2017-2018学年湖北省长阳一中高二9月月考数学（理）试题

2017-2018学年湖北省长阳一中高二9月月考数学（理）试题

长阳一中2017-2018学年度第一学期九月考试 高二数学（理）试卷 ‎ 本试卷全卷满分150分,考试时间120分钟。‎ 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内，12道小题，每题5分，共60分）‎ ‎1．若三点A(3,1)，B(－2, b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于( )‎ A．2 B．3 C．9 D．－9‎ ‎2．过点P(－1,3)，且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( )‎ A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0‎ C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0‎ ‎3．已知点A（2，－1，－3），点A关于x轴的对称点为B,则|AB|的值为( ) ‎ A．4 B．6 C． D．　‎ ‎4．设α、β是两个不同的平面，给出下列命题：‎ ‎①若平面α内的直线垂直于平面β内的任意直线，则α⊥β；‎ ‎②若平面α内的任一直线都平行于平面β，则α∥β；‎ ‎③若平面α垂直于平面β，直线在平面α内，则⊥β；‎ ‎④若平面α平行于平面β，直线在平面α内，则∥β.‎ 其中正确命题的个数是( 　)‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎5．等差数列{an}共有2n+1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n的值是（　　）‎ A．3 B．5 C．7 D．9‎ ‎6．直线与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，－1)，则直线的斜率为(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎7．设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线过点P(1,1)且与线段AB相交，则的斜率k的取值范围是(　　　)‎ A．k≥或k≤－4 B．－4≤k≤ C．－≤k≤4 D．以上都不对 ‎8. 某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为（　　）‎ A．500米 B．600米 C．700米 D．800米 9. 设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则＋的最小值为( )‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎10．已知数列{an}为等差数列，若＜－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn＞0的n的最大值为（　　　）‎ A．11 B．19 C．20 D．21‎ ‎11．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　　) ‎ A. cm3 B. cm3 　　　　　‎ C. cm3 D. cm3　　　　　　　　　　　‎ ‎12．定义为个正数的“均倒数”，已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（把正确答案填在横线位置，共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若圆C : x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A，B两点，且∠ACB＝90º，则实数m的值为__________．‎ ‎14．某几何体的三视图如图所示,其底面为菱形,该几何体的体积是 _______．‎ ‎15．若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的 取值范围是________________．‎ ‎16．若圆B : x2＋y2＋b＝0与圆C : x2＋y2－6x＋8y＋16＝0没有公共点，则b的 取值范围是________________．‎ 三、解答题（共6道大题，共70分）‎ ‎17．（本小题满分10分）已知向量，向量，‎ ‎(1)求函数 的最小正周期和对称轴方程；‎ ‎(2)若是第一象限角且,求的值. ‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝1，S11＝33．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn＝()，求证：数列{bn}是等比数列，并求其前n项和Tn．‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题12分）已知圆心为C的圆过点A(0,－6)和B(1,－5)，且圆心在直线：上.‎ ‎（1）求圆心为C的圆的标准方程；‎ ‎（2）过点M（2，8）作圆的切线，求切线方程.‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 已知圆C经过点A(1,3)、B(2,2)，并且直线m：3x－2y＝0平分圆C.‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)若过点D(0,1)，且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N.‎ ‎(ⅰ)求实数k的取值范围；‎ ‎(ⅱ)若·＝12，求k的值．‎ ‎21．(本小题12分) 如图所示，正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．‎ D B A C O E P ‎(1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；‎ ‎(2)若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；‎ ‎(3)问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，‎ 试确定点F的位置；若不存在，说明理由．‎ ‎22．（本小题12分）已知圆，直线 ‎（1）判断直线和圆的位置关系。‎ ‎（2）求圆心到直线的距离的最大值。‎ ‎（3）如图所示，圆与轴的正方向交于点，点在直线 上运动，过做圆的切线，切点为，求垂心 ‎ 的轨迹方程．‎ 长阳一中2017-2018学年度第一学期九月考试 高二数学（理）试卷(答案)‎ ‎ ‎ 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内，12道小题，每题5分，共60分）‎ ‎1---12: DADBA DACBB AC　　　　　　‎ 二、填空题（把正确答案填在横线位置，共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．－3 14. 15． 16．－4＜b＜0或b＜－64．‎ 三、解答题（共6道大题，共70分）‎ ‎17．解:(1)∵ …..3分 ‎∴最小正周期 ; 对称轴方程为……………5分 ‎(2)由,得…………………………………6分 ‎ 又x是第一象限角 ‎∴,故…………………………………………………8分 ‎∴……………………………………10分 ‎18．解：（1），，解得，，‎ ‎； …………6分 ‎（2） ， ，‎ 于是数列是以为首项，为公比的等比数列；‎ 其前项的和 ． ……12分 ‎19．解：（1）设所求的圆的方程为 ‎ 依题意得: …………………………………………3分 ‎ 解得:‎ ‎ 所以所求的圆的方程为: ………………………………6分 ‎（2）设所求的切线方程的斜率为，则切线方程为，即 又圆心C（-3，-2）到切线的距离 又由，即，解得…………………………………………8分 ‎∴所求的切线方程为………………………………………………10分 若直线的斜率不存在时，即也满足要求.‎ ‎∴综上所述，所求的切线方程为或…………………………12分 20． 解：(1)线段AB的中点E，kAB＝＝－1，故线段AB的中垂线方程为y－＝x－，‎ 即x－y＋1＝0.‎ 因为圆C经过A、B两点，故圆心在线段AB的中垂线上．‎ 又因为直线m：3x－2y＝0平分圆C，所以直线m经过圆心．‎ 由解得，，即圆心的坐标为C(2,3)，而圆的半径r＝|CB|＝＝1，‎ 所以圆C的方程为：(x－2)2＋(y－3)2＝1………………………………………4分 ‎(2)直线l的方程为y＝kx＋1.‎ 圆心C到直线l的距离d＝，‎ ‎(ⅰ)由题意得d＝<1，两边平方整理得：3k2－8k＋3<0，‎ 解之得：0，‎ 所以k＝1…………………………………………………………………………12分 ‎21．M D B A C O E P ‎(第21题(1))‎ 解：(1)取AD中点M，连接MO，PM，‎ 依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，‎ 则∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角．‎ ‎∵ PO⊥面ABCD，‎ ‎∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．‎ ‎∴tan∠PAO＝．‎ M D B A C O E P ‎(第21题(2))‎ 设AB＝a，AO＝a，‎ ‎∴ PO＝AO·tan∠POA＝a，‎ tan∠PMO＝＝．‎ ‎∴∠PMO＝60°．‎ ‎ (2)连接AE，OE， ∵OE∥PD，‎ ‎∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．‎ ‎∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．又OE平面PBD，∴AO⊥OE．‎ ‎∵OE＝PD＝＝a，‎ ‎∴tan∠AEO＝＝．‎ ‎(3)延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG．‎ M D B A C O ‎ E P ‎ ‎ N ‎ G ‎ F ‎ ‎(第21题(3))‎ ‎∵BC⊥MN，BC⊥PN，∴BC⊥平面PMN．‎ ‎∴平面PMN⊥平面PBC．‎ 又PM＝PN，∠PMN＝60°，∴△PMN为正三角形．∴MG⊥PN．又平面PMN ∩平面PBC＝PN，∴MG⊥平面PBC．‎ 取AM中点F，∵EG∥MF，∴MF＝MA＝EG，∴EF∥MG．‎ ‎∴EF⊥平面PBC．点F为AD的四等分点．‎ ‎22．解：（1）∵‎ ‎∴‎ ‎∴直线经过定点P（1，-1）………………………………………………1分 又∵12+12<4‎ ‎∴（1，-1）在圆的内部………………………………………………………2分 ‎∴直线与圆相交。…………………………………………………………3分 ‎（2）由（1）知圆心到直线的最大距离为………………………6分 ‎（3）设，，连结，，………………………… 7分 则，，是切线，‎ 所以，，，‎ 所以四边形是菱形． ……………………………………………………8分 所以，得(1)………………………………………10分 又满足，(2) ‎ 将(1)代入(2)得即是所求轨迹方程．…………………12分 ‎ ‎