2018-2019学年内蒙古集宁一中高二下学期期末考试数学（理)试题 解析版

2018-2019学年内蒙古集宁一中高二下学期期末考试数学（理)试题 解析版

绝密★启用前 内蒙古集宁一中2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．在（x－）10的展开式中，的系数是（ ）‎ A．－27 B．27 C．－9 D．9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：通项Tr＋1＝x10－r（－）r＝（－）rx10－r.令10－r＝6，得r＝4.∴x6的系数为9‎ 考点：二项式定理 ‎2．已知的分布列为：‎ 设则的值为（ ）‎ A． B． C． D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出η的期望，然后利用，求解即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意可知E（η）＝﹣101．‎ ‎∵，‎ 所以＝E（3η﹣2）＝3E（η）﹣23．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数学期望的运算性质，也可根据两个变量之间的关系写出ξ的分布列，再由ξ 分布列求出期望．‎ ‎3．设，，，则的值分别为 （ ）‎ A．18， B．36, C．36， D．18，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由ξ～B（n，p），Eξ＝12，Dξ＝4，知np＝12，np（1﹣p）＝4，由此能求出n和p．‎ ‎【详解】‎ ‎∵Eξ＝12，Dξ＝4，‎ ‎∴np＝12，np（1﹣p）＝4，‎ ‎∴n＝18，p．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查离散型随机变量的期望和方差，解题时要注意二项分布的性质和应用．‎ ‎4．已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中能表示点M的坐标是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于 和是终边相同的角，故点M的极坐标也可表示为．‎ ‎【详解】‎ 点M的极坐标为，由于 和是终边相同的角，‎ 故点M的坐标也可表示为，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点的极坐标、终边相同的角的表示方法，属于基础题．‎ ‎5．将曲线按照伸缩变换后得到的曲线方程为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用代入法，即可得到伸缩变换的曲线方程．‎ ‎【详解】‎ ‎∵伸缩变换，‎ ‎∴xx′，yy′，‎ 代入曲线y＝sin2x可得y′＝3sin x′‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查代入法求轨迹方程，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎6．圆的圆心为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将ρ＝2cos（）化为直角坐标方程，可得圆心的直角坐标，进而化为极坐标．‎ ‎【详解】‎ ρ＝2cos（）即ρ2＝2ρcos（），‎ 展开为ρ2＝2ρ（cosθ﹣sinθ），化为直角坐标方程：x2+y2（x﹣y），‎ ‎∴1，‎ 可得圆心为C，可得1，‎ tanθ＝﹣1，又点C在第四象限，θ．‎ ‎∴圆心C．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎7．把18个人平均分成两组，每组任意指定正副组长各1人，则甲被指定为正组长的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把18个人平均分成2组，再从每组里任意指定正、副组长各1人，即从9人中选一个正组长，甲被选定为正组长的概率，与组里每个人被选中的概率相等．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，‎ 把18个人平均分成2组，再从每组里任意指定正、副组长各1人，‎ 即从9个人中选一个正组长，‎ ‎∴甲被选定为正组长的概率是．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等可能事件的概率应用问题，是基础题目．‎ ‎8．设两个正态分布N(μ1，)(σ1＞0)和N(μ2，)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )‎ A．μ1＜μ2，σ1＜σ2‎ B．μ1＜μ2，σ1＞σ2‎ C．μ1＞μ2，σ1＜σ2‎ D．μ1＞μ2，σ1＞σ2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由密度函数的性质知对称轴表示期望，图象胖瘦决定方差，越瘦方差越小，越胖方差越大，所以μ1＜μ2，σ1＜σ2.故选A.‎ 考点：正态分布.‎ ‎9．在区域内任意取一点，则的概率是（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得区域的面积，x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，由圆的面积公式可得其在正方形OABC的内部的面积，由几何概型的计算公式，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），‎ 表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1；‎ x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为 ‎，‎ 由几何概型的计算公式，可得点P（x，y）满足x2+y2＜1的概率是；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算．‎ ‎10．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在下雨天里，刮风的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用条件概率公式，即可求得结论．‎ ‎【详解】‎ 该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，‎ ‎∵设A事件为下雨，B事件为刮风，由题意得，P（A），P（AB），‎ 则P（B|A），‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的计算，考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎11．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为 A．100 B．200 C．300 D．400‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：设没有发芽的种子数为，则，，所以 考点：二项分布 ‎【方法点睛】‎ 一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X～B（n，p）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E（X）＝np）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.‎ ‎12．甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0．8，乙解决这个问题的概率是0．6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是( )‎ A．0．48 B．0．52 C．0．8 D．0．92‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎1－0．2×0．4＝0．92，选D项．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率，则在内取值的概率为 .‎ ‎【答案】0.8‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 由于正态分布N(1，σ2)(σ>0)的图象关于直线ξ＝1对称，且ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，因此ξ在(1,2)内取值的概率也为0.4，故ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.‎ ‎14．设，则____________.‎ ‎【答案】1023‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别将代入求解即可 ‎【详解】‎ 将代入得；将代入得 ‎ 故 ‎ 故答案为1023‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项式展开式中项的系数和，考查赋值法和方程的思想，是基础题 ‎15．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 用水量 ‎4.5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2.5‎ 由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是 ‎，则等于___‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出x，y的平均数，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．‎ ‎【详解】‎ ‎：（1+2+3+4）＝2.5，（4.5+4+3+2.5）＝3.5，‎ 将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是0.7x+a，可得3.5＝﹣1.75+a，‎ 故a＝．‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是基础题 ‎16．设，若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导数，求解导数为零的根，结合根的分布求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，令得，‎ 因为函数有大于0的极值点，所以，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的极值点问题，极值点为导数的变号零点，侧重考查转化化归思想.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若，求随机变量X的分布列与均值.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据该毕业生得到面试的机会为0时的概率，求出乙、丙公司面试的概率，根据题意得到X的可能取值，结合变量对应的事件写出概率得出分布列及期望．‎ ‎【详解】‎ ‎∵P（X＝0），‎ ‎∴，‎ ‎∴p，‎ 由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0，1，2，3，‎ P（X＝1）‎ P（X＝2），‎ P（X＝3）＝1，‎ X ‎0‎ ‎1 ‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴E（X），‎ ‎【点睛】‎ 本题考查离散型随机变量的分布列和期望，准确计算是关键，是一个基础题．‎ ‎18．“蛟龙号”从海底中带回某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为 ‎，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该次试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．‎ ‎(1)甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；‎ ‎(2)若甲乙两小组各进行2次试验，求两个小组试验成功至少3次的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）“三次试验中至少两次试验成功”是指三次试验中，有2次试验成功或3次试验全部成功，先计算出2次与3次成功的概率，相加即可得到所要求的概率．（2）分成功3次，4次两种情况求其概率相加即可 ‎【详解】‎ ‎(1)设“甲小组做了三次实验，至少两次试验成功”为事件A，则其概率为.‎ ‎(2)设“甲乙两小组试验成功3次”为事件B，则 ‎，‎ 设“甲乙两小组试验成功4次”为事件C，则，‎ 故两个小组试验成功至少3次的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验某事件恰好发生k次的概率、相互独立事件的概率乘法公式，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎19．假设关于某设备的使用年限(年)和所支出的年平均维修费用(万元)(即维修费用之和除以使用年限),有如下的统计资料：‎ ‎(1)求关于的线性回归方程； ‎ ‎(2)估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是多少?‎ 参考公式：‎ ‎【答案】（1）；（2）万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出样本中心点及代入公式求得，再将代入回归直线求得的值，可得线性回归方程；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝10，求得y值得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题表数据可得，‎ 由公式可得，‎ 即回归方程是.‎ ‎（2）由（1）可得，当时，；‎ 即，使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程，考查计算能力，是基础题．‎ ‎20．按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在 内，则为合格品，否则为不合格品．某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本对规定的质量指标值进行检测．表1是甲套设备的样本频数分布表，图1是乙套设备的样本频率分布直方图．‎ 表1：甲套设备的样本频数分布表 ‎（1）将频率视为概率，若乙套设备生产了5000件产品，则其中合格品约有多少件？‎ ‎（2）填写下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为这种产品的质量指标值与甲乙两套设备的选择有关：‎ ‎【答案】（1）800件；（2）见解析；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1） 结合频数分布表，求出满足条件的概率,再乘以5000即可；（2）求出2×2列联表，计算K2值，判断即可 ‎【详解】‎ ‎（1）由图知，乙套设备生产的不合格品率约为；‎ ‎∴乙套设备生产的5000件产品中不合格品约为（件）；‎ ‎（2）由表1和图得到列联表：‎ 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 ‎48‎ ‎42‎ ‎90‎ 不合格品 ‎2‎ ‎8‎ ‎10‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 将列联表中的数据代入公式计算得；‎ ‎∴有95%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，准确计算是关键，是基础题．‎ ‎21．设函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数单调递增区间；‎ ‎(Ⅱ)当时，求函数的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），0‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：（Ⅰ）因为通过对函数求导可得，所以要求函数的单调递增区间即要满足，即解可得x的范围.本小题要处理好两个关键点：三角的化一公式；解三角不等式.‎ ‎（Ⅱ）因为由（Ⅰ）可得函数在上递增，又因为所以可得是单调增区间，是单调减区间.从而可求结论.‎ 试题解析：（Ⅰ） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 单调区间为 ‎ ‎（Ⅱ）由知（Ⅰ）知，是单调增区间，是单调减区间 ‎ 所以, ‎ 考点：1.函数的导数解决单调性问题.2.区间限制的最值问题.3.解三角不等式.‎ ‎22．在极坐标系中，极点为0，已知曲线与曲线交于不同的两点.求：‎ ‎(1)的值；‎ ‎(2)过点且与直线平行的直线的极坐标方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：（1）把曲线C1和曲线C2的方程化为直角坐标方程，它们分别表示一个圆和一条直线．利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离为d的值，再利用弦长公式求得弦长|AB|的值． （2）用待定系数法求得直线l的方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求得l的极坐标方程 试题解析：‎ ‎（1）∵，∴，‎ 又∵，可得,∴，‎ 圆心(0,0)到直线的距离为 ‎∴．‎ ‎（2）∵曲线的斜率为1，∴过点且与曲线平行的直线的直角坐标方程为，‎ ‎∴直线的极坐标为，即．‎