【推荐】专题06 探索数列求和问题-2018版高人一筹之高二数学特色专题训练（必修5）x

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一、选择题 ‎1．【陕西省西安电子科技中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】设数列和都是等差数列，其中，且，则数列的前项之和是( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】都是等差数列， 是等差数列， ， ， ，故选B.‎ ‎2．【河南省林州市第一中学2018届高三10月调研】数列中，已知对任意正整数，有，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎3．【辽宁省凌源二中2018届高三三校联考】已知数列与的前项和分别为， ，且， ， ， ，若， 恒成立，则的最小值是（ ）‎ A. B. 49 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时， ，解得： 或 (舍去)，‎ 且： ，‎ 两式作差可得： ，‎ 整理可得： ，‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎ ‎4．【辽宁省本溪市第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知数列{an}的通项公式是＝sin，则＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎=‎ ‎,选B.‎ 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型　（如 ）‎ 二、填空题 ‎5．【河南省林州市第一中学2018届高三10月调研】数列的前项和为， __________‎ ‎【答案】2600‎ ‎【点睛】提供一个数列，有时提供通项公式，有时提供递推公式，有通项公式求数列的和可根据通项公式采用相应的方法求和，求和方法主要有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等，当有提供递推公式时，一般化为特殊数列（等差或等比）后再求和，也有时时根据数列的递推公式，借助前2‎ 项的值，推出后面的项的值，求数列的和时要观察数列各项的值的性，有时具有周期性，有时奇数项、偶数项分别具有一定的规律，然后再求和. ‎ ‎6．【河南省洛阳市2017-2018学年高三期中】已知，数列满足，则__________．‎ ‎【答案】1009‎ ‎【解析】因为的图象关于原点对称， 的图象由向上平移个单位，向右平移个单位， 的图象关于对称， ， ‎ ‎， ，两式相加可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故答案为.‎ ‎7．【河北省鸡泽县第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知数列满足，且对于任意都有，则 ___．‎ ‎【答案】．‎ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ 三、解答题 ‎8．【广东省揭阳市普宁华美实验学校2017-2018学年高二上学期第一次月考】若数列{an}是的递增等差数列，其中的a3=5，且a1，a2，a5成等比数列，‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，求数列{bn}的前项的和Tn．‎ ‎（3）是否存在自然数m，使得对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；‎ ‎ 若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1） an= 2n﹣1；（2）（1﹣）=；（3）存在；理由见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由于{}为等差数列， ,,,成等比数列，可设出数列{}的公差为，列方程组即可求出;（2）在求出{}的通项公式后，求出{}的通项公式，再应用裂项相消法即可求;(3)需先求Tn的值域，要使得恒成立，则需区间()包含Tn的值域即可.‎ ‎（2）由（1）知，an=2n﹣1．‎ 则bn=‎ 所以Tn=‎ ‎（3）Tn+1﹣Tn=,‎ ‎∴{Tn}单调递增，∴Tn≥T1=．∵Tn=∴≤Tn＜, 使得恒成立,只需 ‎ 解之得,又因为m是自然数，∴m=2．‎ 点睛：在数列求和问题中要注意识别何时应用裂项相消法，同时注意如何裂项；同时注意将数列不等式恒成立问题转化为求函数的最大值、最小值问题。‎ ‎9．【广东省揭阳市普宁华美实验学校2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知数列{an}满足a1=1，且an=2an﹣1+2n（n≥2，且n∈N*）‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设数列{an}的前n项之和Sn，求证：．‎ ‎【答案】(1) an=；(2)证明见解析.‎ ‎（2）∵Sn=‎ ‎∴2Sn=‎ 两式相减可得﹣Sn=1+22+23+…+2n﹣=（3﹣2n）•2n﹣3‎ ‎∴Sn=（2n﹣3）•2n+3＞（2n﹣3）•2n ∴．‎ 点睛：在求解数列的通项公式时要注意变形及整体思想的使用，将一般数列转化为等差或等比数列，从而求出数列通项公式。应用错位相减法求解数列的前n项和两式相减时要注意前后符号的变化.‎ ‎10．【宁夏六盘山高级中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知数列的前项和为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和为.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎（2）由，‎ 所以 ‎ ‎ .‎ 点睛：这类型题使用的公式是，一般条件是，若是消，就需当时构造，两式相减，再变形求解；若是消，就需在原式将变形为： ，再利用递推求解通项公式.‎ ‎11．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018届高三10月月考】已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据数列的前项和为，令、‎ 列出关于首项 ，公差 的方程组，解得、的值，即可得结；（2）由（1）知，利用错位相减法求和即可求得数列的前项和.‎ ‎（2）由（1）知所以 所以 两式相减，得 所以 ‎【 方法点睛】本题主要考查等差数列的通项、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列， 是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.‎ ‎12．【河南省洛阳市2017-2018学年高三期中】已知公差不为0的等差数列的前三项和为6，且成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求使的的最大值．‎ ‎【答案】（1）．（2）13．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据等差数列的前三项和为6，且成等比数列列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和后，解不等式即可得结果.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 所以．‎ 解，得，‎ 所以的最大值为13．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查等差数列、等比数列的综合运用以及裂项相消法求和，属于中档题.裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②‎ ‎；③；‎ ‎④ ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. ‎ ‎13．【山东省菏泽市单县第五中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知数列中， ，且满足 ‎ ‎（1）求的通项公式 ‎（2）设，求.‎ ‎【答案】(1) 最大为. (2) ‎ ‎（2）由（1）可得数列的前n项和为。‎ 当时， ‎ ‎ ‎ ‎。‎ ‎ ‎ ‎14．【山东省青州二中2017-2018学年高二10月月考】已知等比数列满足：，且是的等差中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设等比数列的首项为，公比为，根据，且是的等差中项，建立方程组，求出与的值，从而可求数列的通项公式；（2）由（1）可得，根据错位相减法可得结果.‎ 试题解析：（1）设等比数列的首项为，公比为，‎ 依题意，有，‎ 由①及，得或.‎ 当时，②不成立，当时，符合题意，‎ 把代入②得，所以.‎ ‎（2），‎ 所以，‎ ‎，‎ 两式相减.‎ 所以.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查等比数列的通项和等差中项的应用以及错位相减法求数列的的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.‎ ‎15．【辽宁省鞍山市第一中学2018届高三上学期一模】数列的前项和为， ，数列满足.‎ ‎（1）求和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）.‎ ‎（2）‎ ‎16．【宁夏银川一中2018届高三第二次月考】已知数列的前项和为，且满足， ‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先由和项与通项关系求，注意验证是否满足（2）先根据，利用裂项相消法求前项和.‎ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎17．【山东省枣庄市第八中学南校区高二10月份月考】已知数列的首项的等比数列，其前项和中，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）讨论等比数列的工笔q=1和,将数列的前n项和公式代入,求出基本量和,进而求出数列的通项公式; （2）化简,利用裂项相消法求出.‎ 点睛: 在数列求和中，最常见最基本的求和就是等差、等比数列中的求和，这时除了熟练掌握求和公式外还要熟记一些常见的求和结论，再就是分清数列的项数，以免在套用公式时出错．裂项相消法.把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．‎ ‎18．【辽宁省本溪市第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知数列中， ， ，数列中， ，其中；‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）若是数列的前n项和，求的值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据等差数列定义，即证为常数，将用代人，结合条件，可得（2）先根据等差数列前n项和得，再利用裂项相消法求和 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎19．【陕西省西安电子科技中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知数列的首项， ， …．‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由，可得，即可证明数列是等比数列；（2）由由（1）知， ，利用分组求和，再利用错位相减法，即可求出数列的前项和.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查根据递推公式求数列的通项以及分组求和、错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列， 是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.‎ ‎20．【河北省鸡泽县第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差数列{bn}中，bn＞0(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.‎ ‎【答案】(1)an＝3n－1(n∈N*),bn＝2n＋1(n∈N*)．‎ ‎(2)Tn＝n·3n.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项的递推关系式：an＋1＝3an，再根据等比数列定义以及通项公式求数列{an}的通项公式；利用待定系数法求等差数列{bn}中首项与公差，再根据等差数列通项公式得{bn}的通项公式；（2）利用错位相减法求数列{an·bn}的前n项和Tn. 利用错位相减法求和时，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以 ‎∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2，‎ ‎∵bn＞0(n∈N*)，∴舍去d＝－10，取d＝2，‎ ‎∴b1＝3，∴bn＝2n＋1(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)·3n－2＋(2n＋1)3n－1，①‎ ‎∴3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②‎ ‎∴①－②得－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n＝3＋2×－(2n＋1)3n＝3n－(2n＋1)3n ‎＝－2n·3n.∴Tn＝n·3n.‎ 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“‎ ‎”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎21．【宁夏六盘山高级中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知数列的前项和为，且满足： ，又已知数列为等差数列且满足.‎ ‎（1）证明：数列为等比数列；‎ ‎（2）设，求数列 的前项和为.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由时， 可得，即可证得；‎ ‎（2），可通过乘公比错位相减求和. ‎ ‎（2）由分别得到，所以公差，‎ 所以，‎ 又， ‎ 所以 ‎ 则 两式相减得 ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎22．【山西大学附属中学2017-2018学年高二上学期9月月考】已知数列的前项和，且是2与的等差中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) an＝2n;(2) Tn＝3－.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由前n项和与通项公式的关系可得数列的通项公式是an＝2n;‎ ‎(2)错位相减可得数列的前项和Tn＝3－.‎ ‎∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，‎ ‎∴an＝2n. ‎ ‎（2）bn＝＝．‎ 所以Tn＝＋＋＋…＋＋， ①‎ 则Tn＝＋＋＋…＋＋， ②‎ ‎＝－．‎ 所以Tn＝3－． ‎