【数学】2018届一轮复习人教A版第六章第1讲不等关系与不等式学案

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【数学】2018届一轮复习人教A版第六章第1讲不等关系与不等式学案

知识点 考纲下载 不等关系与不等式 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际 背景. 二元一次不等式(组)与简 单的线性规划问题 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一 次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能 加以解决. 基本不等式 ab≤ a+b 2 (a≥0,b≥0) 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 第 1 讲 不等关系与不等式 ,         [学生用书 P108]) 1.实数大小顺序与运算性质之间的关系 a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔ab⇒ac2>bc2;若 无 c≠0 这个条件,a>b⇒ac2>bc2 就是错误结论(当 c=0 时,取“=”). 2.不等式中的倒数性质 (1)a>b,ab>0⇒ 1 a< 1 b; (2)a<0b>0,0 b d; (4)00 对任意实数 x 恒成立⇔{a=b=0, c > 0, 或{a > 0, Δ < 0. (2)不等式 ax2+bx+c<0 对任意实数 x 恒成立⇔{a=b=0, c < 0, 或{a < 0, Δ < 0. 1.教材习题改编 若 a 1 a        B. 1 a> 1 b C.|a|>|b| D.a2>b2  A [解析] 由 a 1 a不成立. 2.教材习题改编 设 A=(x-3)2,B=(x-2)(x-4),则 A 与 B 的大小为(  ) A.A≥B B.A>B C.A≤B D.A0,所以 A>B.故选 B. 3.教材习题改编 若 a>b,则下列不等式一定成立的是(  ) A.ac2>bc2        B. c2 a < c2 b C.ac2≥bc2 D. c2 a ≤ c2 b  C [解析] 当 c=0 时,A、B 错误;当 a>0,b<0 时,D 错误,故选 C. 4.教材习题改编 下列四个结论,正确的是(  ) ①a>b,cb-d; ②a>b>0,cbd; ③a>b>0⇒3 a>3 b; ④a>b>0⇒ 1 a2> 1 b2. A.①② B.②③ C.①④ D.①③  D [解析] 对于①,因为 a>b,c-d, 所以 a-c>b-d. 对于③,a>b>0,则3 a>3 b>0. 5.教材习题改编 若不等式-x2+2x+m>0 的解集是∅,则实数 m 的取值范围为(  ) A.m≤-1 B.m≥-1 C.m≤1 D.m≥1  A [解析] -x2+2x+m>0, 即为 x2-2x-m<0. 由题意得 Δ=(-2)2-4×1×(-m)≤0, 即 4+4m≤0, 所以 m≤-1.故选 A.  不等式的性质[学生用书 P109] [典例引领]  (1)已知 a,b,c,d 为实数,则“a>b 且 c>d”是“ac+bd>bc+ad”的(  ) A.充分不必要条件    B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)若 1 a< 1 b<0,则下列不等式:①a+b|b|;③ad,所以 c-d>0.又 a>b,所以两边同时乘以(c-d),得 a(c-d)>b(c -d),即 ac+bd>bc+ad.若 ac+bd>bc+ad,则 a(c-d)>b(c-d),也可能 ab 且 c>d”是“ac+bd>bc+ad”的充分不必要条件. (2)因为 1 a< 1 b<0,所以 b0,所以 a+b0,b 的符号不定,对于 b>a,两 边同时乘以正数 c,不等号方向不变. 2.若 a>0>b>-a,cbc;② a d+ b c<0;③a-c>b-d;④a(d-c)>b(d -c)中,成立 的个数是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4  C [解析] 因为 a>0>b,c0, 所以 ad0>b>-a, 所以 a>-b>0, 因为 c-d>0, 所以 a(-c)>(-b)(-d), 所以 ac+bd<0, 所以 a d+b c= ac+bd cd <0,故②正确. 因为 c-d, 因为 a>b,所以 a+(-c)>b+(-d), a-c>b-d,故③正确. 因为 a>b,d-c>0,所以 a(d-c)>b(d-c), 故④正确,故选 C.  比较两个数(式)的大小[学生用书 P109] [典例引领]  (1)已知 a1,a2∈(0,1),记 M=a1a2,N=a1+a2-1,则 M 与 N 的大小关系是(  ) A.MN C.M=N D.不确定 (2)若 a= ln 2 2 ,b= ln 3 3 ,则 a________b(填“>”或“<”). 【解析】 (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1) =a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1), 又因为 a1∈(0,1),a2∈(0,1), 所以 a1-1<0,a2-1<0. 所以(a1-1)(a2-1)>0, 即 M-N>0.所以 M>N. (2)易知 a,b 都是正数, b a= 2ln 3 3ln 2=log89>1,所以 b>a. 【答案】 (1)B (2)< 比较两个数(式)大小的两种方法 [通关练习] 1.对于 0loga(1+1 a ); ③a1+aa1+ 1 a. 其中成立的是(  ) A.①与③ B.①与④ C.②与③ D.②与④  D [解析] 当 0b>0,m>0.试比较 b a与 b+m a+m的大小. [解] 因为 b a- b+m a+m= (b-a)m a(a+m),a>b>0,m>0. 所以 a(a+m)>0,(b-a)m<0. 所以 (b-a)m a(a+m)<0,即 b a- b+m a+m<0,所以 b a< b+m a+m.  不等式的恒成立问题(高频考点)[学生用书 P110] 不等式的恒成立问题是每年高考的热点,题型多为选择题或填空题,有时也出现在解答 题中,属中档题. 高考对不等式的恒成立问题的考查主要有以下三个命题角度: (1)由 f(x)≥0(x∈R)恒成立,求参数的取值范围; (2)由 f(x)≥0(x∈[a,b])恒成立,求参数的取值范围; (3)由 f(x)≥0(m∈[a,b])恒成立,求 x 的取值范围. [典例引领]  (1)若不等式 mx2+2mx-4<2x2+4x 对任意 x 都成立,则实数 m 的取值范围是 (  ) A.(-2,2]        B.(-2,2) C.(-∞,-2)∪[2,+∞) D.(-∞,2] (2)设 f(x)=mx2-mx-1,若 f(x)<-m+5,对于 x∈[1,3]上恒成立,则实数 m 的取值范 围为________. 【解析】 (1)原不等式等价于(m-2)x2+2(m-2)x-4<0, ①当 m=2 时,对任意 x 不等式都成立; ②当 m-2<0 时,Δ=4(m-2)2+16(m-2)<0, 所以-20 时,g(x)在[1,3]上是增函数,所以 g(x)max=g(3)=7m-6<0,所以 m< 6 7,所以 00, 又因为 m(x2-x+1)-6<0,所以 m< 6 x2-x+1. 因为函数 y= 6 x2-x+1= 6 (x-1 2 )2 +3 4 在[1,3]上的最小值为 6 7,所以只需 m< 6 7即可. 所以,m 的取值范围是{m|m< 6 7}. 【答案】 (1)A (2)(-∞, 6 7) 不等式恒成立问题的求解方法 (1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区 间上全部在 x 轴上方,恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下 方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是 主元,求谁的范围,谁就是参数.  [题点通关] 角度一 由 f(x)≥0(x∈R)恒成立,求参数的取值范围 1.若不等式 x2-2x+5≥a2-3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为(  ) A.[-1,4] B.(-∞,-2]∪[5,+∞) C.(-∞,-1]∪[4,+∞) D.[-2,5]  A [解析] x2-2x+5=(x-1)2+4 的最小值为 4,所以 x2-2x+5≥a2-3a 对任意实数 x 恒成立,只需 a2-3a≤4 即可,解得-1≤a≤4. 角度二 由 f(x)≥0(x∈[a,b])恒成立,求参数的取值范围 2.函数 f(x)= x2+2x+a x 对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,则实数 a 的取值范围为 ________. [解析] 因为 x∈[1,+∞)时,f(x)= x2+2x+a x >0 恒成立,即 x2+2x+a>0 恒成立. 即当 x≥1 时,a>-(x2+2x)恒成立. 设 g(x)=-(x2+2x),而 g(x)=-(x2+2x)=-(x+1)2+1 在[1,+∞)上单调递减,所以 g(x)max=g(1)=-3,故 a>-3. 所以,实数 a 的取值范围是(-3,+∞). [答案] (-3,+∞) 角度三 由 f(x)≥0(m∈[a,b])恒成立,求 x 的取值范围 3.已知 a∈[-1,1]时,不等式 x2+(a-4)x+4-2a>0 恒成立,则 x 的取值范围为(  ) A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)  C [解析] 把不等式的左端看成关于 a 的一次函数,记 f(a)=(x-2)a+(x2-4x+4), 则由 f(a)>0 对于任意的 a∈[-1,1]恒成立, 易知只需 f(-1)=x2-5x+6>0, 且 f(1)=x2-3x+2>0 即可, 联立不等式解得 x<1 或 x>3. ,         [学生用书 P111]) ——特值法判断不等式  若 a>b>0,c b c        B. a d< b c C. a c> b d D. a c< b d 【解析】 法一:因为 c-d>0, 所以 1 -d> 1 -c>0. 又 a>b>0,所以 a -d> b -c, 所以 a d< b c.故选 B. 法二:Error!⇒ c cd< d cd<0⇒ Error! ⇒ -a d > -b c ⇒ a d< b c. 法三:令 a=3,b=2,c=-3,d=-2, 则 a c=-1, b d=-1,排除选项 C,D; 又 a d=-3 2, b c=- 2 3,所以 a d< b c,所以选项 A 错误,选项 B 正确.故选 B. 【答案】 B  本题给出三种不同的方法,法一、法二是利用不等式性质变形判断,易 出错,而法三采用特值法验证,简化了过程,提高了准确率.  (2017·四川绵阳中学模拟)下列四个命题中正确命题的个数为(  ) ①若 a>|b|,则 a2>b2;②若 a>b,c>d,则 a-c>b-d; ③若 a>b,c>d,则 ac>bd;④若 a>b>0,则 c a> c b. A.3 B.2 C.1 D.0  C [解析] 易知①正确;②错误,如 3>2,-1>-3,而 3-(-1)=4<2-(-3)=5;③ 错误,如 3>1,-2>-3,而 3×(-2)<1×(-3);④若 a>b>0,则 1 a< 1 b,当 c>0 时, c a< c b,故④ 错误.所以正确的命题只有 1 个. ,          [学生用书 P267(独立成册)]) 1.设 a,b∈[0,+∞),A= a+ b,B= a+b,则 A,B 的大小关系是(  ) A.A≤B        B.A≥B C.AB  B [解析] 由题意得,B2-A2=-2 ab≤0,且 A≥0,B≥0,可得 A≥B. 2.若 m<0,n>0 且 m+n<0,则下列不等式中成立的是(  ) A.-n|a+b|  D [解析] 由于 1 a< 1 b<0,不妨令 a=-1,b=-2,可得 a20, 即 a1b1+a2b2>a1b2+a2b1. [答案] a1b1+a2b2>a1b2+a2b1 8.设 a>b,有下列不等式① a c2> b c2;② 1 a< 1 b;③|a|>|b|;④a|c|≥b|c|,则一定成立的有 ________.(填正确序号) [解析] 对于①, 1 c2>0,故①成立; 对于②,a>0,b<0 时不成立; 对于③,取 a=1,b=-2 时不成立; 对于④,|c|≥0,故④成立. [答案] ①④ 9.若角 α,β满足- π 2 <α<β<π,则 α-β 的取值范围是________. [解析] 因为- π 2 <α<π,- π 2 <β<π, 所以-π<-β< π 2 , 所以- 3π 2 <α-β< 3π 2 .又因为 α<β, 所以 α-β<0,从而- 3π 2 <α-β<0. [答案] (-3π 2 ,0) 10.当且仅当 a∈(m,n)时, 2-ax+x2 1-x+x2 <3 对 x∈R 恒成立,则 m+n=________. [解析] 因为 1-x+x2>0 恒成立, 所以原不等式等价于 2-ax+x2<3(1-x+x2), 即 2x2+(a-3)x+1>0 恒成立. 所以 Δ=(a-3)2-8<0,3-2 2b>0,c e (b-d)2. [证明] 因为 c-d>0, 又因为 a>b>0,所以 a-c>b-d>0. 所以(a-c)2>(b-d)2>0. 所以 0< 1 (a-c)2< 1 (b-d)2. 又因为 e<0,所以 e (a-c)2> e (b-d)2. 12.(2017·盐城一模)若-10,|a|≤1 恒成立的 x 的取值范围. [解] 将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式(x-3)a+x2-6x+9>0. 令 f(a)=(x-3)a+x2-6x+9. 因为 f(a)>0 在|a|≤1 时恒成立,所以 (1)若 x=3,则 f(a)=0,不符合题意,应舍去. (2)若 x≠3,则由一次函数的单调性,可得{f(-1) > 0, f(1) > 0, 即{x2-7x+12 > 0, x2-5x+6 > 0, 解得 x<2 或 x>4. 所以 x 的取值范围是{x|x<2 或 x>4}.
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