专题20 平面向量共线定理-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

专题20 平面向量共线定理-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

‎【高考地位】‎ 随着向量在科学研究中的工具性应用，与它在社会生产生活中所起的巨大作用，所以近年来数学高考题中，命入了共线向量内容考题。在今后的高考试题中，共线向量必将增长态势。其在高考题型多以选择题、填空题出现，其试题难度属低中档题.‎ ‎【方法点评】‎ 类型一 在几何问题中的应用 使用情景：平面几何证明、求值等问题中的应用 解题模板：第一步 将已知条件进行向量处理；‎ 第二步 利用平面向量的运算法则和线性运算等性质进行求解；‎ 第三步 得出结论.‎ 例1平面内有一个和一点，线段的中点分别为的中点分别为，设.‎ ‎（1）试用表示向量；‎ ‎（2）证明线段交于一点且互相平分.‎ ‎【答案】（1），，；（2）证明见解析.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例2如图，等腰三角形，.分别为边上的动点，且满足，其中，分别是的中点，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ 考点：向量在几何中的应用．‎ ‎【思路点睛】由等腰三角形中，，算出．连接，利用三角形中线的性质，得到，，进而得到．将此式平方，代入题中数据化简可得，结合消去，得，结合二次函数的性质可得当时，的最小值为，所以的最小值为．本题的关键是用基底向量的关系式表示出向量，再求向量模的最小值，主要考查平面向量数量积公式及其运算性质和二次函数的最值求法等知识，属于中档题．‎ ‎【变式演练1】已知向量是两个不共线的向量，若与共线，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由，所以，解得，故选C.‎ 考点：向量的共线的应用. ‎ ‎【变式演练2】已知非零向量满足，给出以下结论：‎ ‎①若与不共线，与共线，则；‎ ‎②若与不共线，与共线，则；‎ ‎③存在实数，使得与不共线，与共线；‎ ‎④不存在实数，使得与不共线，与共线.‎ 其中正确结论的个数是（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B 考点：共线向量定理．‎ ‎【变式演练3】如图，四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于（ ）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【答案】Ｄ 类型二 在求动点轨迹中的应用 使用情景：题设中有“向量的数量积”“平行”即共线等求点的轨迹 解题模板：第一步 将已知条件转化为向量的表示；‎ 第二步 利用平面向量的运算法则和平面向量的性质对其进行求解；‎ 第三步 得出结论.‎ 例3 如图,过A(-1,0)，斜率为k的直线与抛物线C:交于P、Q两点，若曲线C的焦点F与P、Q、R三点按图中顺序构成平行四边形，求点R的轨迹方程。‎ ‎【答案】Ｄ. ‎ ‎【点评】本题若不用向量法，一般采用联立方程，考虑判别式，结合韦达定理的方法，尽管思路清晰，但计算量大，且技巧性强，不易掌握，而利用向量法解答，简单明快，容易接受. ‎ ‎【变式演练4】已知椭圆，直线，P是上一点，射线OP交椭圆于R，又点Q在OP上且满足|OQ||OP|=，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？‎ ‎【答案】点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与轴平行的椭圆.‎ ‎【解析】设（其中、不同时为0）由非零向量、、共线，可设，，‎ 则,,分别代入椭圆方程、直线方程得：‎ ‎【点评】本题我们注意到点Q在OP上，于是存在、、共线，因此可借助两个非零向量共线的充要条件，巧设参数、转化已知条件|OQ||OP|=为，使得消元过程异常简捷。向量与解题交汇的综合题已成为高考命题的热点. ‎ ‎【变式演练5】如图所示，已知圆为圆上一动点，点在上，点在上，且满足的轨迹为曲线。‎ 求曲线的方程；‎ 若过定点F（0，2）的直线交曲线于不同的两点（点在点之间），且满足，求的取值范围。‎ ‎【答案】； 。‎ ‎（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为 得 设 ‎，‎ 又当直线GH斜率不存在，方程为 ‎.‎ 考点：向量的运算；椭圆的定义；椭圆的简单性质；直线与椭圆的综合应用。‎ 点评：求轨迹方程的一般方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。本题求轨迹方程用到的是定义法。用定义法求轨迹方程的关键是条件的转化——转化成某一已知曲线的定义条件。‎ ‎【高考再现】‎ ‎1.【2017北京理，6】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎2.【2017全国Ⅲ卷理，12】在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（）‎ A．3 B． C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，画出右图．‎ 设与切于点，连接．‎ 以为原点，为轴正半轴，‎ 为轴正半轴建立直角坐标系，‎ 则点坐标为．‎ ‎∵，．‎ ‎∴．‎ ‎∵切于点．‎ ‎∴⊥．‎ ‎∴是中斜边上的高．‎ 即的半径为．‎ ‎∵在上．‎ ‎∴点的轨迹方程为．‎ 设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：‎ 而，，．‎ ‎∵‎ ‎∴，．‎ 两式相加得：‎ ‎ (其中，)‎ 当且仅当，时，取得最大值3．‎ ‎3.【2015高考新课标1，理7】设为所在平面内一点，则（ ）‎ ‎（A） (B) ‎ ‎（C） (D) ‎ ‎【答案】A 基础题，解答本题的关键是结合图形会利用向量加法将向量表示为，再用已知条件和向量减法将用表示出来.‎ ‎4.【2017山东文，11】已知向量a=（2,6）,b= ,若a||b,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎ 5.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45°.若, 则 ▲ .‎ ‎ ‎ A ‎ C ‎ B O ‎(第12题) ‎ ‎【答案】3 ‎ ‎【解析】由可得，，根据向量的分解，‎ 易得，即，即，即得，‎ 所以.‎ ‎6.【2015高考北京，理13】在中，点，满足，．若，‎ 则 ； ．‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.‎ ‎【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，利用向量相等条件求值，本题属于基础题.利用坐标运算要建立适当的之间坐标系，准确写出相关点的坐标、向量的坐标，利用向量相等，列方程组，解出未知数的值.‎ ‎7.【2015高考新课标2，理13】设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】因为向量与平行，所以，则所以．‎ ‎【考点定位】向量共线．‎ ‎【名师点睛】本题考查向量共线，明确平面向量共线定理，利用待定系数法得参数的关系是解题关键，属于基础题．‎ ‎8.【2015江苏高考，6】已知向量a=，b=, 若ma+nb=(), 则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得：‎ ‎【考点定位】向量相等 ‎【名师点晴】明确两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等.其实质为平面向量基本定理应用. 向量共线的充要条件的坐标表示：若，则⇔.向量垂直的充要条件的坐标表示：若，则⇔.‎ ‎9.【2017江苏，16】 已知向量 ‎ （1）若a∥b,求x的值；‎ ‎ （2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.‎ ‎【答案】（1）（2）时，取得最大值，为3； 时，取得最小值，为.‎ ‎【解析】解：（1）因为，，a∥b，‎ ‎（2）.‎ 因为，所以，‎ 从而.‎ 于是，当，即时，取到最大值3；‎ 当，即时，取到最小值.‎ ‎【考点】向量共线，数量积 ‎【反馈练习】‎ ‎1．【湖北省咸宁市2018届高三重点高中11月联考数学（理）试题】如图，在中，点为 的中点，点在上， ，点在上， ，那么等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题选择D选项.‎ ‎2．【四川省德阳市2018届高三三校联合测试数学（理）试卷】在中， , 是的内心，若 ，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 3．【陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测大联考】已知向量，若三点不能构成三角形，则实数满足的条件是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎4．【河南省漯河市高级中学2018届高三上学期第二次模拟考试数学（文）试题】已知点为内一点，且满足，设与的面积分别为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】延长OC到D，使OD=4OC，延长CO交AB与E，∵O为△ABC内一点，且满足 ‎，∴O为△DABC重心，E为AB中点， ∴OD：OE=2：1，∴OC：OE=1：2，∴CE：OE=3：2，∴S△AEC=S△BEC，S△BOE=2S△BOC， ∵△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2 所以 故选B ‎5．【2017—2018学年河北省石家庄二中八月高三模拟数学（理科）】已知点是所在平面内的一点，且，设，则 ( )‎ A. 6 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意作图：C是线段BD的中点.‎ ‎.‎ 又，由平面向量基本定理可知： ‎ ‎∴.‎ 故选：D ‎6．【南宁二中、柳州高中2018届高三9月份两校联考数学（文）试题】已知是不共线的向量， ， ，且三点共线，则 ( )‎ A. -1 B. -2 C. -2或1 D. -1或2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于三点共线，故，即解得-1或2.‎ 本题选择D选项.‎ ‎7．【安徽省蒙城县2018届高三上学期“五校”联考数学（文）试题】在中，点在线段的延长线上，且，点在线段上（与点不重合），若，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ 示是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.‎ ‎8．【云南省昆明一中2018届高三第一次摸底测试文数学试题】已知向量，向量， 与共线，则__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】因为，所以，所以.‎ ‎9．【河南省漯河市高级中学2018届高三上学期第二次模拟考试数学（文）试题】已知等差数列的前项和为，三点共线，且，则__________．‎ ‎【答案】1009‎ ‎ 10．【福建省2016届高三基地校总复习综合卷数学试题】在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且 时，则x-y= ____________.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ 所以，又因为，所以，所以．‎ ‎11．【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试题】在平面直角坐标系中，已知点， ， ，点是平面直角坐标系上一点，且（， ）， ‎ ‎⑴ 若，且 ，试求实数的值；‎ ‎⑵ 若点在三边围成的区域(含边界)上，求的最大值．‎ ‎【答案】⑴ (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）直接利用向量的线性运算求出对应的值． ‎