答案　10‎ ‎7.若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.‎ 解析　当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式.‎ 故数列的通项公式为an＝ 答案　 ‎8.在数列{an}中，a1＝2，＝＋ln，则an＝________.‎ 解析　由题意得－＝ln(n＋1)－ln n，－＝ln n－ln(n－1)(n≥2).‎ ‎∴－＝ln 2－ln 1，－＝ln 3－ln 2，…，‎ －＝ln n－ln(n－1)(n≥2).‎ 累加得－＝ln n，∴＝2＋ln n(n≥2)，‎ 又a1＝2适合，故an＝2n＋nln n.‎ 答案　2n＋nln n 三、解答题 ‎9.(2016·全国Ⅲ卷)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)求{an}的通项公式.‎ 解　(1)由题意得a2＝，a3＝.‎ ‎(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得 ‎2an＋1(an＋1)＝an(an＋1).‎ 因为{an}的各项都为正数，所以＝.‎ 故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.‎ ‎10.已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*).‎ ‎(1)求a1，a2，a3，a4的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ 解　(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得 a1＝a＋a1，解得a1＝1，‎ S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2，‎ 同理，a3＝3，a4＝4.‎ ‎(2)Sn＝a＋，①‎ 当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②‎ ‎①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.‎ 由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，‎ 又由(1)知a1＝1，‎ 故数列{an}为首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎11.(2019·山东新高考适应性调研)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2 018这2 018个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列共有(　　)‎ A.98项 B.97项 C.96项 D.95项 解析　能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故an＝21n－20，由1≤an≤2 018得1≤n≤97，又n∈N*，故此数列共有97项.‎ 答案　B ‎12.已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·，则数列{an}的项取最大值时，n＝________.‎ 解析　假设第n项为最大项，则 即 解得即4≤n≤5，‎ 又n∈N*，所以n＝4或n＝5，‎ 故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝.‎ 答案　4或5‎ ‎13.(2019·菏泽模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝(－1)n·an－，记bn＝8a2·2n－1，若对任意的n∈N*，总有λbn－1>0成立，则实数λ的取值范围为________.‎ 解析　令n＝1，得a1＝－；‎ 令n＝3，可得a2＋2a3＝；‎ 令n＝4，可得a2＋a3＝，‎ 故a2＝，即bn＝8a2·2n－1＝2n.‎ 由λbn－1>0对任意的n∈N*恒成立，‎ 得λ>对任意的n∈N*恒成立，‎ 又≤，‎ 所以实数λ的取值范围为.‎ 答案　 ‎14.已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0).‎ ‎(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；‎ ‎(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围.‎ 解　(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，‎ 又a＝－7，∴an＝1＋(n∈N*).‎ 结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…＞an>1(n∈N*).‎ ‎∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.‎ ‎(2)an＝1＋＝1＋，‎ 已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，‎ 结合函数f(x)＝1＋的单调性，‎ 可知5<<6，即－10

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