【数学】2018届一轮复习人教A版第六章第1讲不等关系与不等式学案
知识点 考纲下载
不等关系与不等式 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际
背景．
二元一次不等式(组)与简
单的线性规划问题
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一
次不等式组．
3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能
加以解决．
基本不等式 ab≤
a＋b
2
(a≥0，b≥0)
1.了解基本不等式的证明过程．
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
第 1 讲 不等关系与不等式
, [学生用书 P108])
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a
b⇒ac2>bc2；若
无 c≠0 这个条件，a>b⇒ac2>bc2 就是错误结论(当 c＝0 时，取“＝”)．
2．不等式中的倒数性质
(1)a>b，ab>0⇒
1
a<
1
b；
(2)a<0b>0，0
b
d；
(4)00 对任意实数 x 恒成立⇔{a＝b＝0，
c > 0， 或{a > 0，
Δ < 0.
(2)不等式 ax2＋bx＋c<0 对任意实数 x 恒成立⇔{a＝b＝0，
c < 0， 或{a < 0，
Δ < 0.
1.教材习题改编 若 a
1
a B．
1
a>
1
b
C．|a|>|b| D．a2>b2
A [解析] 由 a
1
a不成立．
2.教材习题改编 设 A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则 A 与 B 的大小为( )
A．A≥B B．A>B
C．A≤B D．A0，所以 A>B.故选 B.
3.教材习题改编 若 a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A．ac2>bc2 B．
c2
a <
c2
b
C．ac2≥bc2 D．
c2
a ≤
c2
b
C [解析] 当 c＝0 时，A、B 错误；当 a>0，b<0 时，D 错误，故选 C.
4.教材习题改编 下列四个结论，正确的是( )
①a>b，cb－d；
②a>b>0，cbd；
③a>b>0⇒3 a>3 b；
④a>b>0⇒
1
a2>
1
b2.
A．①② B．②③
C．①④ D．①③
D [解析] 对于①，因为 a>b，c－d，
所以 a－c>b－d.
对于③，a>b>0，则3 a>3 b>0.
5.教材习题改编 若不等式－x2＋2x＋m>0 的解集是∅，则实数 m 的取值范围为( )
A．m≤－1 B．m≥－1
C．m≤1 D．m≥1
A [解析] －x2＋2x＋m>0，
即为 x2－2x－m<0.
由题意得 Δ＝(－2)2－4×1×(－m)≤0，
即 4＋4m≤0，
所以 m≤－1.故选 A.
不等式的性质[学生用书 P109]
[典例引领]
(1)已知 a，b，c，d 为实数，则“a>b 且 c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)若
1
a<
1
b<0，则下列不等式：①a＋b|b|；③ad，所以 c－d>0.又 a>b，所以两边同时乘以(c－d)，得 a(c－d)>b(c
－d)，即 ac＋bd>bc＋ad.若 ac＋bd>bc＋ad，则 a(c－d)>b(c－d)，也可能 ab 且 c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的充分不必要条件．
(2)因为
1
a<
1
b<0，所以 b0，所以 a＋b0，b 的符号不定，对于 b>a，两
边同时乘以正数 c，不等号方向不变．
2．若 a>0>b>－a，cbc；②
a
d＋
b
c<0；③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d
－c)中，成立 的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [解析] 因为 a>0>b，c0，
所以 ad0>b>－a，
所以 a>－b>0，
因为 c－d>0，
所以 a(－c)>(－b)(－d)，
所以 ac＋bd<0，
所以
a
d＋b
c＝
ac＋bd
cd <0，故②正确．
因为 c－d，
因为 a>b，所以 a＋(－c)>b＋(－d)，
a－c>b－d，故③正确．
因为 a>b，d－c>0，所以 a(d－c)>b(d－c)，
故④正确，故选 C.
比较两个数(式)的大小[学生用书 P109]
[典例引领]
(1)已知 a1，a2∈(0，1)，记 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则 M 与 N 的大小关系是( )
A．MN
C．M＝N D．不确定
(2)若 a＝
ln 2
2 ，b＝
ln 3
3 ，则 a________b(填“>”或“<”)．
【解析】 (1)M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)
＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，
又因为 a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，
所以 a1－1<0，a2－1<0.
所以(a1－1)(a2－1)>0，
即 M－N>0.所以 M>N.
(2)易知 a，b 都是正数，
b
a＝
2ln 3
3ln 2＝log89>1，所以 b>a.
【答案】 (1)B (2)<
比较两个数(式)大小的两种方法
[通关练习]
1．对于 0loga(1＋1
a )；
③a1＋aa1＋
1
a.
其中成立的是( )
A．①与③ B．①与④
C．②与③ D．②与④
D [解析] 当 0b>0，m>0.试比较
b
a与
b＋m
a＋m的大小．
[解] 因为
b
a－
b＋m
a＋m＝
（b－a）m
a（a＋m），a>b>0，m>0.
所以 a(a＋m)>0，(b－a)m<0.
所以
（b－a）m
a（a＋m）<0，即
b
a－
b＋m
a＋m<0，所以
b
a<
b＋m
a＋m.
不等式的恒成立问题(高频考点)[学生用书 P110]
不等式的恒成立问题是每年高考的热点，题型多为选择题或填空题，有时也出现在解答
题中，属中档题．
高考对不等式的恒成立问题的考查主要有以下三个命题角度：
(1)由 f(x)≥0(x∈R)恒成立，求参数的取值范围；
(2)由 f(x)≥0(x∈[a，b])恒成立，求参数的取值范围；
(3)由 f(x)≥0(m∈[a，b])恒成立，求 x 的取值范围．
[典例引领]
(1)若不等式 mx2＋2mx－4<2x2＋4x 对任意 x 都成立，则实数 m 的取值范围是
( )
A．(－2，2] B．(－2，2)
C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2]
(2)设 f(x)＝mx2－mx－1，若 f(x)<－m＋5，对于 x∈[1，3]上恒成立，则实数 m 的取值范
围为________．
【解析】 (1)原不等式等价于(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0，
①当 m＝2 时，对任意 x 不等式都成立；
②当 m－2<0 时，Δ＝4(m－2)2＋16(m－2)<0，
所以－20 时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以 g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，所以 m<
6
7，所以 00，
又因为 m(x2－x＋1)－6<0，所以 m<
6
x2－x＋1.
因为函数 y＝
6
x2－x＋1＝
6
(x－1
2 )2
＋3
4
在[1，3]上的最小值为
6
7，所以只需 m<
6
7即可．
所以，m 的取值范围是{m|m<
6
7}．
【答案】 (1)A (2)(－∞，
6
7)
不等式恒成立问题的求解方法
(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区
间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下
方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是
主元，求谁的范围，谁就是参数．
[题点通关]
角度一 由 f(x)≥0(x∈R)恒成立，求参数的取值范围
1．若不等式 x2－2x＋5≥a2－3a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为( )
A．[－1，4] B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D．[－2，5]
A [解析] x2－2x＋5＝(x－1)2＋4 的最小值为 4，所以 x2－2x＋5≥a2－3a 对任意实数
x 恒成立，只需 a2－3a≤4 即可，解得－1≤a≤4.
角度二 由 f(x)≥0(x∈[a，b])恒成立，求参数的取值范围
2．函数 f(x)＝
x2＋2x＋a
x 对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，则实数 a 的取值范围为
________．
[解析] 因为 x∈[1，＋∞)时，f(x)＝
x2＋2x＋a
x >0 恒成立，即 x2＋2x＋a>0 恒成立．
即当 x≥1 时，a>－(x2＋2x)恒成立．
设 g(x)＝－(x2＋2x)，而 g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1 在[1，＋∞)上单调递减，所以
g(x)max＝g(1)＝－3，故 a>－3.
所以，实数 a 的取值范围是(－3，＋∞)．
[答案] (－3，＋∞)
角度三 由 f(x)≥0(m∈[a，b])恒成立，求 x 的取值范围
3．已知 a∈[－1，1]时，不等式 x2＋(a－4)x＋4－2a>0 恒成立，则 x 的取值范围为( )
A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1，3)
C [解析] 把不等式的左端看成关于 a 的一次函数，记 f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，
则由 f(a)>0 对于任意的 a∈[－1，1]恒成立，
易知只需 f(－1)＝x2－5x＋6>0，
且 f(1)＝x2－3x＋2>0 即可，
联立不等式解得 x<1 或 x>3.
, [学生用书 P111])
——特值法判断不等式
若 a>b>0，c
b
c B．
a
d<
b
c
C．
a
c>
b
d D．
a
c<
b
d
【解析】 法一：因为 c－d>0，
所以
1
－d>
1
－c>0.
又 a>b>0，所以
a
－d>
b
－c，
所以
a
d<
b
c.故选 B.
法二：Error!⇒
c
cd<
d
cd<0⇒
Error! ⇒
－a
d >
－b
c ⇒
a
d<
b
c.
法三：令 a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，
则
a
c＝－1，
b
d＝－1，排除选项 C，D；
又
a
d＝－3
2，
b
c＝－
2
3，所以
a
d<
b
c，所以选项 A 错误，选项 B 正确．故选 B.
【答案】 B
本题给出三种不同的方法，法一、法二是利用不等式性质变形判断，易
出错，而法三采用特值法验证，简化了过程，提高了准确率．
(2017·四川绵阳中学模拟)下列四个命题中正确命题的个数为( )
①若 a>|b|，则 a2>b2；②若 a>b，c>d，则 a－c>b－d；
③若 a>b，c>d，则 ac>bd；④若 a>b>0，则
c
a>
c
b.
A．3 B．2
C．1 D．0
C [解析] 易知①正确；②错误，如 3>2，－1>－3，而 3－(－1)＝4<2－(－3)＝5；③
错误，如 3>1，－2>－3，而 3×(－2)<1×(－3)；④若 a>b>0，则
1
a<
1
b，当 c>0 时，
c
a<
c
b，故④
错误．所以正确的命题只有 1 个．
, [学生用书 P267(独立成册)])
1．设 a，b∈[0，＋∞)，A＝ a＋ b，B＝ a＋b，则 A，B 的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．AB
B [解析] 由题意得，B2－A2＝－2 ab≤0，且 A≥0，B≥0，可得 A≥B.
2．若 m<0，n>0 且 m＋n<0，则下列不等式中成立的是( )
A．－n|a＋b|
D [解析] 由于
1
a<
1
b<0，不妨令 a＝－1，b＝－2，可得 a20，
即 a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
[答案] a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1
8．设 a>b，有下列不等式①
a
c2>
b
c2；②
1
a<
1
b；③|a|>|b|；④a|c|≥b|c|，则一定成立的有
________．(填正确序号)
[解析] 对于①，
1
c2>0，故①成立；
对于②，a>0，b<0 时不成立；
对于③，取 a＝1，b＝－2 时不成立；
对于④，|c|≥0，故④成立．
[答案] ①④
9．若角 α，β满足－
π
2 <α<β<π，则 α－β 的取值范围是________．
[解析] 因为－
π
2 <α<π，－
π
2 <β<π，
所以－π<－β<
π
2 ，
所以－
3π
2 <α－β<
3π
2 .又因为 α<β，
所以 α－β<0，从而－
3π
2 <α－β<0.
[答案] (－3π
2 ，0)
10．当且仅当 a∈(m，n)时，
2－ax＋x2
1－x＋x2 <3 对 x∈R 恒成立，则 m＋n＝________．
[解析] 因为 1－x＋x2>0 恒成立，
所以原不等式等价于 2－ax＋x2<3(1－x＋x2)，
即 2x2＋(a－3)x＋1>0 恒成立．
所以 Δ＝(a－3)2－8<0，3－2 2b>0，c
e
（b－d）2.
[证明] 因为 c－d>0，
又因为 a>b>0，所以 a－c>b－d>0.
所以(a－c)2>(b－d)2>0.
所以 0<
1
（a－c）2<
1
（b－d）2.
又因为 e<0，所以
e
（a－c）2> e
（b－d）2.
12．(2017·盐城一模)若－10，|a|≤1 恒成立的 x 的取值范围．
[解] 将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.
令 f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.
因为 f(a)>0 在|a|≤1 时恒成立，所以
(1)若 x＝3，则 f(a)＝0，不符合题意，应舍去．
(2)若 x≠3，则由一次函数的单调性，可得{f（－1） > 0，
f（1） > 0， 即{x2－7x＋12 > 0，
x2－5x＋6 > 0，
解得 x<2 或 x>4.
所以 x 的取值范围是{x|x<2 或 x>4}．
