2018-2019学年福建省三明市三地三校高二下学期期中联考数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年福建省三明市三地三校高二下学期期中联考数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年福建省三明市三地三校高二下学期期中联考 数学（文）试题 一、单选题 1．已知集合  2A x x x  ，  0,1,2,3B  ，则 BA =（ ） A． 0 B． 2,3 C． 1,2,3 D． 0,1,2,3 【答案】B 【解析】计算出集合 A的取值范围再求交集。 【详解】 由题可知集合 A的取值范围是    ,0 1  ， ，所以  3,2BA 故选 B. 【点睛】 本题考查集合的交集运算，属于简单题。 2．若复数 z为纯虚数，且满足 ( ) 1 2 ( )z a i i a R    ，则 a （ ） A． 2 B． 1 C．1 D． 2 【答案】D 【解析】由题可设  0z bi b  ，由复数相等即可求得 a 【详解】 设  0z bi b  ，则 ( ) =( )z a i bi a i b ai     ， 所以 =1 2b ai i   所以有复数相等可得 1, 2b a   故选 D. 【点睛】 本题考查复数的基本运算，属于简单题。 3．下图是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推 理与证明”中的思维方法匹配正确的是（ ） A．①综合法，②反证法 B．①分析法，②反证法 C．①综合法，②分析法 D．①分析法，②综合法 【答案】C 【解析】由分析法和综合法的证明思路即可得到答案。 【详解】 由已知到可知，进而得到结论的应为综合法；由未知到需知，进而找到与已知的关系为 分析法，故选 C. 【点睛】 本题考查分析法和综合法的证明思路，属于基础题。 4．点 P极坐标为 (2, ) 6  ，则它的直角坐标是（ ） A．  1, 3 B． )1,3( C．  3, 1 D．  1, 3 【答案】B 【解析】由题意设点  ,P x y ，由点 P极坐标可得 2cos 6 2sin 6 x y         解得 ,x y即可得到答案。 【详解】 根据题意设点  ,P x y ，因为点 P极坐标为 (2, ) 6  ，所以 2cos 6 2sin 6 x y         解得 3 1 x y     ，所以 ( 3,1)P 故选 B. 【点睛】 本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。 5．“ 且 ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题意分别考查充分性和必要性是否成立即可求得最终结果. 【详解】 若 且 ，则 成立，故充分性易证， 若 ，如 ， ，此时 成立，但不能得出 且 ，故必要性不成 立， 由上证明知“ 且 ”是“ ”的充分不必要条件． 本题选择 A选项. 【点睛】 本题主要考查充分必要条件的判定，不等式的性质等知识，意在考查学生的转化能力和 计算求解能力. 6．近年来，微信越来越受欢迎，许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息，微 信是现代生活中进行信息交流的重要工具．而微信支付为用户带来了全新的支付体验， 支付环节由此变得简便而快捷．某商场随机对商场购物的 100名顾客进行统计，得到如 下的列联表。 40岁以下 40岁以上 合计 使用微信支付 35 15 50 未使用微信支付 20 30 50 合计 55 45 100 参考公式：           2 2= n ad bc K a b c d a c b d       2P k k 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 k 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828 参照附表，则所得到的统计学结论正确的是（ ） A．有99.9%的把握认为“使用微信支付与年龄有关” B．有99.5%的把握认为“使用微信支付与年龄有关” C．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“使用微信支付与年龄有关” D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“使用微信支付与年龄无关” 【答案】B 【解析】由列联表中的数据计算 2K 的观测值即可得到答案。 【详解】 由列联表中的数据计算 2K 的观测值  235 30 15 20 100 9.09 7.879 55 45 50 50 k           ， 所以有99.5%的把握认为“使用微信支付与年龄有关” 故选 B. 【点睛】 本题考查独立性检验，解题的关键是由列联表中的数据计算 2K 的观测值与临界值进行 比较，属于简单题。 7．有以下结论：①已知 ，求证： ，用反证法证明时，可假设 ； ②已知 ， ，求证方程 的两根的绝对值都小于 1，用 反证法证明时可假设方程有一根 的绝对值大于或等于 1，即假设 ．下列说法中 正确的是（ ） A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确 C．①的假设正确；②的假设错误 D．①的假设错误；②的假设正确 【答案】D 【解析】(1)错。可假设 .(2)假设正确. 8．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜 边为弦。若 , .,a b c为直角三角形的三边，其中 c为斜边，则 2 2 2a b c  ，称这个定理 为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中： 在四面体O ABC 中， 90AOB BOC AOC      ，S 为顶点O所对面的面积， 1 2 3, ,S S S 分别为侧面 OAB OAC OBC  ， ， 的面积，则下列选项中对于 1 2 3, ,S S S 满 足的关系描述正确的为（ ） A． 1 2 3S S S S   B． 2 2 2 2 1 2 3 1 1 1S S S S    C． 2 2 2 2 1 2 3S S S S   D． 1 2 3 1 1 1S S S S    【答案】C 【解析】作四面体 -O ABC， 90AOB BOC AOC      ，OD BC 于点D， 连接 AD，结合勾股定理可得答案。 【详解】 作四面体 -O ABC， 90AOB BOC AOC      ，OD BC 于点D，连接 AD， 如图   2 2 2 2 2 2 21 1 1 2 4 4 S BC AD BC AD BC OA OD             2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 4 2 2 2 OB OC OA BC OD OB OA OC OA BC OD                           2 2 2 1 2 3S S S   . 即 2 2 2 2 1 2 3S S S S   故选 C. 【点睛】 本题主要考查类比推理，解题的关键是将勾股定理迁移到立体几何中，属于简单题。 9．观察下列算式： ， ， , , , ,, , …… 用你所发现的规律可得 的末位数字是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】通过观察可知，末尾数字周期为 ，据此确定 的末位数字即可. 【详解】 通过观察可知，末尾数字周期为 ， ，故 的末位数字与 末尾数 字相同，都是 ．故选 D． 【点睛】 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确， 通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一 种发现一般性规律的重要方法． 10．极坐标方程 所表示的曲线是（ ） A．一条直线 B．一个圆 C．一条抛物线 D．一条双曲线 【答案】C 【解析】试题分析：极坐标方程 的两边同乘以 可得 ， 因为 ，所以上述方程化为直角坐标方程为 ，它表示的是一条 抛物线，故选 C. 【考点】抛物线的极坐标方程与直角坐标方程的互化. 【方法点晴】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，把给出的极坐标方程 化成直角坐标方程，就可以判断方程表示的曲线形状，属于基础题.直角坐标和极坐标 的关系是 ，同时 ，转化时常常根据互化的需要对原有的 方程进行变形，本题中在给出的极坐标方程两边同乘以极径 就可以达到化为直角坐标 方程的目的. 11．在同一坐标系中，将直线 1 yx 变换为直线 2 3 6x y   的一个伸缩变换是 （ ） A． 1 3 1 2 x x y y        B． 1 2 1 3 x x y y        C． 3 2 x x y y      D． 2 3 x x y y      【答案】C 【解析】设出伸缩变换方程 x x y y        ，则 1 1 x x y y          ，代入 1 yx 与直线 2 3 6x y   比较即可。 【详解】 设伸缩变换方程为 x x y y        ，化为 1 1 x x y y          ，代入 1 yx 可得 1 1 1x y      ， 即 6 6 6x y      ， 1 yx 与直线 2 3 6x y   比较可得 6 2 6 3         ，解得 3 2      所以伸缩变换为 3 2 x x y y      故选 C. 【点睛】 本题考查坐标的伸缩变换，解题的关键是先设出伸缩变换方程，代入直线后变形使两直 线方程系数相等即可。 12．在直角坐标系 xOy中，椭圆C的参数方程为 3cos , sin , x y      （为参数），直线 l的 方程为  4 0 0x y a a    ，若C上的点到 l的距离的最大值为 17 ，则 a （ ） A．12 B． 22 C．17 D．12或 22 【答案】A 【解析】曲线C上的点可以表示成  3cos ,sinP   ，  0,2   ，运用点到直线的距 离公式可以表示出 P到直线 l的距离，再结合距离的最大值为 17 进行分析，可以求出 a 的值。 【详解】 曲线C上的任意一点可以表示成  3cos ,sinP   ，  0,2   ， 所以点 P到直线 l的距离  5cos3cos 4sin 17 17 aa d         （其中 4tan 3   ） 因为 0a  且C上的点到 l的距离的最大值为 17 ，所以当  cos 1   时，距离有 最大值，所以 5 17 17 a  ，解得 12a 故选 A. 【点睛】 本题考查的知识点有：点到直线的距离公式，参数方程，辅助角公式等，解题的关键是 表示出C上的点到 l的距离，属于一般题。 二、填空题 13．命题 p： x R  ， xe x 的否定是 p ：__________． 【答案】 0 0 0, xx R e x   【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结论即可。 【详解】 因为全称命题的否定是特称命题， 所以“ x R  ， xe x ”的否定是“ 0 0 0, xx R e x   ” 【点睛】 本题考查全称命题的否定形式，属于简单题。 14．已知“三段论”中的三段：① 1 12sin cos 2 2 y x x  可化为 cos( )y A x   ； ② cos( )y A x   是周期函数；③ 1 12sin cos 2 2 y x x  是周期函数．其中为小前 提的是__________．（填写序号） 【答案】① 【解析】根据推理，确定三段论中的大前提；小前提；结论，从而得到答案。 【详解】 大前提② cos( )y A x   是周期函数； 小前提① 1 12sin cos 2 2 y x x  可化为 cos( )y A x   ； 结论③ 1 12sin cos 2 2 y x x  是周期函数 故答案是① 【点睛】 本题考查演绎推理中的三段论，属于基础题。 15．已知集合  2 1A x a x a    ，  1 2B x x    ，若 A B A ，则 a的取 值范围是_____________． 【答案】 3, 2     【解析】因为 A B A ，所以 A B ，建立不等关系即可求出 a的取值范围。 【详解】 因为 A B A ，所以 A B 由已知集合  2 1A x a x a    ，  1 2B x x   所以当 A  时，满足题意，此时 2 1a a  ，即 1a   当 A  时，要使 A B 成立，则 1 2 1 2 a a      ，解得 31 2 a   综上 a的取值范围是 3, 2     【点睛】 本题考查集合的包含关系，解题的关键是不要忘了空集这一特殊情况，属于一般题。 16．在平面直角坐标系 xOy中，以O为极点， x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 曲线 1C 的参数方程为： 4cos ( ) 4 4sin x y        为参数 ，曲线 2C 的极坐标方程为： ( ) 3 R   ，则曲线 1C 上的点到曲线 2C 距离的最大值为__________． 【答案】6 【解析】设曲线 1C 上的任意一点 P  4cos 4 4sin ， ，  0,2   ，曲线 2C 的直角坐 标方程为 3 0x y  ，由点到直线的距离公式表示出点 P到直线的距离，再求最大值。 【详解】 设曲线 1C 上的任意一点 P  4cos 4 4sin ， ，  0,2   ，由题可知曲线 2C 的直角坐 标方程为 3 0x y  ，则由点到直线的距离公式得点 P到直线的距离为 4 3 cos 4 4sin 2 2cos 1 63 1 d              当 cos 1 6        时距离有最大值， max 6d  【点睛】 本题考查的知识点有：点到直线的距离公式，参数方程，辅助角公式等，解题的关键是 表示出点 P到直线的距离，属于一般题。 三、解答题 17．已知复数 2 4 i 1 i mz    （ , imR 是虚数单位）. （1）若 z是纯虚数，求m的值和 z ； （2）设 z 是 z的共轭复数，复数 2z z 在复平面上对应的点位于第三象限，求m的取 值范围. 【答案】（1） 1 2 m  ， 2z  ；（2） 1 1 2 2 m   【解析】将复数 2 4 1 miz i    化成 z a bi  形式。 （1）若 z是纯虚数，则 0, 0a b  ，从而求出m，进而求模。 （2）复数 2z z 在复平面上对应的点位于第三象限，则横坐标小于零，纵坐标小于零， 列出不等式求m的取值范围。 【详解】 ）（1）由题复数 2 4 1 miz i    （ ,m R i 是虚数单位）， 化简             2 2 2 4 1+2 4 2 4 4 2 1 2 2 1 1 1 1+ 1 mi imi mi mi iz m m i i i i i               若 z是纯虚数，则 1 2 =0 2 1 0 m m     ，解得 1 2 m  此时 2iz  所以 2z  . （2）由（1）可知    1 2 2 1z m m i    ，所以    1 2 2 1z m m i     2 2 1 2 1z z m m i     又因为复数 2z z 在复平面上对应的点位于第三象限 所以 2 1 0 2 1 0 m m      ，即 1 1 2 2 m   【点睛】 本题考查复数的基本运算及复数的几何意义，解题的关键是将复数化成 z a bi  形式， 属于基础题。 18．计算： 2 1 0.414  ， 3 2 0.318  ；所以 2 1 3 2   ；又计算： 5 2 0.236  ， 6 5 0.213  ， 7 6 0.196  ；所以 5 2 6 5   ， 6 5 7 6   ． （1）分析以上结论，试写出一个一般性的命题； （2）判断该命题的真假。若为真，请用分析法给出证明；若为假，请说明理由． 【答案】（1） 1 2 1n n n n      ；（2）真命题 【解析】（1）根据所给结论，可写出一个一般性的命题。 （2）利用综合法证明命题是一个真命题。 【详解】 （1）一般性的命题： n是正整数，则 1 2 1n n n n      （2）命题是真命题。 因为   1 1 11 1 1 n n n n n n n n n n               2 1 2 1 12 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n n                  因为 1 1 1 2 1n n n n       所以 1 2 1n n n n      . 【点睛】 本题考查简易逻辑，推理和证明，属于一般题。 19．在直角坐标系 xOy中，抛物线C的方程为 2 4y x  ，以点O为极点, x轴正半轴 为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2 sin( ) 3 3     ，l与 x轴交于点M ． （1）求直线 l的直角坐标方程，点M 的极坐标； （2）设 l与C 交于 ,A B两点，求 AB ． 【答案】（1） y 3 x 3  ，  1,M  ；（2） 3 16 【解析】（1）将 2 sin( ) 3 3     由两角差的正弦公式展开，由  sin,cos  yx 可求直线 l的直角坐标方程；再通过 l与 x轴交于点M ，即可求得点M 的直角坐标， 再转化成极坐标。 （2）设点 ,A B所对应的参数分别为 1 2,t t ，根据弦长公式求解即可。 【详解】 （1）由题可知直线 l 的极坐标方程为 2 sin cos sin cos 3 3 3          即 sin 3 cos 3     因为  sin,cos  yx 所以直线 l的直角坐标方程是 y 3 x 3  . 由题 l与 x轴交于点M ，所以点M 的直角坐标是  1,0 ，转化成极坐标是  ，1 。 （2）设点 ,A B所对应的参数分别为 1 2,t t 由（1）可知直线的倾斜角为 3  ，所以直线的参数方程为   11 2 3 2 x t t y t        ，为参数 ， 将直线的参数方程代入 2 4y x  得 23 8 16 0t t   由韦达定理得 1 2 1 2 8 16, 3 3 t t t t      所以由弦长公式得  21 2 1 24 16 3 t t tAB t    【点睛】 极坐标与参数方程是高考选修部分的重要考点，应熟练掌握极坐标方程，直角坐标方程 以及普通方程的互化，理解直线参数方程中参数的几何意义，属于一般题。 20．设命题 p：实数 a满足不等式 2 4a  ； 命题 q：关于 x不等式 2 3(3 ) 9 0x a x    对任意的 x R 恒成立． （1）若命题 p为真命题，求实数 a的取值范围； （2）若“ p q ”为假命题，“ p q ”为真命题，求实数 a的取值范围. 【答案】（1） 2a ；（2） 1a 或 2 5a≤ ≤ 【解析】（1）若命题 p为真命题，则 2 4a  成立，求实数 a的取值范围即可； （2）先假设两命题都是真命题时实数 a的取值范围，若“ p q ”为假命题，“ p q ”为 真命题，则 ,p q命题一真一假，分别求出当 p真q假和 p假 q真时 a的取值范围，再 求并集即可得到答案。 【详解】 （1）若命题 p为真命题，则 2 4a  成立，即 22 2a  ，即 2a （2）由（1）可知若命题 p为真命题，则 2a ， 若命题 q为真命题，则关于 x不等式 2 3(3 ) 9 0x a x    对任意的 x R 恒成立 则  29 3 36 0a     ，解得 1 5a   ， 因为“ p q ”为假命题，“ p q ”为真命题，所以 ,p q命题一真一假， 若 p真 q假，则 2 5 1 a a a     或 ，即 1a 若 p假 q真，则 2 1 5 a a     ，即 2 5a≤ ≤ 综上，实数 a的取值范围为 1a 或 2 5a≤ ≤ . 【点睛】 本题考查命题及复合命题，对于复合命题求参数的取值范围，解题的关键是分别假设该 命题是真命题，求出对应的范围，再由题分析得答案，属于一般题。 21．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为： （ 为参数， ），以 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程 . （1）（i）当 时，写出直线 的普通方程； （ii）写出曲线 的直角坐标方程； （2）若点 ，设曲线 与直线 交于点 ，求 最小值. 【答案】(1)①. ；②. ；(2) . 【解析】分析：（1）①消参得到直线的直角坐标方程，②利用极坐标方程和直角坐标方 程的互化公式得到曲线 的直角坐标方程；（2）将直线 的参数方程代入圆的直角坐标方 程，得到关于参数 的一元二次方程，利用参数 的几何意义和根与系数的关系进行求解． 详解：（1）①当 时， ∴直线 的普通方程为 . ②由 得 ， 化为直角坐标方程为 ， 即 （2）将直线 的参数方程代入圆的直角坐标方程得 ， 因为 ， 故可设 是方程的两根， 所以 ， 又直线 过点 ，结合的几何意义得： ， ∴ . 所以原式的最小值为 . 点睛：1.对于参数方程，要注意其参数，如参数不同，则表示的曲线也不同，如本题中， （ 为参数， ）表示的图形是一条直线，而 （ 为 参数）表示的曲线是圆； 2.在利用直线的参数方程中参数的几何意义处理题目时，要注意判断直线的参数 方程是否是标准的参数方程，否则参数没有几何意义． 22．一只药用昆虫的产卵数 y 与一定范围内的温度 x 有关, 现收集了该种药用昆虫的 6 组观测数据如下表： 温度 xC 21 23 24 27 29 32 产卵数 y 个 6 11 20 27 57 77 经计算得： ， ， ， ， ，线性回归模型的残差平方和 ，e8.0605≈3167，其中 xi, yi分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1, 2, 3, 4, 5, 6. （1）若用线性回归模型，求 y 关于 x 的回归方程 = x+ （精确到 0.1）； （2）若用非线性回归模型求得 y 关于 x 的回归方程为 =0.06e0.2303x，且相关指数 R2=0.9522. （i）试与（1）中的回归模型相比，用 R2说明哪种模型的拟合效果更好； （ii）用拟合效果好的模型预测温度为 35C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 参考公式： 【答案】(Ⅰ) =6.6x−138.6．(Ⅱ)(i)答案见解析；(2)190. 【解析】分析：（1）由题中所给数据求出 后可得线性回归方程．（2）①由（1）中的 方程可求得相关指数 R2= ，与所给的数据比较可得结论．②根据所选模型中的方 程进行估计即可． 详解：（1）由题意得， ∴ 33−6.626=−138.6， ∴ y关于 x的线性回归方程为 =6.6x−138.6． （2） ① 由所给数据求得的线性回归方程为 =6.6x−138.6，相关指数为 R2= 因为 0.9398＜0.9522， 所以回归方程 =0.06 比线性回归方程 拟合效果更好． ② 由①得当温度 时， ， 又 ， ， 即当温度为 时，该种药用昆虫的产卵数估计为 个. 点睛：相关指数 R2是用来判断回归方程拟合程度的量，当 R2大时说明方程的拟合程度 较好，当 R2小时说明方程的拟合程度较差．