数学理卷·2017届吉林省吉林市普通中学高三毕业班第二次调研测试（2017

数学理卷·2017届吉林省吉林市普通中学高三毕业班第二次调研测试（2017

吉林省普通中学2016-2017学年度高中毕业班第二次调研测试 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择是 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知，，，则（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2.已知复数，则（ ）‎ A.的模为2 B.的实部为1‎ C.的虚部为 D.的共轭复数为 ‎3.下列关于命题的说法错误的是（ ）‎ A.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；‎ B.“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；‎ C.若命题：，，则，；‎ D.命题“，”是真命题 ‎4.在中，角所对的边分别为，若，，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.函数的图象大致是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）‎ A. B. C. D.2‎ ‎7.设是公差不为0的等差数列，满足，则该数列的前10项和（ ）‎ A. B. C.0 D.5‎ ‎8.某几何体的三视图如下图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知，把的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到的图象；若对任意实数，都有成立，则（ ）‎ A. B.3 C.2 D.‎ ‎10.在等腰直角中，，在边上且满足：，若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，且双曲线的离心率相同，则双曲线的实轴长是（ ）‎ A.32 B.16 C.8 D.4‎ ‎12.已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知是坐标原点，点，若点为平面区域上一个动点，则的取值范围是 ．‎ ‎14.已知，，与的夹角为，且与垂直，则实数 ．‎ ‎15.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，若，则直线的斜率是 ．‎ ‎16.艾萨克·牛顿（1643年1月4日----1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：满足，我们把该数列称为牛顿数列.‎ 如果函数有两个零点1，2，数列为牛顿数列，设，已知，，则的通项公式 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知函数的部分图象如图所示.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）在中，角的对边分别是，若，求的取值范围.‎ ‎18.已知数列是等比数列，为数列的前项和，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，且为递增数列，若，求证：.‎ ‎19.某车间20名工人年龄数据如下表：‎ 年龄（岁）‎ ‎19‎ ‎24‎ ‎26‎ ‎30‎ ‎34‎ ‎35‎ ‎40‎ 合计 工人数（人）‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎20‎ ‎（1）求这20名工人年龄的众数与平均数；‎ ‎（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；‎ ‎（3）从年龄在24和26的工人中随机抽取2人，求这2人均是24岁的概率.‎ ‎20.如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，点是棱的中点，平面与棱交于点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，平面平面，求平面与平面所成的二面角的余弦值.‎ ‎21.如图，椭圆，点在短轴上，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程及离心率；‎ ‎（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎22.设函数，，已知曲线在点处的切线与直线垂直.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若对任意，都有，求的取值范围.‎ 吉林省普通中学2016-2017学年度高中毕业班第二次调研测试 数学（理科）参考答案与评分标准 一、选择题 ‎1-5:ACDCB 6-10:BCAA 11、12：BD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由图象知，，‎ 将点代入解析式得，因为，所以，‎ 所以.‎ ‎（2）由得：，‎ 所以，，‎ 因为，所以，所以，，，‎ ‎，，，所以，‎ 所以.‎ ‎18.解：（1）设数列的公比为，‎ 当时，符合条件，，，‎ 当时，，所以，解得，.‎ ‎，‎ 综上：或.‎ 注：列方程组求解可不用讨论.‎ ‎（2）证明：若，则，与题意不符；‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎19.解：（1）由题意可知，这20名工人年龄的众数是30，‎ 这20名工人年龄的平均数为：‎ ‎.‎ ‎（2）这20名工人年龄的茎叶图如图所示：‎ ‎（3）记年龄为24岁的三个人为；年龄为26岁的三个人为，则从这6人中随机抽取2人的所有可能为：‎ ‎，‎ ‎，‎ 共15种.‎ 满足题意的有3种，‎ 故所求的概率为.‎ ‎20.（1）证明：∵是菱形，∴，‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵四点共面，且面面，‎ ‎∴.‎ ‎（2）解：取中点，连接，，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵平面平面，平面平面，‎ ‎∴面，‎ ‎∴，在菱形中，∵，，是中点，‎ ‎∴，‎ 如图，以为原点，、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，‎ 由得，，，，，‎ ‎，.‎ 又∵，点是棱中点，∴点是棱中点，‎ ‎∴，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则有，，取，则.‎ ‎∵平面，∴是平面的一个法向量，‎ ‎，二面角的余弦值为，‎ ‎∴平面与平面所成的二面角的余弦值为.‎ ‎21.解：（1）由已知，点的坐标分别为，，‎ 又点的坐标为，且，即，‎ 解得，所以椭圆的方程为.‎ 因为，所以离心率.‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，的坐标分别为 ‎，联立得，‎ 其判别式，所以，，，‎ 从而 ‎，‎ 所以，当时，，‎ 即为定值，‎ 当直线斜率不存在时，直线即为直线，‎ 此时，‎ 故存在常数，使得为定值.‎ ‎22.解：（1）曲线在点处的切线斜率为2，所以，‎ 又，即，所以.‎ ‎（2）的定义域为，‎ ‎，‎ ‎①若，则，故当时，，在上单调递增.‎ 所以，对任意，都有的充要条件为，即，‎ 解得或.‎ ‎②若，则，故当时，；当时，‎ ‎，在上单调递减，在上单调递增.‎ 所以，对任意，都有的充要条件为，‎ 而在上恒成立，‎ 所以.‎ ‎③若，在上递减，不合题意.‎ 综上，的取值范围是.‎