【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版5-1平面向量的概念及线性运算学案

【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版5-1平面向量的概念及线性运算学案

§5.1　平面向量的概念及线性运算 最新考纲 考情考向分析 1.了解向量的实际背景． 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 3.理解向量的几何表示． 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义． 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线 的含义． 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 主要考查平面向量的线性 运算(加法、减法、数乘向 量)及其几何意义、共线向 量定理，常与三角函数、解 析几何交汇考查，有时也会 有创新的新定义问题；题型 以选择题、填空题为主，属 于中低档题目．偶尔会在解 答题中作为工具出现. 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 具有大小和方向的量；向量的大小 叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为 0 的向量；其方向不确定 记作 0 单位向量 长度等于 1 个单位的向量 非零向量 a 的单位向量为± a |a| 平行向量 (共线向量) 共线向量的方向相同或相反 0 与任一向量平行或共线 相等向量 同向且等长的有向线段 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 向量的加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 向量的减法 求 a 与 b 的相反向量 －b 的和的运算叫做 a 与 b 的差 a－b＝a＋(－b) 数乘向量 求实数 λ 与向量 a 的 积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当 λ>0 时，λa 的方 向与 a 的方向相同； 当 λ<0 时，λa 的方向 与 a 的方向相反；当 λ＝0 时，λa＝0 (1)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (2)λ(μa)＝(λμ)a； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb 3.平行向量基本定理 如果 a＝λb，则 a∥b；反之，如果 a∥b，且 b≠0，则一定存在唯一一个实数 λ，使 a＝λb. 概念方法微思考 1．若 b 与 a 共线，则存在实数 λ 使得 b＝λa，对吗？ 提示　不对，因为当 a＝0，b≠0 时，不存在 λ 满足 b＝λa. 2．如何理解数乘向量？ 提示　λa 的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当 λ>0 时，λa 与 a 同方向；当 λ<0 时，λa 与 a 反方向；当 λ＝0 或 a 为零向量时，λa 为零向量，方向不确定． 3．如何理解平行向量基本定理？ 提示　如果 a＝λb，则 a∥b；反之，如果 a∥b，且 b≠0，则一定存在唯一一个实数 λ，使得 a＝λb. 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(　√　) (2)|a|与|b|是否相等与 a，b 的方向无关．(　√　) (3)若 a∥b，b∥c，则 a∥c.(　×　) (4)若向量AB → 与向量CD → 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上．(　×　) (5)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 b＝λa，反之成立．(　√　) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　×　) 题组二　教材改编 2．已知▱ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且OA → ＝a，OB → ＝b，则DC → ＝________，BC → ＝ ________.(用 a，b 表示) 答案　b－a　－a－b 解析　如图，DC → ＝AB → ＝OB → －OA → ＝b－a， BC → ＝OC → －OB → ＝－OA → －OB → ＝－a－b. 3．在平行四边形 ABCD 中，若|AB → ＋AD → |＝|AB → －AD → |，则四边形 ABCD 的形状为________． 答案　矩形 解析　如图，因为AB → ＋AD → ＝AC → ， AB → －AD → ＝DB → ， 所以|AC → |＝|DB → |. 由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形 ABCD 是矩形． 题组三　易错自纠 4．对于非零向量 a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若 a＋b＝0，则 a＝－b，所以 a∥b. 若 a∥b，则 a＋b＝0 不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件． 5．设向量 a，b 不平行，向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数 λ＝____________. 答案　1 2 解析　∵向量 a，b 不平行，∴a＋2b≠0，又向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则存在唯一的实数 μ，使 λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即 λa＋b＝μa＋2μb，则Error!解得 λ＝μ＝1 2. 6．设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝ 1 2AB，BE＝2 3BC.若DE → ＝λ1AB → ＋λ2AC → (λ1，λ2 为实数)，则 λ1＋λ2 的值为________． 答案　1 2 解析　DE → ＝DB → ＋BE → ＝1 2AB → ＋2 3BC → ＝1 2AB → ＋2 3(BA → ＋AC → )＝－1 6AB → ＋2 3AC → ， ∴λ1＝－1 6，λ2＝2 3，即 λ1＋λ2＝1 2. 题型一　平面向量的概念 1．给出下列命题： ①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线； ③若 A，B，C，D 是不共线的四点，且AB → ＝DC → ，则 ABCD 为平行四边形； ④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b； ⑤已知 λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线． 其中真命题的序号是________． 答案　③ 解析　①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定 有相同的起点和终点； ②错误，若 b＝0，则 a 与 c 不一定共线； ③正确，因为AB → ＝DC → ，所以|AB → |＝|DC → |且AB → ∥DC → ；又 A，B，C，D 是不共线的四点，所以 四边形 ABCD 为平行四边形； ④错误，当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b，所以|a|＝|b|且 a∥b 不是 a＝ b 的充要条件，而是必要不充分条件； ⑤错误，当 λ＝μ＝0 时，a 与 b 可以为任意向量，满足 λa＝μb，但 a 与 b 不一定共线． 故填③. 2．给出下列四个命题： ①若 a∥b，则 a＝b；②若|a|＝|b|，则 a＝b；③若|a|＝|b|，则 a∥b；④若 a＝b，则|a|＝|b|， 其中正确命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　只有④正确． 思维升华 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度． (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度． (5)零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任何向量共线． 题型二　平面向量的线性运算 命题点 1　向量加、减法的几何意义 例 1 (2017·全国Ⅱ)设非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　) A．a⊥b B．|a|＝|b| C．a∥b D．|a|>|b| 答案　A 解析　方法一　∵|a＋b|＝|a－b|， ∴|a＋b|2＝|a－b|2. ∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b. ∴a·b＝0.∴a⊥b. 故选 A. 方法二　利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设AB → ＝a，AD → ＝b， 由|a＋b|＝|a－b|知，|AC → |＝|DB → |， 从而四边形 ABCD 为矩形，即 AB⊥AD，故 a⊥b. 故选 A. 命题点 2　向量的线性运算 例 2 (1)(2019·包头模拟)在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 CD 的中点，BE 与 AC 的交点为 F， 设AB → ＝a，AD → ＝b，则向量BF → 等于(　　) A.1 3a＋2 3b B．－1 3a－2 3b C．－1 3a＋2 3b D.1 3a－2 3b 答案　C 解析　BF → ＝2 3BE → ＝2 3(BC → ＋CE → ) ＝2 3(b－1 2a)＝－1 3a＋2 3b， 故选 C. (2)(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB → 等于(　　) A.3 4AB → －1 4AC → B.1 4AB → －3 4AC → C.3 4AB → ＋1 4AC → D.1 4AB → ＋3 4AC → 答案　A 解析　作出示意图如图所示． EB → ＝ED → ＋DB → ＝1 2AD → ＋1 2CB → ＝1 2×1 2(AB → ＋AC → )＋1 2(AB → －AC → ) ＝3 4AB → －1 4AC → . 故选 A. 命题点 3　根据向量线性运算求参数 例 3 在锐角△ABC 中，CM → ＝3MB → ，AM → ＝xAB → ＋yAC → ，则x y＝________. 答案　3 解析　由题意得CA → ＋AM → ＝3(AB → －AM → )， 即 4AM → ＝3AB → ＋AC → ， 亦即AM → ＝3 4AB → ＋1 4AC → ， 则 x＝3 4，y＝1 4. 故x y＝3. 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则． (2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连 向量的和用三角形法则． (3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求 参数的值． 跟踪训练 1 (1)在△ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且BD → ＝2DC → ，CE → ＝3EA → ，若AB → ＝ a，AC → ＝b，则DE → 等于(　　) A.1 3a＋ 5 12b B.1 3a－13 12b C．－1 3a－ 5 12b D．－1 3a＋13 12b 答案　C 解析　DE → ＝DC → ＋CE → ＝1 3BC → ＋3 4CA → ＝1 3(AC → －AB → )－3 4AC → ＝－1 3AB → － 5 12AC → ＝－1 3a－ 5 12b，故选 C. (2)(2018·营口模拟)在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 BC，CD 的中点，若AB → ＝xAE → ＋y AF → (x，y∈R)，则 x－y＝________. 答案　2 解析　由题意得AE → ＝AB → ＋BE → ＝AB → ＋1 2AD → ， AF → ＝AD → ＋DF → ＝AD → ＋1 2AB → ， 因为AB → ＝xAE → ＋yAF → ， 所以AB → ＝(x＋y 2 )AB → ＋(x 2＋y )AD → ， 所以Error!解得Error! 所以 x－y＝2. 题型三　平行向量基本定理的应用 例 4 设两个非零向量 a 与 b 不共线． (1)若AB → ＝a＋b，BC → ＝2a＋8b，CD → ＝3(a－b)， 求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线． (1)证明　∵AB → ＝a＋b，BC → ＝2a＋8b，CD → ＝3(a－b)， ∴BD → ＝BC → ＋CD → ＝2a＋8b＋3(a－b) ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB → ， ∴AB → ，BD → 共线． 又∵它们有公共点 B，∴A，B，D 三点共线． (2)解　假设 ka＋b 与 a＋kb 共线， 则存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b. 又 a，b 是两个不共线的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0. 消去 λ，得 k2－1＝0，∴k＝±1. 引申探究　 1．若将本例(1)中“BC → ＝2a＋8b”改为“BC → ＝a＋mb”，则 m 为何值时，A，B，D 三点共线？ 解　BC → ＋CD → ＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b， 即BD → ＝4a＋(m－3)b. 若 A，B，D 三点共线，则存在实数 λ，使BD → ＝λAB → . 即 4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)． 所以Error!解得 m＝7. 故当 m＝7 时，A，B，D 三点共线． 2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则 k 为何值？ 解　因为 ka＋b 与 a＋kb 反向共线， 所以存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)． 所以Error!所以 k＝±1. 又 λ<0，k＝λ，所以 k＝－1. 故当 k＝－1 时两向量反向共线． 思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区 别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． (2)向量 a，b 共线是指存在不全为零的实数 λ1，λ2，使 λ1a＋λ2b＝0 成立；若 λ1a＋λ2b＝0，当 且仅当 λ1＝λ2＝0 时成立，则向量 a，b 不共线． 跟踪训练 2 已知 O，A，B 是不共线的三点，且OP → ＝mOA → ＋nOB → (m，n∈R)． (1)若 m＋n＝1，求证：A，P，B 三点共线； (2)若 A，P，B 三点共线，求证：m＋n＝1. 证明　(1)若 m＋n＝1， 则OP → ＝mOA → ＋(1－m)OB → ＝OB → ＋m(OA → －OB → )， ∴OP → －OB → ＝m(OA → －OB → )， 即BP → ＝mBA → ，∴BP → 与BA → 共线． 又∵BP → 与BA → 有公共点 B，则 A，P，B 三点共线． (2)若 A，P，B 三点共线，则存在实数 λ，使BP → ＝λBA → ， ∴OP → －OB → ＝λ(OA → －OB → )． 又OP → ＝mOA → ＋nOB → . 故有 mOA → ＋(n－1)OB → ＝λOA → －λOB → ， 即(m－λ)OA → ＋(n＋λ－1)OB → ＝0. ∵O，A，B 不共线，∴OA → ，OB → 不共线， ∴Error!∴m＋n＝1. 1．对于非零向量 a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若 a＋2b＝0，则 a＝－2b，所以 a∥b. 若 a∥b，则 a＋2b＝0 不一定成立， 故前者是后者的充分不必要条件． 2．已知向量AB → ＝a＋3b，BC → ＝5a＋3b，CD → ＝－3a＋3b，则(　　) A．A，B，C 三点共线 B．A，B，D 三点共线 C．A，C，D 三点共线 D．B，C，D 三点共线 答案　B 解析　∵BD → ＝BC → ＋CD → ＝2a＋6b＝2AB → ， ∴BD → 与AB → 共线，由于BD → 与AB → 有公共点 B， 因此 A，B，D 三点共线，故选 B. 3.如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 上的一个靠近点 B 的三等分点， 那么EF → 等于(　　) A.1 2AB → －1 3AD → B.1 4AB → ＋1 2AD → C.1 3AB → ＋1 2DA → D.1 2AB → －2 3AD → 答案　D 解析　在△CEF 中，有EF → ＝EC → ＋CF → . 因为点 E 为 DC 的中点，所以EC → ＝1 2DC → . 因为点 F 为 BC 上的一个靠近点 B 的三等分点， 所以CF → ＝2 3CB → . 所以EF → ＝1 2DC → ＋2 3CB → ＝1 2AB → ＋2 3DA → ＝1 2AB → －2 3AD → ，故选 D. 4．(2018·锦州模拟)在△ABC 中，点 G 满足GA → ＋GB → ＋GC → ＝0.若存在点 O，使得OG → ＝1 6BC → ， 且OA → ＝mOB → ＋nOC → ，则 m－n 等于(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 答案　D 解析　∵ GA → ＋GB → ＋GC → ＝0， ∴OA → －OG → ＋OB → －OG → ＋OC → －OG → ＝0， ∴OG → ＝1 3(OA → ＋OB → ＋OC → )＝1 6BC → ＝1 6(OC → －OB → )， 可得OA → ＝－1 2OC → －3 2OB → ， ∴m＝－3 2，n＝－1 2，m－n＝－1，故选 D. 5.如图，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等分点，AB → ＝a，AC → ＝b，则AD → 等于(　　) A．a－1 2b B.1 2a－b C．a＋1 2b D.1 2a＋b 答案　D 解析　连接 OC，OD，CD，由点 C，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC＝∠COD＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆 O 半径的等边三角形，所以四边形 OACD 为菱形， 所以AD → ＝AO → ＋AC → ＝1 2AB → ＋AC → ＝1 2a＋b，故选 D. 6.如图，在△ABC 中，AN → ＝1 3AC → ，P 是 BN 上的一点，若AP → ＝mAB → ＋ 2 11AC → ，则实数 m 的值为 (　　) A. 9 11 B. 5 11 C. 3 11 D. 2 11 答案　B 解析　注意到 N，P，B 三点共线， 因此AP → ＝mAB → ＋ 2 11AC → ＝mAB → ＋ 6 11AN → ， 从而 m＋ 6 11＝1，所以 m＝ 5 11. 7．若|AB → |＝|AC → |＝|AB → －AC → |＝2，则|AB → ＋AC → |＝________. 答案　2 3 解析　因为|AB → |＝|AC → |＝|AB → －AC → |＝2， 所以△ABC 是边长为 2 的正三角形， 所以|AB → ＋AC → |为△ABC 的边 BC 上的高的 2 倍， 所以|AB → ＋AC → |＝2 3. 8．若点 O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB → －OC → |＝|OB → ＋OC → －2OA → |，则△ABC 的形 状为________． 答案　直角三角形 解析　因为OB → ＋OC → －2OA → ＝OB → －OA → ＋OC → －OA → ＝AB → ＋AC → ，OB → －OC → ＝CB → ＝AB → －AC → ， 所以|AB → ＋AC → |＝|AB → －AC → |， 即AB → ·AC → ＝0， 故AB → ⊥AC → ，△ABC 为直角三角形． 9．若 M 是△ABC 的边 BC 上的一点，且 CM → ＝3MB → ，设AM → ＝λAB → ＋μAC → ，则 λ 的值为 ________． 答案　3 4 解析　由题设知CM MB＝3，过 M 作 MN∥AC 交 AB 于 N， 则MN AC＝BN BA＝BM BC＝1 4， 从而AN AB＝3 4， 又AM → ＝λAB → ＋μAC → ＝AN → ＋NM → ＝3 4AB → ＋1 4AC → ， 所以 λ＝3 4. 10．(2019·包头质检)已知 e1，e2 为平面内两个不共线的向量，MN → ＝2e1－3e2，NP → ＝λe1＋6e2， 若 M，N，P 三点共线，则 λ＝________. 答案　－4 解析　因为 M，N，P 三点共线， 所以存在实数 k 使得MN → ＝kNP → ， 所以 2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)， 又 e1，e2 为平面内两个不共线的向量， 可得Error!解得 λ＝－4. 11．如图所示，设 O 是△ABC 内部一点，且OA → ＋OC → ＝－2OB → ，求△ABC 与△AOC 的面积之 比． 解　取 AC 的中点 D，连接 OD， 则OA → ＋OC → ＝2OD → ， ∴OB → ＝－OD → ， ∴O 是 AC 边上的中线 BD 的中点， ∴S△ABC＝2S△OAC， ∴△ABC 与△AOC 面积之比为 2∶1. 12.如图所示，在△ABC 中，D，F 分别是 AB，AC 的中点，BF 与 CD 交于点 O，设AB → ＝a， AC → ＝b，试用 a，b 表示向量AO → . 解　方法一　由 D，O，C 三点共线， 可设DO → ＝k1DC → ＝k1(AC → －AD → )＝k1(b－1 2a) ＝－1 2k1a＋k1b(k1 为实数)， 同理，可设BO → ＝k2BF → ＝k2(AF → －AB → ) ＝k2(1 2b－a)＝－k2a＋1 2k2b(k2 为实数)，① 又BO → ＝BD → ＋DO → ＝－1 2a＋(－1 2k1a＋k1b) ＝－1 2(1＋k1)a＋k1b，② 所以由①②，得－k2a＋1 2k2b＝－1 2(1＋k1)a＋k1b， 即1 2(1＋k1－2k2)a＋(1 2k2－k1)b＝0. 又 a，b 不共线， 所以Error!　解得Error! 所以BO → ＝－2 3a＋1 3b. 所以AO → ＝AB → ＋BO → ＝a＋(－2 3a＋1 3b)＝1 3(a＋b)． 方法二　延长 AO 交 BC 于点 E，O 为△ABC 的重心，则 E 为 BC 的中点， 所以AO → ＝2 3AE → ＝2 3×1 2(AB → ＋AC → )＝1 3(a＋b)． 13．如图所示，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，E 为 AO 的中点，若DE → ＝λAB → ＋μAD → (λ，μ 为实数)，则 λ2＋μ2 等于(　　) A.5 8 B.1 4 C．1 D. 5 16 答案　A 解析　DE → ＝1 2DA → ＋1 2DO → ＝1 2DA → ＋1 4DB → ＝1 2DA → ＋1 4(DA → ＋AB → )＝1 4AB → －3 4AD → ， 所以 λ＝1 4，μ＝－3 4，故 λ2＋μ2＝5 8，故选 A. 14．A，B，C 是圆 O 上不同的三点，线段 CO 与线段 AB 交于点 D(点 O 与点 D 不重合)，若 OC → ＝λOA → ＋μOB → (λ，μ∈R)，则 λ＋μ 的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(1， 2] D．(－1,0) 答案　B 解析　设OC → ＝mOD → ，则 m>1， 因为OC → ＝λOA → ＋μOB → ， 所以 mOD → ＝λOA → ＋μOB → ， 即OD → ＝λ mOA → ＋μ mOB → ， 又知 A，B，D 三点共线， 所以λ m＋μ m＝1，即 λ＋μ＝m， 所以 λ＋μ>1，故选 B. 15．已知 A，B，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点 P 满足 OP → ＝1 3 (2OA → ＋1 2OB → ＋1 2OC → )，则点 P 一定为△ABC 的(　　) A．BC 边中线的中点 B．BC 边中线的三等分点(非重心) C．重心 D．BC 边的中点 答案　B 解析　设 BC 的中点为 M， 则1 2OC → ＋1 2OB → ＝OM → ， ∴OP → ＝1 3(OM → ＋2OA → )＝1 3OM → ＋2 3OA → ， 即 3OP → ＝OM → ＋2OA → ，也就是MP → ＝2PA → ， ∴P，M，A 三点共线， 且 P 是 AM 上靠近 A 点的一个三等分点． 16．设 W 是由一平面内的 n(n≥3)个向量组成的集合．若 a∈W，且 a 的模不小于 W 中除 a 外的所有向量和的模．则称 a 是 W 的极大向量．有下列命题： ①若 W 中每个向量的方向都相同，则 W 中必存在一个极大向量； ②给定平面内两个不共线向量 a，b，在该平面内总存在唯一的平面向量 c＝－a－b，使得 W ＝{a，b，c}中的每个元素都是极大向量； ③若 W1＝{a1，a2，a3}，W2＝{b1，b2，b3}中的每个元素都是极大向量，且 W1，W2 中无公共 元素，则 W1∪W2 中的每一个元素也都是极大向量． 其中真命题的序号是________． 答案　②③ 解析　①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得 a，b， c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3 个向量都 是极大向量，等价于 3 个向量之和为 0，故 W1＝{a1，a2，a3}，W2＝{b1，b2，b3}中的每个元 素都是极大向量时，W1∪W2 中的每一个元素也都是极大向量，故正确．