上海市交大附中2019届高三上9月开学摸底考试数学试题（解析版）

上海市交大附中2019届高三上9月开学摸底考试数学试题（解析版）

上海市交大附中高三9月份开学考试 一、填空题.‎ ‎1.方程组的增广矩阵是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据增广矩阵的定义可知为.‎ 考点：本小题主要考查增广矩阵的定义和应用.‎ 点评：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。‎ ‎2.若直线的参数方程为 ，则直线的倾斜角是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程为y+2（x﹣3），求出其斜率，结合直线的斜率与倾斜角的关系可得tanθ，结合θ的范围，分析可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，直线l的参数方程为，‎ 则其普通方程为y+2（x﹣3），‎ 其斜率k，‎ 则有tanθ，且0°≤θ＜180°，‎ 则θ＝120°；‎ 故答案为：120°．‎ ‎【点睛】本题考查直线的参数方程，关键是将直线的参数方程变形为普通方程,熟记斜率与倾斜角的关系是关键，是基础题 ‎3._______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项式定理系数的性质，求解分子，然后利用数列极限的运算法则求解即可．‎ ‎【详解】由二项式定理系数的性质可得，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理系数的性质，数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力，是基础题 ‎4.已知数列的前项的和，则当为正偶数时， ______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求得，当n≥2且n为正偶数时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣[2（n﹣1）﹣1]＝2n﹣2n+3，验证a2＝3适合，由此可得当n为正偶数时的an．‎ ‎【详解】由，‎ 得＝1，；‎ 当n≥2且n为正偶数时，‎ an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣[2（n﹣1）﹣1]＝2n﹣2n+3．‎ 验证＝3适合上式，‎ ‎∴当n为正偶数时，．‎ 故答案为：2n﹣2n+3．‎ ‎【点睛】本题考查数列通项公式，考查利用数列的前n项和求数列的通项公式，是中档题．‎ ‎5.函数是奇函数，那么______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求f（﹣x）＝，再根据f（x）为奇函数，可得出＝-整理化简即可求出a的值．‎ ‎【详解】由题f（﹣x）＝函数是奇函数，∴- f（﹣x）＝，即-解得2,∴‎ 故答案为-1‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的定义，多项式的运算，多项式相等的充要条件，准确利用定义计算是关键，是基础题 ‎6.若函数无最值，则的取值范围是______．‎ ‎【答案】a或a ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意函数f（x）＝lg（x2﹣ax+2）无最值，即f（x）的值域为R，那么（0，+∞）是y＝x2﹣ax+2的值域的子集，即△≥0，可得a的取值范围．‎ ‎【详解】由题意，函数f（x）＝lg（x2﹣ax+2）无最值，即f（x）的值域为R，‎ 那么（0，+∞）是y＝x2﹣ax+2的值域的子集，‎ 即△≥0，‎ ‎∴a2﹣8≥0，‎ 则a或a；‎ 故答案为：a或a．‎ ‎【点睛】本题考查对数型复合函数的值域，考查对数函数的性质，明确真数无最值是突破点，准确利用二次函数的△≥0解决问题是关键，是中档题 ‎7.△的内角，，的对边分别为，，，已知△的面积为，，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用三角形的面积公式和正弦定理求出sinBsinC的值，进一步利用三角函数关系式的变换即可求出A的值．‎ ‎【详解】已知△ABC的面积为，则：S△ABCacsinB，‎ 整理得：3csinBsinA＝2a，‎ 由正弦定理得：3sinCsinBsinA＝2sinA，‎ 由于sinA≠0，‎ 故：sinBsinC，‎ 由于：6cosBcosC＝1，‎ 所以：cosBcosC，‎ 所以：cosBcosC﹣sinBsinC，‎ 所以：cos（B+C），‎ 故：cosA，A 所以：A．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎8.设，是虚数单位，已知集合，，若，则的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B表示圆的圆心移动到了（1，1+b）；两圆面有交点即可求解b的取值范围．‎ ‎【详解】由题意，集合A表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；‎ 集合B表示点的轨迹为（1，1+b），半径为2的圆及内部 ‎∵A∩B≠∅，‎ 说明，两圆面有交点；‎ ‎∴．‎ 可得：，‎ 故答案：，‎ ‎【点睛】本题考查复数几何意义，圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，明确A.B集合的意义是关键，是中档题 ‎9.从双曲线（，）的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若是线段的中点，为坐标原点，则的值是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图所示，设双曲线的右焦点为，连接，，，则，在中，，，所以，又是线段的中点，为中点，‎ 所以，所以即，故应填入.‎ 考点：1.双曲线的定义；2.直线与圆相切；3.数形结合的应用.‎ ‎10.胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，首先，他令，当时，他投一次骰子，若所得点数大于，即令，否则，令，则的概率为______（结果用最简分数表示）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 胡涂涂同学掷了3轮，要使得，分两种情况讨论，再利用古典概型求的概率.‎ ‎【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，有两种情况，① 一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；② 一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；‎ ‎∴由古典概型得所求的概率为 .‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎11.关于的方程恰有3个实数根，，，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令f（x）＝x2+arcsin（cosx）+a，判断f（x）的奇偶性，由题意可得f（0）＝0，求得a，再由反三角函数的定义和性质，化简函数，求得f（x）＝0的解，即可得到所求和．‎ ‎【详解】令f（x）＝x2+arcsin（cosx）+a，‎ 可得f（﹣x）＝（﹣x）2+arcsin（cos（﹣x））+a＝f（x），‎ 则f（x）为偶函数，‎ ‎∵f（x）＝0有三个实数根，‎ ‎∴f（0）＝0，即0a＝0，故有a，‎ 关于x的方程即x2+arcsin（cosx）0，‎ 可设＝0，‎ 且2+arcsin（cos）0，‎ ‎2+arcsin（cos）0，‎ ‎＝﹣，‎ 由y＝x2和yarcsin（cosx），‎ 当x＞0，且0＜x＜π时，yarcsin（cosx）arcsin（sin（x））‎ ‎（x））＝x，‎ 则﹣π＜x＜0时，yarcsin（cosx）＝﹣x，‎ 由y＝x2和yarcsin（cosx）的图象可得：‎ 它们有三个交点，且为（0，0），（﹣1，1），（1，1），‎ 则2+2+2＝0+1+1＝2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程，函数的奇偶性，反三角函数的定义和性质，函数方程的转化思想，以及化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎12.由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是____．‎ ‎①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素；‎ ‎③有一个最大元素，有一个最小元素；④有一个最大元素，没有最小元素.‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意依次举例对四个命题判断，从而确定答案．‎ ‎【详解】若M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故①可能成立；‎ 若M＝{x∈Q|x}，N＝{x∈Q|x}；则M没有最大元素，N也没有最小元素，故②可能成立；‎ 若M＝{x∈Q|x≤0}，N＝{x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故④可能成立；‎ M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，因为这样就有一个有理数不存在M和N两个集合中，与M和N的并集是所有的有理数矛盾，故③不可能成立．‎ 故答案为：①②④‎ ‎【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查列举法和推理能力，对每个选项举出反例说明是关键，属于基础题．‎ 二、选择题。‎ ‎13.已知集合，则下列选项正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据元素与集合的关系，用 ∈ ，集合与集合的关系，用 ⊆ ，可知 B正确.‎ ‎14.在空间直角坐标系中，若点在第Ⅵ卦限，则与点关于轴对称的点在（ ）‎ A. 第Ⅰ卦限 B. 第Ⅲ卦限 C. 第Ⅴ卦限 D. 第Ⅶ卦限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点P的卦限得坐标x，y，z的符号，再得对称点的坐标的符号，从而可得对称点的卦限．‎ ‎【详解】因为点P（x，y，z）在第Ⅵ卦限，所以x＜0，y＞0，z＜0，‎ 点P关于y轴的对称点为（﹣x，y，﹣z），在第Ⅰ卦限．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了空间向量运算的坐标表示，熟记每个卦限的坐标符号是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎15.设，，为实数，则实数“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出方程Ax2+By2＝C表示的曲线为双曲线的充要条件，然后根据充分条件，必要条件的定义来判断．‎ ‎【详解】∵方程Ax2+By2＝C表示的曲线为双曲线，‎ ‎∴，∴AB＜0且C≠0；‎ ‎∵ABC＜0推不出AB＜0且C≠0，‎ AB＜0且C≠0推不出ABC＜0；‎ ‎∴实数“ABC＜0”是“方程Ax2+By2＝C表示的曲线为双曲线”的 非充分非必要条件．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，熟记双曲线的方程的特点，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，是基础题 ‎16.已知、、、是同一平面上不共线的四点，若存在一组正实数、、，使得，则三个角、、（ ）‎ A. 都是钝角 B. 至少有两个钝角 C. 恰有两个钝角 D. 至多有两个钝角 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，移项得，两边同时点乘，得•0，再根据正实数，和向量数量积的定义即可确定∠BOC、∠COA至少有一个为钝角，同理可证明∠AOB、∠BOC至少有一个为钝角，∠AOB、∠COA至少有一个为钝角，从而得到结论．‎ ‎【详解】∵λ1λ2λ3，‎ ‎∴，两边同时点乘，得 ‎•，‎ 即||•||cos∠COA+cos∠BOC＝﹣0，‎ ‎∴∠BOC、∠COA至少有一个为钝角，‎ 同理∠AOB、∠BOC至少有一个为钝角，∠AOB、∠COA至少有一个为钝角，‎ 因此∠AOB、∠BOC、∠COA至少有两个钝角．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查数量积，考查向量的夹角，以及数量积的定义式，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力,是中档题 三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.如图所示，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上不与、重合的一个点.‎ ‎（1）若圆柱的轴截面是正方形，当点是弧的中点时，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；‎ ‎（2）当点是弧的中点时，求四棱锥与圆柱的体积比.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，则，直线与的所成角等于直线与所成角，在△中，利用余弦定理求，即可求解（2）分别求和，再求比值即可 ‎【详解】（1）连接，则，‎ 直线与的所成角等于直线与所成角，‎ 设圆柱的底面半径为，即，，‎ 在△中，，又 所以直线与所成角的大小等于.‎ ‎（2）设圆柱的底面半径为，母线长度为，‎ 当点是弧的中点时，，且平面，‎ ‎，，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查异面直线所成角，圆柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．‎ ‎18.（1）已知是定义在上的奇函数，求实数、的值；‎ ‎（2）已知是定义在上的函数，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝lglgb＝0，解可得b，又由f（x）+f（﹣x）＝0，可得a的值，即可得答案．（2）根据题意，分析可得不等式ax＞0在R上恒成立；即ax恒成立，转化为两个函数y=和y=ax，先求相切的临界情况，再由不等关系，即可得答案．‎ ‎【详解】（1）是定义在R上的奇函数，‎ 则有f（0）＝lglgb＝0，则b，‎ 且f（x）+f（﹣x）＝lg（ax）+lg（ax）﹣2lglg[（x2+2）﹣a2x2]﹣lg2＝lg[（1﹣a2）x2+2）]﹣lg2＝0，‎ 即（1﹣a2）x2＝0恒成立；‎ 可得：a＝±1；‎ 故a＝±1，b；‎ ‎（2）若f（x）＝lg（ax）﹣lgb为定义在R上的函数，‎ 则ax＞0在R上恒成立；即ax恒成立，‎ 令y=此函数为焦点在y轴上的双曲线的上支，令y=ax,当y=ax与y=相切时，两式联立消去y,得,，故ax恒成立时，﹣1‎ 所以证得，即证得 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列综合，不等关系与不等式以及数列求和，放缩法证明不等式，转化化归能力，是难题