天津市和平区第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

天津市和平区第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

天津一中2019-2020-1高二年级数学学科期末质量调查试卷 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟。第I卷 第1页，第II卷第2页.考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效.‎ 祝各位考生考试顺利!‎ 第I卷 一、选择题：（每题3分）‎ ‎1.命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用命题的否定定义得到答案.‎ ‎【详解】命题“，”的否定是：，‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了命题的否定，意在考查学生对于命题否定的掌握情况.‎ ‎2.复数（为虚数单位）等于（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的四则运算，化简 ，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，根据复数的运算可得复数，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，其中解答中熟记复数的四则运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎3.设是不为零的实数，则“且”是“抛物线的焦点在点的左侧”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算抛物线的焦点在点的左侧等价于且，根据范围大小得到答案.‎ ‎【详解】抛物线的焦点为在点的左侧，等价于且 ‎ 且是且的必要不充分条件 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生推断能力.‎ ‎4.已知椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到长轴长为短轴长为，根据数量关系计算得到答案.‎ ‎【详解】椭圆的焦点在轴，故长轴长为短轴长为 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的长轴和短轴的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎5.已知双曲线方程为，过点作直线与该双曲线交于，两点，若点恰好为中点，则直线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设，，由题意得到，，两式作差整理，结合题意，求出直线斜率，即可得出直线方程.‎ ‎【详解】设，，由题意可得：，两式作差可得：，‎ 即，‎ 又点恰好为中点，所以直线的斜率为：，‎ 因此，直线的方程为：，即.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查双曲线中点弦所在直线方程问题，熟记双曲线的几何性质与直线的斜率公式即可，属于常考题型.‎ ‎6.若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，则，根据函数的最值得到答案.‎ ‎【详解】点和点分别为椭圆的中心和左焦点，则 ‎ 设 ‎ 则 ‎，当时，函数有最大值为 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的参数方程，向量数量积的最值，意在考查学生的计算能力.‎ ‎7.双曲线的渐近线与抛物线相交于，，，若的垂心为的焦点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，解得，根据计算得到答案.‎ ‎【详解】设，则 解得：，同理 ‎ ，根据得到 解得 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的综合题型，意在考查学生的计算能力.‎ ‎8.在平面直角坐标系中，双曲线右支与焦点为的抛物线交于，两点，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立方程得到，计算得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】联立方程 ‎ ‎，故渐近线为 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的渐近线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：（每题4分）‎ ‎9.已知复数（为虚数单位，为实数)为纯虚数，则_____________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，计算，代入计算模长得到答案.‎ ‎【详解】为纯虚数，故 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了复数的化简，复数模的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎10.若，为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，若，则到轴的距离为_____________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦定理得到，计算，再利用面积公式得到 ‎，计算得到答案.‎ ‎【详解】根据余弦定理得到：‎ ‎ ‎ 故 ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线面积相关问题，利用等面积法可以简化运算，是解题的关键.‎ ‎11.已知直线，抛物线图像上的一动点到直线与它到抛物线准线距离之和的最小值为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算焦点为，根据抛物线性质得到最小值为焦点到直线的距离，利用点到直线的距离公式计算得到答案.‎ ‎【详解】抛物线焦点为 ‎ 抛物线上动点到直线与它到抛物线准线距离之和等于点到直线和点到焦点的距离和 最小值为焦点到直线的距离 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的最值问题，转化为点到直线的距离是解题的关键.‎ ‎12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与椭圆交于点，则椭圆的方程为__________________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，和得到椭圆方程.‎ ‎【详解】根据题意知：，故 ‎ ‎ 椭圆的方程为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，意在考查学生的计算能力和转换能力.‎ ‎13.已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图像,根据线段成比例的性质与双曲线的定义进行列式求解出的关系,再化简求得离心率即可.‎ ‎【详解】如图,由题可知,则,,‎ 则,又,‎ ‎,又 作,可得.则.‎ 在中,；‎ 即,‎ 得,又.化简可得,‎ ‎,双曲线的离心率为 ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的几何意义以及离心率的求解方法等,需要画图分析其中的关系进行列式求解,属于中等题型.‎ ‎14.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，若且，=则此抛物线的方程为___________________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示：过点作垂直于准线于，过点作垂直于准线于，根据相似得到，，，在利用相似得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：过点作垂直于准线于，过点作垂直于准线于 故， ‎ ‎ 故抛物线方程为：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线方程，利用相似可以简化运算，是解题的关键.‎ 三、解答题：（共52分）‎ ‎15.已知命题：方程所表示的曲线为焦点在轴上的双曲线；命题：实数满足不等式．‎ ‎（1）若命题为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得到，计算得到答案.‎ ‎（2）根据充分不必要条件得到范围的大小关系，计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）方程所表示的曲线为焦点在轴上的双曲线，故，‎ ‎（2）命题：实数满足不等式．故 命题是命题充分不必要条件，则 ‎【点睛】本题考查了根据命题的真假和充分不必要条件计算参数，抓住范围的大小关系是解题的关键.‎ ‎16.已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上任意一点 ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）是否存在着直线，使得当经过椭圆左顶点且与椭圆相交于点，点与点关于轴对称，满足，若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）或，理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）联立方程解得，，，判断为直角三角形，再利用面积公式计算得到答案.‎ ‎（2）联立方程计算，根据计算得到答案.‎ ‎【详解】（1），，‎ ‎（2）设故 且，‎ 故 即故 或 ‎【点睛】本题考查了面积和椭圆与直线的位置关系，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.‎ ‎17.已知曲线上任意一点到点的距离与它到直线的距离相等，若过的两条直线，的斜率之积为，且，分别交曲线于，两点和，两点，‎ ‎（1）求曲线方程；‎ ‎（2）求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）32.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用抛物线定义得到答案.‎ ‎（2）设方程为，联立方程计算得到，，利用均值不等式计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）根据抛物线的定义知：‎ ‎（2）设方程为，，，‎ ‎，‎ 设方程为同理 当时等号成立 ‎【点睛】本题考查了轨迹方程，弦长的最值问题，意在考查学生的计算能力.‎ ‎18.已知椭圆方程为：椭圆的右焦点为，离心率为，直线与椭圆相交于，两点，且 ‎（1）椭圆的方程；‎ ‎（2）求的面积的最大值.‎ ‎（3）若椭圆的右顶点为，上顶点为，经过原点的直线与椭圆交于，两点，该直线与直线交于点，且点，均在第四象限.若的面积是面积的倍，求该直线方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）3；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接计算得到答案.‎ ‎（2）联立方程利用韦达定理得到，，计算得到利用均值不等式得到答案.‎ ‎（3）联立方程得到，，代入计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）根据题意知：，，故 ‎（2）联立方程则 ‎，‎ ‎，式等号成立.‎ ‎（3）须：只需：只需：只需：‎ 设：‎ 只需：‎ 或(舍)‎ 直线方程为：‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆方程，面积的最大值，根据条件求直线方程，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎ ‎