2021高考数学大一轮复习考点规范练49椭圆理新人教A版
考点规范练49 椭圆
考点规范练A册第33页
基础巩固
1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为( )
A.x2169+y2144=1 B.x2144+y2169=1 C.x2169+y225=1 D.x2144+y225=1
答案:A
解析:由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.
又椭圆的焦点在x轴上,
∴椭圆方程为x2169+y2144=1.
2.(2019北京,理4)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,则( )
A.a2=2b2 B.3a2=4b2 C.a=2b D.3a=4b
答案:B
解析:椭圆的离心率e=ca=12,c2=a2-b2,化简得3a2=4b2,故选B.
3.(2019河南洛阳期中)“-3
0,m+3>0,5-m≠m+3,解得-3|MN|,由椭圆定义知,动点P的轨迹是椭圆.
6.已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右两个焦点,若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.55,1 B.22,1 C.0,55 D.0,22
答案:B
解析:∵F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右两个焦点,
∴离心率0b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为22,F2与椭圆上点的连线中最短线段的长为2-1.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)已知椭圆E上存在一点P,使得直线PF1,PF2分别交椭圆E于点A,B,若PF1=2F1A,PF2=λF2B(λ>0),求直线PB的斜率.
解:(1)由题意得e=ca=22,①
a-c=2-1,②
由①②解得a=2,c=1,∴b=a2-c2=1.
∴椭圆E的标准方程是x22+y2=1.
(2)设点P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),直线lPA的方程为x=my-1.
由x=my-1,x2+2y2=2,消去x,得(m2+2)y2-2my-1=0,
则y0·y1=-1m2+2.
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∵1m=y0x0+1,∴m=x0+1y0.
∴|PF1||F1A|=-y0y1=-y0-1(m2+2)y0=(m2+2)y02=(x0+1)2y02+2y02=(x0+1)2+2y02=(x0+1)2+2-x02=3+2x0.
∴3+2x0=2,解得x0=-12,∴P-12,±144.
∴kPB=kPF2=±144-12-1=∓146.
故直线PB的斜率为±146.
9.已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.
(1)求椭圆M的方程;
(2)若k=1,求|AB|的最大值;
(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D,若C,D和点Q-74,14共线,求k.
解:(1)由题意得a2=b2+c2,ca=63,2c=22,
解得a=3,b=1.所以椭圆M的方程为x23+y2=1.
(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
由y=x+m,x23+y2=1,得4x2+6mx+3m2-3=0,
所以x1+x2=-3m2,x1x2=3m2-34.
所以|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2
=2(x2-x1)2
=2[(x1+x2)2-4x1x2]
=12-3m22.
当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为6.
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(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得x12+3y12=3,x22+3y22=3.
直线PA的方程为y=y1x1+2(x+2).
由y=y1x1+2(x+2),x2+3y2=3,得[(x1+2)2+3y12]x2+12y12x+12y12-3(x1+2)2=0.
设C(xC,yC),所以xC+x1=-12y12(x1+2)2+3y12=4x12-124x1+7.
所以xC=4x12-124x1+7-x1=-12-7x14x1+7.
所以yC=y1x1+2(xC+2)=y14x1+7.
设D(xD,yD),同理得xD=-12-7x24x2+7,yD=y24x2+7.
记直线CQ,DQ的斜率分别为kCQ,kDQ,
则kCQ-kDQ=y14x1+7-14-12-7x14x1+7+74-y24x2+7-14-12-7x24x2+7+74=4(y1-y2-x1+x2).
因为C,D,Q三点共线,所以kCQ-kDQ=0.
故y1-y2=x1-x2.
所以直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=1.
能力提升
10.(2019全国Ⅰ,理10)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )
A.x22+y2=1 B.x23+y22=1
C.x24+y23=1 D.x25+y24=1
答案:B
解析:如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m.
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由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m.
又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,
故|AF1|=2n.
由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|,
得m-n=2n,m+n=2a,解得m=3a2,n=a2.
∴|AF1|=a,|AF2|=a.∴点A为(0,-b).∴kAF2=b1=b.
过点B作x轴的垂线,垂足为点P.
由题意可知△OAF2∽△PBF2.
又|AF2|=2|F2B|,∴|OF2|=2|F2P|.∴|F2P|=12.
又kAF2=|BP||F2P|=|BP|12=b,
∴|BP|=12b.∴点B32,12b.
把点B坐标代入椭圆方程x2a2+y2b2=1中,得a2=3.
又c=1,故b2=2.
所以椭圆方程为x23+y22=1.
11.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,若椭圆上存在满足PF1·PF2=b22的点P,则椭圆的离心率的范围是 .
答案:33,1
解析:∵椭圆的焦点为F1,F2,椭圆上存在满足PF1·PF2=b22的点P,
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∴|PF1|·|PF2|cos=b22,
4c2=PF12+PF22-2|PF1|·|PF2|cos,
|PF1|+|PF2|=2a,
可得PF12+PF22+2|PF1|·|PF2|=4a2,
∴4c2=4a2-2|PF1|·|PF2|-b2.
∴2|PF1|·|PF2|=3a2-3c2≤2|PF1|+|PF2|22,
当且仅当|PF1|=|PF2|时,等号成立.
可得c2a2≥13,解得e≥33.
又0b>0,x≤0)和圆N:(x-2)2+y2=5在y轴右侧的部分连接而成,A,B是M与N的公共点,点P,Q(均异于点A,B)分别是M,N上的动点.
(1)若|PQ|的最大值为4+5,求半椭圆M的方程;
(2)若直线PQ过点A,且AQ+AP=0,BP⊥BQ,求半椭圆M的离心率.
解:(1)A(0,1),B(0,-1),故b=1,|PQ|的最大值为4+5=a+2+5,解得a=2.
∴半椭圆M的方程为x24+y2=1(-2≤x≤0).
(2)设直线PQ方程为y=kx+1,与圆N的方程联立可得(k2+1)x2+(2k-4)x=0,∴xA+xQ=4-2k1+k2.
∵xA=0,∴Q4-2k1+k2,-k2+4k+11+k2.
∵AQ+AP=0,AQ=(xQ,yQ-1),AP=(xP,yP-1),
∴xP+xQ=0,yP+yQ=2.
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∴xP=2k-41+k2,yP=3k2-4k+11+k2.
∵BP⊥BQ,
∴BP·BQ=xPxQ+(yP+1)(yQ+1)=-(2k-4)2(1+k2)2+(-k2+4k+1)(3k2-4k+1)(k2+1)2+2+1=(k2+1)(16k-12)=0,
解得k=34,∴P-85,-15.
代入椭圆方程可得6425a2+125=1,解得a2=83.
∴半椭圆M的离心率e=1-b2a2=104.
高考预测
13.椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆E在第一象限交于点P,若|PF1|=5,且3a=b2.
(1)求椭圆E的方程;
(2)A,B是椭圆C上位于直线l两侧的两点.若直线AB过点(1,-1),且∠APF2=∠BPF2,求直线AB的方程.
解:(1)由题意可得|PF2|=b2a=3,因为|PF1|=5,由椭圆的定义得a=4,所以b2=12,故椭圆E的方程为x216+y212=1.
(2)易知点P的坐标为(2,3).
因为∠APF2=∠BPF2,所以直线PA,PB的斜率之和为0.
设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则直线PA的方程为y-3=k(x-2),
由y-3=k(x-2),x216+y212=1
可得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0,
所以x1+2=8k(2k-3)3+4k2,同理直线PB的方程为y-3=-k(x-2),
可得x2+2=-8k(-2k-3)3+4k2=8k(2k+3)3+4k2,
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所以x1+x2=16k2-123+4k2,x1-x2=-48k3+4k2,
kAB=y1-y2x1-x2=k(x1-2)+3+k(x2-2)-3x1-x2
=k(x1+x2)-4kx1-x2=12,
所以满足条件的直线AB的方程为y+1=12(x-1),即为x-2y-3=0.
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