数学理·【全国百强校】湖北省襄阳市第四中学2017届高三7月第三周周考理数试题解析（解析版）Word版含解斩

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全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a=（ ）‎ A．-2 B．2 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ 2．已知集合A={x|x+2>0}，集合B={-3，-2，0，2}，那么(CRA)∩B=（ ）‎ A． B．{-3，-2} C．{-3} D．{-2，0，2}‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，∴，选B.1‎ 考点：集合的基本运算. ‎ ‎3．已知随机变量服从正态分布，则（ ）‎ A．0.4 B．0.2 C．0.1 D．0.05‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由于是对称轴,因此，故应选C.‎ 考点：服从正态分布的随机变量的概率．‎ ‎4．2015年11月11日的“双十一”又掀购物狂潮，淘宝网站对购物情况做了一项调查，收回 的有 效问卷共500000份，其中购买下列四种商品的人数统计如下：服饰鞋帽198000人；家居用品94000人；‎ 化妆品116000人；家用电器92000人．为了解消费者对商品的满意度，淘宝网站用分层抽样的方法从中 选出部分问卷进行调查，已知在购买“化妆品”这一类中抽取了116人，则在购买“家居用品”这一类 中应抽取的问卷份数为（ ）‎ A．92 B．94 C．116 D．118‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：在购买“化妆品”这一类中抽取了人，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为，则，解得.‎ 考点：分层抽样方法．‎ ‎5．将两个数交换使得，下面语句正确一组是（ ）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎6．已知，若是以为直角顶点的等腰直角 三角形，则的面积等于（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因是等腰三角形,故,又是直角,故，即,也即,所以的面积为,应选B.‎ 考点：向量及运算．‎ ‎【易错点晴】本题以向量的坐标形式为背景，考查的是向量的有关知识在解题中的运用.解答本题的难点是搞清三角形的形状,也解答好本题的关键,求解时充分借助题设条件,将所提供的有效信息进行合理的分析和利用,最后使得问题化难为简避繁就简,体现数学中转化与化归的数学思想的理解和巧妙运用.本题中的隐含信息是向量的模为. ‎ ‎7．若正数a,b满足2＋log2 a＝3+1og3b＝1og6 （a+b），则的值为（ ）‎ A. 36 B. 72 C. 108 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 考点：对数式与指数式的互化及运算.‎ ‎8．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数 图象的一个对称中心可以是（ ）‎ A． B． C． ‎ ‎ D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，，令，∴图象的一个对称中心是．1‎ 考点：三角函数图象的平移、三角函数的对称中心． ‎ ‎9．几何体的俯视图为一边长为2的正三角形，则该几何体的各个面中，面积最大的面的面积为（ ）‎ A． B．2 C． D．3【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 考点：三视图的识读和几何体的体积的计算． ‎ ‎【方法点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“‎ 长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.‎ ‎10．的展开式中常数项为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：利用二项式定理的通项公式，，令，，，选D.‎ 考点：二项式定理．‎ ‎11．一个口袋装有个白球和个黑球，则先摸出个白球后放回，再摸出个白球的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由于取球后将球放回，故每次摸球取出白球的概率均为．1【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 考点：相互独立事件的发生概率． ‎ ‎12．椭圆的左焦点为为上顶点，为长轴上任意一点，且在原点的右 侧，若的外接圆圆心为，且，椭圆离心率的范围为（ ）‎ A． B． C． ‎ ‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 考点：椭圆的标准方程和圆的标准方程．‎ ‎【易错点晴】本题设置的是一道以椭圆的知识为背景的求圆的一般方程的问题.解答问题的关键是如何求出三角形的外接圆的圆心坐标,求解时充分借助题设条件将圆的方程设成一般形式,这是简化本题求解过程的一个重要措施,如果将其设为圆的标准形式,势必会将问题的求解带入繁杂的运算之中.解答本题的另一个问题是如何建立关于的不等式问题,解答时也是充分利用题设中的有效信息,进行合理的推理判断,最终将问题化为的不等式的求解问题,注意到整个过程都没有将表示为的表达式,这也是简化本题求解过程的一大特点. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13．已知求过原点与相切的直线方程___________;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【方法点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ ‎14．记数列的前和为，若是公差为的等差数列，则为等差数列时,的值 为 ．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ 试题分析： 是为首项，为公差的等差数列，，‎ ‎∴①，②，‎ ‎①-②得：，整理可得，假设，那么，，，为除数，不能为，∴．在此假设的公差为，则有当，此时，，是以为首项，为公差的等差数列．当时， ，此时，是以为首项，为公差的等差数列．综上所述，，或．故答案为：或．1‎ 考点：1．等差数列的前项和；2．等差数列的通项公式．‎ ‎15．如果一个正方形的四个项点都在三角形的三边上，则该正方形是该三角形的内接正方形，那么 面积为2的锐角的内接正方形面积的最大值为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：相似三角形的性质和基本不等式的运用． ‎ ‎【方法点睛】本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ ‎16．函数的定义域为，若存在闭区间1m,n] D，使得函数满足：①在1m,n]上 是单调函数；②在1m,n]上的值域为12m,2n]，则称区间1m,n]为的“倍值区间”．下列函 数中存在“倍值区间”的有 ．(填上所有正确的序号) ‎ ‎①； ②；‎ ‎③； ④．‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】‎ 试题分析：函数中存在“倍值区间”，则①在内是单调函数；②,或, ，①若存在“倍值区间”，则，∴，若存在“倍值区间”；②若存在“倍值区间”，则,，构建函数，∴，∴函数在上单调减，在上单调增，∴函数在 处取得极小值，且为最小值．∵，∴，∴无解，故函数不存在“倍值区间”；③若存在“倍值区间”，则, ，∴，，若存在“倍值区间”；④，， (，)．不妨设，则函数在定义域内为单调增函数，若存在“倍值区间”，则，，∴是方程的两个根，∴是方程的两个根，由于该方程有两个不等的正根，故存在“倍值区间”；综上知，所给函数中存在“倍值区间”的有①③④.‎ 考点：导数应用，函数与方程． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（本题12分）已知函数的图象过点．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）在△中，若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（Ⅰ）由．‎ 因为点在函数的图象上，‎ 所以，解得。1 ‎ 考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角恒等变换.‎ ‎18．（本题12分）某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生的良好“用眼习惯”的调查中，随 机发放了120分问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如2×2下列联表：‎ ‎（1）现按女生是否能做到科学用眼进行分层，从45份女生问卷中抽取了6份问卷，从这6份问卷中再随 机抽取3份，并记其中能做到科学用眼的问卷的份数X，试求随机变量X的分布列和数学期望；【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎（2）若在犯错误的概率不超过P的前提下认为良好“用眼习惯”与性别有关，那么根据临界值表，最精 确的P的值应为多少？请说明理由．【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 附：独立性检验统计量，其中n=a+b+c+d．‎ 独立性检验临界值表：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ k0‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.840‎ ‎5.024‎ ‎【答案】（1）分布列见解析，；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（1）“科学用眼”抽人，“不科学用眼”抽人．…（2分）‎ 则随机变量，…（3分）‎ ‎∴，，……（6分）‎ 分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎ …（8分）‎ ‎（2） …（10分）‎ 由表可知2.706＜3.030＜3.840；‎ ‎∴． …（12分）‎ 考点：超几何分布、独立性检验的应用 ‎ ‎19．（本题12分）是的直径，点是上的动点，过动点的直线垂直于所在 的平面，分别是的中点．‎ ‎（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由 ；‎ ‎（2）若已知，求二面角的余弦值的范围．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）运用线面垂直的判定进行推证；（2）借助题设条件建立空间直角坐标系,运用空间向量的数量积求解. 1‎ ‎（2）以点为原点，分别为轴，建立如图所示坐标系，设，则，．‎ 则点，由（1）知面的法向量，‎ 设面的法向量为，则，‎ 令，则．‎ 设二面角大小为，则 ‎∵，∴，‎ 又因为，所以 ‎∴二面角余弦值的范围为：．‎ 考点：线面垂直的判定定理和空间向量的数量积等有关知识的运用．‎ ‎【易错点晴】立体几何是高中数学的重要内容之一,也历届高考必考的题型之一.本题考查是空间的直线与平面的垂直问题和空间两个平面所成角的范围的计算问题.解答时第一问充分借助已知条件与判定定理,探寻直线与平行,再推证与平面垂直即可.关于第二问中的二面角的余弦值的问题,解答时巧妙运用建构空间直角坐标系,探求两个平面的法向量,然后运用空间向量的数量积公式建立了二面角的余弦关于变量的目标函数,最后通过求函数的值域求出二面角的余弦的取值范围. ‎ ‎20．（本题12分）已知点是圆上任意一点（是圆心），点与点关于 原点对称．线段的中垂线分别与交于两点．‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）直线经过，与抛物线交于两点，与交于两点．当以为直径的圆经过 时，求．‎ ‎【答案】(1)；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：解：（I）由题意得，F1（﹣1，0），F2（1，0），圆F1的半径为4，且|MF2|=|MP|，‎ 从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4＞|F1F2|， ‎ ‎∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆 其中长轴2a=4，得到a=2，焦距2c=2，则短半轴b=，‎ ‎∴椭圆方程为：‎ 所以（﹣1﹣x1）（﹣1﹣x2）+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+（1﹣k2）（x1+x2）+1+k2=0‎ 所以解得k2=， ‎ 由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0‎ 因为直线l 与抛物线有两个交点，所以k≠0，‎ 设A1（x3，y3），A2（x4，y4），则：，x3x4=1 ‎ 所以．1‎ 考点：1.椭圆的定义；2.直线与圆锥曲线的位置关系. ‎ ‎【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎21．（本题12分）设函数，且.曲线在点 处的切线的斜率为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若存在，使得，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（1），2分 由曲线在点处的切线的斜率为，得，3分 即，； 4分 ‎（2）由（1）可得，，‎ ‎， 5分 令，得，，而， 6分 ‎①当时，，‎ 在上，，为增函数，，‎ 令，即，解得. 8分 ‎②当时，，‎ 极小值 考点：导数的运用. ‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.‎ ‎22．（本题10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，的外接圆为，延长至，再延长至，使得．‎ ‎（1）求证：为的切线；‎ ‎（2）若恰好为的平分线，，求的长度．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）运用相似三角形和圆幂定理推证；（2）借助题设条件和圆幂定理求解. 1‎ 试题解析：（1）证明：∵，‎ ‎∴，即，‎ 于是，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 根据弦切角定理的逆定理可得为的切线．‎ 考点：圆中的有关定理及运用． ‎ ‎23．（本题10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线过，倾斜角为（）．以为极点，轴非负半轴为极轴，建 立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（I）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（II）已知直线与曲线交于、两点，且，求直线的斜率．‎ ‎【答案】（I），（II）.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：解：（I）直线的参数方程为（为参数），‎ 由得，曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（II）把，代入得．‎ 设，两点对应的参数分别为与，则，，‎ 易知与异号，又，．消去与得，即。1‎ 考点：极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程几何意义．‎ ‎24．（本题10分）选修4-5：不等式选讲 设函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集不是空集，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）运用分类整合的方法去掉绝对值求解；（2）借助题设条件和不等式恒成立的等价条件求解.‎ ‎（2）由题意：，‎ 由（1）式可知：时，时，时，，‎ ‎∴‎ ‎∴的范围为：．‎ 考点：绝对值不等式及有关知识的运用． ‎