2017-2018学年四川省雅安市高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

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绝密★启用前 四川省雅安市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先求得，再根据，可求得= 。‎ 详解：因为，‎ 所以= 。‎ 故选B。‎ 点睛：本题考查集合的运算，集合的运算应先确定集合中的元素，然后根据集合运算的定义即可求得。本题考查学生的运算能力和转化能力。‎ ‎2．若（，是虚数单位），则，的值分别等于（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由，可得，由复数相等可得，解得。‎ 详解：因为，所以 。‎ 所以 。‎ 故选A。‎ 点睛：本题考查复数的运算及复数相等等知识。复数的加、减、乘运算和二项式的加、减、乘运算类似，其间注意。‎ ‎3．用反证法证明“若，则”时，假设内容应是（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，‎ 而“”的否定为：“”，故选：C．‎ 考点：反证法与放缩法．‎ ‎4．下列函数为奇函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：判断函数为奇函数，应先求函数的定义域，定义域应关于原点对称，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数。奇函数，应满足，可得选项B、C不对。‎ 详解：对于选项A，定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数。所以选项A错；‎ 对于选项B，，故选项B错；‎ 对于选项C， ，所以为偶函数，故选项C错；‎ 对于选项D，，所以函数为奇函数，故选项D正确。‎ 故选D。‎ 点睛：判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，奇函数、偶函数的定义域应关于原点对称，不关于原点对称既不是奇函数也不是偶函数。再找与的关系，如，则函数为偶函数；如，则函数为奇函数。‎ ‎5．命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】特殊命题的否定为全称命题，改量词，否结论，‎ 故命题“”的否定是.‎ 本题选择A选项.‎ ‎6．已知，， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：， 的底数相同，故可用函数在R上为减函数，可得。用指数函数的性质可得，进而可得。‎ 详解：因为函数在R上为减函数，且0.2<0.4‎ 所以 ‎ 因为。‎ 所以。‎ 故选A。‎ 点睛：本题考查指数大小的比较，意在考查学生的转化能力。比较指数式的大小，同底数的可利用指数函数的单调性判断大小，底数不同的找中间量1，比较和1的大小。‎ ‎7．已知函数的导函数为，满足，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：要求，应先求，令可得 ，把看成未知数，解方程即得。‎ 详解：因为，‎ 所以 。‎ 所以，解得。‎ 故选B。‎ 点睛：本题考查函数的求导等知识点，意在考查学生的运算能力和转化能力。如已知 ‎，求。应先求导得，然后令得，最后解方程即可。‎ ‎8．设函数，其图象在点处的切线与直线垂直，则直线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：要求直线与坐标轴围成的三角形的面积，应先求切线的方程，进而求切线与坐标轴的交点坐标。由可得，进而得函数在点处的切线的斜率为。由切线与直线垂直，则两直线的斜率乘积等于1，可得，求得。进而可求得切线的斜率，切点坐标。进而可得切线的方程，可求切线与两个坐标轴的交点分别为 、。进而求得直线与坐标轴围成的三角形的面积为。‎ 详解：因为，‎ 所以，‎ 所以函数在点处的切线的斜率为。‎ 因为切线与直线垂直，‎ 所以，解得。‎ 所以 ，，，‎ 所以切点为，切线的斜率为。‎ 所以切线的方程为，即。‎ 可求得切线与轴、轴的交点分别为 、。‎ 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为。‎ 故选B。 ‎ 点睛：求函数的图像在某点处的切线方程的步骤：‎ ‎⑴ 求函数的导函数，即得切线的斜率；‎ ‎⑵ 由直线的点斜式方程得切线的方程为。‎ ‎9．已知函数，那么下列结论中错误的是（ ）‎ A. 若是的极小值点，则在区间上单调递减 B. ，使 C. 函数的图像可以是中心对称图形 D. 若是的极值点，则 ‎【答案】A ‎【解析】分析：对于选项A，先求导得，设其对应方程的两根为。根据一元二次不等式的解法可得函数的增区间为，减区间为，由此可得选项A说法错误；由选项A的解题过程可得选项B、D正确；对于选项C，取特殊值，得特殊函数，因为函数为奇函数，所以选项C正确。‎ 详解：对于选项A，，假设方程的两根为。根据一元二次不等式的解法可得：由得或，由得，所以函数的增区间为，减区间为，极小值点为，所以选项A错误；‎ 对于选项B，由选项A的解题过程可知在区间上，一定，使，所以选项B正确。‎ 对于选项C，当时，函数，此函数图像关于原点对称。所以选项C正确；‎ 对于选项D，由选项A的解题过程可知：若是的极值点，则。所以选项D正确。‎ 故选A。‎ 点睛：本题考查利用函数的导函数求函数的极值等知识，意在考查学生的转化能力。和函数极值有关的问题，应先求导函数，再解不等式和 ，可得单调区间。极大值点应是左增右减，极小值为左减右增。注意为极值点是的充分不必要条件。‎ ‎10．如图是依据某城市年龄在岁到岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在，，的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在的网民出现的频率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：的概率和为，又的概率依次成等差数列，所以的频率为选C.‎ 考点：频率分布直方图 ‎11．已知函数，则的导函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：要判断函数的导函数的图象，应先求得。根据函数为奇函数，可排除选项C。选项D图像不经过原点，根据，可把选项D排除。根据选项A、B图像的特点可求，进而排除选项B。‎ 详解：因为函数，‎ 所以 。‎ 因为，‎ 所以函数为奇函数，所以排除选项C。‎ 因为，所以图像经过原点，所以排除选项D；‎ 因为，所以排除选项B。‎ 故选A。‎ 点睛：本题考查根据函数的解析式判断函数的图像。根据函数的解析式判断函数的图像的方法：⑴ 若函数图像有关于轴、原点对称的，应判断函数的奇偶性，根据奇偶函数图像的特点排除选项；⑵ 根据图像上的特殊点的坐标或图像在轴的上下方，可根据特殊点的函数值的正负确定或排除选项；⑶ 由函数的单调性可确定或排除选项。‎ ‎12．定义在上的函数满足：，，则不等式）（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：不等式可化为，要解此不等式，根据条件可构造函数，由条件可得。进而可得函数在R上为增函数。由可得。所以可化为。由函数在R上为增函数可得。‎ 详解：设，‎ 所以 。‎ 因为，所以 。‎ 所以对 ，‎ 所以函数在R上为增函数。‎ 因为，所以。‎ 不等式可化为。‎ 所以 。、‎ 因为函数在R上为增函数，‎ 所以 。‎ 故选C。‎ 点睛：本题考查构造函数，利用函数的单调性解不等式。利用函数单调性解不等式的关键就是：准确判断出函数单调性，成功去掉这层外壳，把关于因变量之间的不等关系转化为关于自变量之间的不等关系。然后解关于的简单不等式。构造函数时，应根据题的条件来构造。‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．复数的共轭复数为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：互为共轭的两个复数实部相等，虚部互为相反数。‎ 详解：复数的共轭复数为.‎ 点睛：复数的共轭复数为。‎ ‎14．已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．‎ ‎【答案】[－1,2]‎ ‎【解析】分析：要求函数的定义域，需求函数中的范围。由函数的定义域为，可得。进而可得。所以函数的定义域为[－1,2]。‎ 详解：因为函数的定义域为，‎ 所以。‎ 所以 ‎ 所以函数的定义域为[－1,2]。‎ 点睛：求抽象函数的定义域注意两点：⑴ 函数的定义域为自变量的取值范围；⑵ 括号内式子得范围一致。‎ ‎15．已知函数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：因为 ，所以。所以 详解： ‎ 点睛：本题考查分段函数求值、幂的运算性质及对数运算。对于分段函数求值问题，应注意括号内式子的范围适合分段函数的哪一段的自变量的范围。‎ ‎16．若函数定义域为，值域为，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：求导得，因为方程只有一个根，设为方程的根。由函数定义域为，值域为，可得函数在区间上为减函数，在上为增函数。进而可得，解方程组可得。‎ 详解：因为，所以。‎ ‎ 设为方程的根，即。‎ 因为函数定义域为，值域为，‎ 所以函数在区间上为减函数，在上为增函数。‎ 所以。‎ 所以 解得。‎ 点睛：本题考查函数的单调性等知识，考查学生的转化能力及运算能力。对于本题，求导得，可观察出方程只有一个根。再由已知条件可得函数在区间上为减函数，在上为增函数。进而可得。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数，为常数，且函数的图象过点.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，且，求满足条件的的值.‎ ‎【答案】(1) a＝1;(2) 满足条件的x的值为－1.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由函数过点,代入表达式可得值；（2）由将两函数表代入,转化为关于的指数型复合方程.利用换元法,将指数型方程化为一元二次方程,解一元二次方程后 再解指数方程,可得值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知得，解得．‎ ‎（2）由（1）知，又，则，‎ 即，即，‎ 令，则，即，‎ 又，故，即，解得．‎ 考点：1.指数运算；2.一元二次方程的解法；3.换元法.‎ ‎18．设（，），且.‎ ‎（1）求的值及的定义域；‎ ‎（2）求在区间上的最大值.‎ ‎【答案】(1) (－1,3);(2)2.‎ ‎【解析】分析：(1)因为，代入解析式可得，进而可得＝2。求定义域，使得解析式由意义即可，可得解不等式组可得定义域(－1,3)。(2) ‎ 要求在区间上的最大值。应先出解析式，进而求单调性。由(1)可得)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2(1＋x)(3－x)变形为f(x)＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，因为函数y=－(x－1)2＋4对称轴为，根据复合函数的单调性可得当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，进而得函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.‎ 详解：(1)∵f(1)＝2，‎ ‎∴loga4＝2(a＞0，a≠1)，‎ ‎∴＝2.‎ 由得x∈(－1,3)，‎ ‎∴函数f(x)的定义域为(－1,3).‎ ‎(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)‎ ‎＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]‎ ‎∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；‎ 当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，‎ 故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2. ‎ 点睛：本题考查函数的定义域的求法及复合函数的最值。复合函数的单调性，应和组成复合函数的基本初等函数的单调性有关，遵循“同增异减”的原则，切要注意单调区间为定义域的子集。‎ ‎19．已知函数 ‎（1）当函数在点处的切线与直线垂直时，求实数的值；‎ ‎（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)1;(2).‎ ‎【解析】分析：（1）由切线与直线垂直，可得两直线的斜率乘积等于-1.根据导函数的几何意义应求，进而得函数在点 处的切线的斜率。由函数在点处的切线与直线垂直，得。（2）由时，恒成立，可得不等式在时恒成立，用分离参数法可得在时恒成立.所以 即可。所以设。转化为求函数的最值问题。由可得函数在上为减函数，进而可得，所以。‎ 详解：(1)‎ ‎ 函数在点处的切线的斜率 ‎ 函数在点处的切线与直线垂直，‎ ‎（2）依题意不等式在时恒成立，即 在时恒成立.‎ 设 则 函数在上为减函数，‎ 点睛：本题考查导函数的几何意义及不等式的恒成立问题。有关曲线的切线问题，应注意曲线在某点处的切线的斜率等于该点处的导函数值。不等式的恒成立问题一般有两种方法：⑴ 分离参数法：把参数移到不等式的一边，求另一边代数式对应的函数的最值；⑵ 直接构造不等式对应的函数，求函数的最值。‎ ‎20．已知关于与有表格中的数据，且与线性相关，由最小二乘法得.‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎（1）求与的线性回归方程；‎ ‎（2）现有第二个线性模型：，且.若与（1）的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由 ‎【答案】(1) ＝6.5x＋17.5;(2) (1)的线性模型拟合效果比较好.‎ ‎【解析】分析：(1)已知，可设线性回归方程为＝6.5x＋.要求方程，应利用样本点的中心在回归直线上，故求得＝＝5，＝＝50. 代入方程可得50＝6.5×5＋.解方程可得＝17.5.进而可得y与x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5 . （2）要看哪一个线性模型拟合效果比较好，应求第一个模型的相关指数，由(1)的线性模型得yi－与yi－的关系如下表所示：‎ yi－‎ ‎－0.5‎ ‎－3.5‎ ‎10‎ ‎－6.5 ‎ ‎0.5‎ yi－‎ ‎－20‎ ‎－10‎ ‎10‎ ‎0‎ ‎20‎ 进而计算得，。由公式求得=1- 。所以R＞R2。所以(1)的线性模型拟合效果比较好。‎ 详解：(1)依题意设y与x的线性回归方程为＝6.5x＋.‎ ‎＝＝5，＝＝50. ‎ 因为＝6.5x＋，经过(，)，所以50＝6.5×5＋.所以＝17.5.‎ 所以y与x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5 . ‎ ‎(2)由(1)的线性模型得yi－与yi－的关系如下表所示：‎ yi－‎ ‎－0.5‎ ‎－3.5‎ ‎10‎ ‎－6.5 ‎ ‎0.5‎ yi－‎ ‎－20‎ ‎－10‎ ‎10‎ ‎0‎ ‎20‎ ‎ ， ‎ ‎=1- ‎ 由于R＝0.845，R2＝0.82知R＞R2，‎ 所以(1)的线性模型拟合效果比较好．‎ 点睛：本题考查线性回归方程的求解及线性模型拟合效果的比较。注意线性回归直线经过样本点中心的运用。线性模型拟合效果的比较有以下几种方法：⑴ 相关指数的大小；⑵ 相关系数的大小；⑶ 残差平方和的大小。‎ ‎21．已知函数，，.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，若函数在区间上的最小值是，求的值；‎ ‎（3）设，是函数图象上任意不同的两点，线段的中点为，直线的斜率为.证明：.‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）；（3）见解析.‎ ‎【解析】分析：（1），函数的定义域为。要求函数的单调区间，可求导得 。当时，。可得函数在上递增。（2）由函数在区间上的最小值是，可根据函数的单调性求函数的最小值，最小值等于，得到关于的关系式，即可求。由（1）知。因为，所以。进而可得函数在上递减，在上递增，可得，所以 ‎，进而解得 。满足。（3）要证明，应先把和表示出来。因为，，可得直线的斜率为，由线段的中点为，可得，根据导函数可得。所以要证，即证。以下利用分析法可证。不妨设，即证，即证。把看成整体。设，即证，移项即证，其中。构造函数。求函数的最小值大于0，求导数判断函数的单调性，进而求函数的最小值。求导可得，进而得函数在上单调递增，所以结论得证。‎ 详解：(1)函数的定义域为，，‎ 因为，所以，故函数在上递增。‎ ‎（2）由（1）知 因为，所以 所以函数在上递减，在上递增，‎ 解得，符合题意。 ‎ ‎（3）证明： ‎ 又，所以 ‎ 要证，即证 不妨设，即证，即证 设，即证，‎ 即证，其中 设：，‎ 则 所以在上单调递增，因此得证.‎ 点睛：求复杂函数的单调性、最值，可以先求函数的导函数，利用导函数的正负判断单调性。若，则函数为增函数；若，则函数为减函数。判断出函数的单调性，进而可求函数的最值。证明不等式，如证，其中，可构造函数，转化为求函数的最值问题。‎ ‎22．微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司名员工中的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有，其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上，若将员工分成青年（年龄小于岁）和中年（年龄不小于岁）两个阶段，那么使用微信的人中是青年人.若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中是青年人.‎ ‎（1）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出列联表：‎ 青年人 中年人 总计 经常使用微信 不经常使用微信 总计 ‎（2）由列联表中所得数据判断，是否有百分之的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附：‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）根据题意可得，使用微信的有200×90％＝180(人)，其中经常使用微信的有180－60＝120(人)，因为经常使用微信的员工中是青年人，所以青年人有120×＝80(人)，由使用微信的人中是青年人，可得使用微信的人中青年人有180×75％ ＝135(人)，根据这些数据完成列联表即可。（2）根据列联表中的数据和公式，即可求得K2＝≈13.333，将K2≈13.333和附表中的数据比较可得13.333＞10.828，由临界值表中数据可得.所以有99.9% 的把握认为“经常使用微信与年龄有关”。‎ 详解：(1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有200×90％＝180(人)，经常使用微信的有180－60＝120(人)，‎ 其中青年人有120×＝80(人)，使用微信的人中青年人有180×75％ ＝135(人)，‎ 所以2×2列联表：‎ 青年人 中年人 总计 经常使用微信 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 不经常使用微信 ‎55‎ ‎5‎ ‎60‎ 总计 ‎135‎ ‎45‎ ‎180‎ ‎(2)将列联表中数据代入公式可得：‎ K2＝≈13.333， ‎ 由于13.333＞10.828，所以有99.9% 的把握认为“经常使用微信与年龄有 关”‎ 点睛：解有关独立性检验的问题的基本步骤：⑴找出相关数据，作列联表；⑵求统计量的观测值；⑶ 判断可能性，注意与临界值作比较，得出事件有关的可能性大小。 ‎