2018届二轮复习导数与函数的单调性、极值、最值问题课件文(全国通用)

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2018届二轮复习导数与函数的单调性、极值、最值问题课件文(全国通用)

第 4 讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题 高考定位  利用导数研究函数的性质,以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体,研究函数的单调性、极值、最值,并能解决简单的问题 . 真 题 感 悟 1. (2017· 全国 Ⅱ 卷 ) 若 x =- 2 是函数 f ( x ) = ( x 2 + ax - 1)·e x - 1 的极值点,则 f ( x ) 的极小值为 (    ) A. - 1 B. - 2e - 3 C.5e - 3 D.1 解析  f ′( x ) = [ x 2 + ( a + 2) x + a - 1]·e x - 1 , 则 f ′( - 2) = [4 - 2( a + 2) + a - 1]·e - 3 = 0 ⇒ a =- 1 , 则 f ( x ) = ( x 2 - x - 1)·e x - 1 , f ′( x ) = ( x 2 + x - 2)·e x - 1 , 令 f ′( x ) = 0 ,得 x =- 2 或 x = 1 , 当 x < - 2 或 x >1 时, f ′( x )>0 , 当- 2< x <1 时, f ′( x )<0 ,则 f ( x ) 极小值为 f (1) =- 1. 答案  A 答案  y = x + 1 3. (2017· 全国 Ⅰ 卷改编 ) 已知函数 f ( x ) = e x (e x - a ) - a 2 x ,其中参数 a ≤ 0. (1) 讨论 f ( x ) 的单调性; (2) 若 f ( x ) ≥ 0 ,求 a 的取值范围 . 考 点 整 合 1. 导数的几何意义 函数 f ( x ) 在 x 0 处的导数是曲线 f ( x ) 在点 P ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线的斜率,曲线 f ( x ) 在点 P 处的切线的斜率 k = f ′( x 0 ) ,相应的切线方程为 y - f ( x 0 ) = f ′( x 0 )( x - x 0 ). 易错提醒   求曲线的切线方程时,要注意是在点 P 处的切线还是过点 P 的切线,前者点 P 为切点,后者点 P 不一定为切点 . 2. 四个易误导数公式 3. 利用导数研究函数的单调性 (1) 导数与函数单调性的关系 . ① f ′( x )>0 是 f ( x ) 为增函数的充分不必要条件,如函数 f ( x ) = x 3 在 ( - ∞ ,+ ∞ ) 上单调递增,但 f ′( x ) ≥ 0. ② f ′( x ) ≥ 0 是 f ( x ) 为增函数的必要不充分条件,如果函数在某个区间内恒有 f ′( x ) = 0 时,则 f ( x ) 为常数函数 . (2) 利用导数研究函数单调性的方法 . ① 若求单调区间 ( 或证明单调性 ) ,只要在函数定义域内解 ( 或证明 ) 不等式 f ′( x )>0 或 f ′( x )<0. ② 若已知函数的单调性,则转化为不等式 f ′( x ) ≥ 0 或 f ′( x ) ≤ 0 在单调区间上恒成立问题来求解 . 4. 利用导数研究函数的极值、最值 (1) 若在 x 0 附近左侧 f ′( x )>0 ,右侧 f ′( x )<0 ,则 f ( x 0 ) 为函数 f ( x ) 的极大值;若在 x 0 附近左侧 f ′( x )<0 ,右侧 f ′( x )>0 ,则 f ( x 0 ) 为函数 f ( x ) 的极小值 . (2) 设函数 y = f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续,在 ( a , b ) 内可导,则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得 . 易错提醒  若函数的导数存在,某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要而不充分条件 . 热点一 导数的几何意义 【例 1 】 (1) (2017· 鹰潭一模 ) 已知曲线 f ( x ) = 2 x 2 + 1 在点 M ( x 0 , f ( x 0 )) 处的瞬时变化率为- 8 ,则点 M 的坐标为 ________. (2) (2016· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知 f ( x ) 为偶函数,当 x ≤ 0 时, f ( x ) = e - x - 1 - x ,则曲线 y = f ( x ) 在点 (1 , 2) 处的切线方程是 ________. 解析  (1) ∵ f ( x ) = 2 x 2 + 1 , ∴ f ′( x ) = 4 x , 令 4 x 0 =- 8 ,则 x 0 =- 2 , ∴ f ( x 0 ) = 9 , ∴ 点 M 的坐标是 ( - 2 , 9). (2) 因为 f ( x ) 为偶函数,所以当 x >0 时, f ( x ) = f ( - x ) = e x - 1 + x . 所以 f ′( x ) = e x - 1 + 1 , f ′(1) = e 1 - 1 + 1 = 2. 所以 f ( x ) 在点 (1 , 2) 处的切线方程为 y - 2 = 2( x - 1) ,即 2 x - y = 0. 答案  (1)( - 2 , 9)   (2)2 x - y = 0 探究提高  1.(1) 利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来转化,其中关键是求出切点的坐标 . (2) 以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则根据平行、垂直与斜率之间的关系和导数联系起来求解 . 2. 求曲线的切线要注意 “ 过点 P 的切线 ” 与 “ 在点 P 处的切线 ” 的差异,过点 P 的切线中,点 P 不一定是切点,点 P 也不一定在已知曲线上,而在点 P 处的切线,必以点 P 为切点 . 答案  (1)A   (2)1 探究提高   1. 求函数的单调区间,只需在函数的定义域内解 ( 证 ) 不等式 f ′( x )>0 或 f ′( x )<0. 2. 解答本例容易出现以下错误: (1) 忽略函数的定义域,在函数解析式中含有对数必须满足 x >0. (2) 对 k 分类讨论不全,题目中已知 k >0 ,对 k 分类讨论时容易对标准划分不准确,讨论不全面 . 【迁移探究 1 】 若将本例中的条件 “ k >0” 变为 “ k <0” ,其他条件不变, f ( x ) 在 (0 , 2) 上的单调性如何? 【迁移探究 2 】 在本例 (1) 中,将 “ (0 , 2) ” 改为 (0 ,+ ∞ ) ,其他条件不变,求函数 f ( x ) 的单调区间 . 探究提高  1. 已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件 f ′( x ) ≥ 0( 或 f ′( x ) ≤ 0) , x ∈ ( a , b ) 恒成立,解出参数的取值范围 ( 一般可用不等式恒成立的理论求解 ) ,应注意参数的取值是 f ′( x ) 不恒等于 0 的参数的范围 . 2. 若函数 y = f ( x ) 在区间 ( a , b ) 上不单调,则转化为 f ′( x ) = 0 在 ( a , b ) 上有解 . 【训练 2 】 已知 a ∈ R ,函数 f ( x ) = ( - x 2 + ax )e x ( x ∈ R , e 为自然对数的底数 ). (1) 当 a = 2 时,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2) 若函数 f ( x ) 在 ( - 1 , 1) 上单调递增,求 a 的取值范围; 解  (1) ∵ f ( x ) = e x ·cos x - x , ∴ f (0) = 1 , f ′( x ) = e x (cos x - sin x ) - 1 , ∴ f ′(0) = 0 , ∴ y = f ( x ) 在 (0 , f (0)) 处的切线方程为 y - 1 = 0·( x - 0) ,即 y = 1. 命题角度 2  与函数极值点个数有关问题 【例 3 - 2 】 (2017· 衡水中学月考 ) 已知函数 f ( x ) = ax - 1 - ln x ( a ∈ R ). (1) 讨论函数 f ( x ) 在定义域内的极值点的个数; (2) 若函数 f ( x ) 在 x = 1 处取得极值, ∀ x ∈ (0 ,+ ∞ ) , f ( x ) ≥ bx - 2 恒成立,求实数 b 的最大值 . 探究提高  1. 求函数 f ( x ) 的极值,则先求方程 f ′( x ) = 0 的根,再检查 f ′( x ) 在方程根的左右附近函数值的符号 . 2. 若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程 f ′( x ) = 0 根的大小或存在情况来求解 . 3. 求函数 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值 f ( a ) , f ( b ) 与 f ( x ) 的各极值进行比较得到函数的最值 . 1. 如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个,这些单调区间不能用 “∪” 连接,而只能用逗号或 “ 和 ” 字隔开 . 2. 可导函数在闭区间 [ a , b ] 上的最值,就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值与最小值 . 3. 可导函数极值的理解 (1) 函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定,也有可能极小值大于极大值; (2) 对于可导函数 f ( x ) , “ f ( x ) 在 x = x 0 处的导数 f ′( x 0 ) = 0 ” 是 “ f ( x ) 在 x = x 0 处取得极值 ” 的必要不充分条件; (3) 注意导函数的图象与原函数图象的关系,导函数由正变负的零点是原函数的极大值点,导函数由负变正的零点是原函数的极小值点 . 4. 求函数的单调区间时,若函数的导函数中含有带参数的有理因式,因式根的个数、大小、根是否在定义域内可能都与参数有关,则需对参数进行分类讨论 . 5. 求函数的极值、最值问题,一般需要求导,借助函数的单调性,转化为方程或不等式问题来解决,有正向思维 —— 直接求函数的极值或最值;也有逆向思维 —— 已知函数的极值或最值,求参数的值或范围,常常用到分类讨论、数形结合的思想 .
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