专题15+导数在函数中的应用（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习
本专题特别注意：
1.图形考虑不周陷阱；
2.思维定式陷阱（与等式有关的构造函数）；
3. 已知条件中含有导函数值而无从下手；
4.恒成立中的最值陷阱
5. 含有导函数的式子中的和差构造陷阱
6.与三角函数有关的构造函数
7.忽视分母造成解集不完备
8.与指数函数对数函数有关的构造
方法总结：
1.函数的极值
(1)若可导函数f(x)在x＝x0处导数值为0，且在x＝x0处的左边f′(x0)＞0，在x＝x0处的右边f′(x0)＜0，则f(x)在x＝x0处有极大值.
(2)若可导函数f(x)在x＝x0处导数值为0，且在x＝x0处的左边f′(x0)＜0，在x＝x0处的右边f′(x0)＞0，则f(x)在x＝x0处有极小值.
(3)可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点不一定是极值点，如y＝x3在x＝0处导数值为零，但x＝0不是极值点.
2.函数的最值
(1)连续函数f(x)在闭区间[a，b]上必有最大值与最小值.
(2)最值的求法：先求f(x)在(a，b)上的极值，再将各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
3.极值与最值的区别和联系
(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的整体情况，是函数在整个区间上的函数值的比较.
(2)函数的极值不一定是最值，须与端点函数值作比较方可确定是否为最值.
(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值(单峰函数)，则极大值即是[a，b]上的最大值，极小值即是[a，b]上的最小值.
考点训练：
一、单选题
1．己知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是( ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由题意，函数，得，得到函数的单调性与最大值，再又方程，解得或，结合图象，即可求解.
点睛：本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性与最值，以及函数与方程等知识点的综合运用，把方程的解得个数转化为函数的图象的交点个数是解答的关键，着重考查了转化思想方法和数形结合思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题.
2．已知函数，则（ ）
A. 当时，在单调递减 B. 当时，在单调递减
C. 当时，在单调递增 D. 当时，在单调递增
【答案】D
【解析】分析：求导然后分析函数单调性根据a，b取值情况，重点分析最值即可得出原函数的单调情况，从而得出结论。
详解：，当令则，所以 h（x）在（0,2）递减， （2，）递增， h（x）的最小值是h（2）=0，所以则 在单调递增，选D
点睛：考查导函数的应用，本题关键是二次求导后研究出函数的最值即可得出结论.
3．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数（ ）
A. 有极大值，没有最大值 B. 没有极大值，没有最大值 C. 有极大值，有最大值 D. 没有极大值，有最大值
【答案】A
【解析】分析：根据导函数点图象，得出当时，函数先增后减；当时，函数先减后增，即可得到结论.
点睛：本题主要考查了函数的单调性与极值与导数的关系，其中导函数与原函数的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
4．已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：由，可得，
，，利用导数研究函数的单调性，画出函数图像，利用数形结合列不等式可得结果.
详解：
实数的取值范围是，故选A.
点睛：本题主要考查不等式的整数解、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.
5．已知实数，则函数在定义域内单调递减的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：求出函数单调递减时的范围，由几何概型概率公式可得．
点睛：本题考查几何概型，考查导数与函数的单调性，解题关键是由不等式在恒成立求得参数的取值范围，求取值范围的方法是分离参数法转化为求函数的最值，这可由导数求得也可由基本不等式求得．
6．设函数为自然常数)，，有下列命题：
①有极小值；
②，使得不等式（为的导函数）成立；
③若关于的方程无解，则的取值范围为；
④记，若在上有三个不同的极值点，则的取值范围为.
其中真命题的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】分析：由题意利用导函数研究函数的性质，逐一考查所给命题的真假即可.
详解：由知f(x)在区间，（0，1）上递减，在区间上递增，
x<0时，f(x）<0；x>0时，f(x)>0，
且x→时，f(x）→0，所以f(x）大致图象如图.
所以①③正确；
所以，又，
所以.所以④正确.
综上可得，真命题的个数是3个.
本题选择C选项.
点睛：本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的极值与最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．已知函数,在区间(0,1)内任取两个实数,且，若不等式
恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：根据给出不等式关系，并变形得到，进而构造，根据所给条件判断出的单调性；通过分离参数法，确定 在恒成立条件下的取值范围。
所以在上为单调递增函数
在上恒成立
即 恒成立，
令
在上为单调递增函数，所以
所以 ，即 的取值范围为
所以选D
点睛：本题考查了函数与导函数的综合应用，通过构造函数法建立联系。通过分离参数求参数取值范围，进而转化为求函数的取值范围。综合性强，属于难题。
8．已知函数 （），，对任意的，关于的方程在有两个不同的实数根，则实数的取值范围(其中为自然对数的底数)为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由题意分别考查函数和函数的性质，据此得到关于a的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.
则函数在区间上的值域为，
在有两个不同的实数根，则必有，且：
由的解析式有：，
，，
则满足题意时应有：
，
注意到函数是单调递增函数，且，
据此可知方程的唯一实数根满足，即，
则不等式的解集为，
求解不等式可得.
据此可得实数的取值范围是.
本题选择C选项.
点睛：本题主要考查函数单调性的应用，导函数研究函数的值域，导函数研究函数的单调性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．已知函数，若,qie ，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：作出函数的图象，利用消元法转化为关于的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.
点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
10．的导函数满足：当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】分析：构造函数
，求导，利用导数的符号变化确定函数的单调性，进而比较大小．
点睛：利用导数研究函数的单调性时，往往要根据题意合理构造函数，如本题中，一要结合“当时，”，二要结合选项“”的变形“ ”，进而构造函数，这需要学生多积累、多总结．
11．设函数，若存在区间，使在上的值域为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：判断的单调性，得出在上有两解，作出函数的图象，即可利用导数的意义求解实数的取值范围.
综上所述，所以实数的取值范围是，故选C.
点睛：本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及其应用，导数的几何意义，函数的零点与函数的图象之间的关系等知识点的综合运用，其中把函数的值域转化为着方程有两个实数根，进而转化为两函数的图象由两个交点是解答的关键，重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力.
12．已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在区间上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：由偶函数满足，可得函数周期为，利用导数研究函数的单调性，画出函数图象，在上有个周期，且有个整数解，每个周期内有个解， 由可得结果.
详解：
也即每个周期内有个解，，
故，解得，故选D.
点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
13．设函数，直线是曲线的切线，则的最小值是（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】分析：设切点是，求出切线方程，可得，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求出的最小值即可的结果.
点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.
14．已知函数，在区间上任取三个数均存在以为边长的三角形，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：由得，由导数性质得 由题意得且由此能求出的取值范围．
点睛：本题考查实数的求值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
15．已知函数，对任意不等实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：求出函数的导数，分离参数，结合二次函数的性质，求出的范围即可．
详解：对任意两个不等的实数，都有不等式恒成立，
则当 时， 恒成立，即 在 上恒成立，
则
故选D．
点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．
16．已知，且，有且仅有一个整数解，则正数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】分析：构造函数，利用可得，结合可得，利用导数研究函数的单调性，由数形结合思想，列不等式求解即可
详解：
则，解之得，故选A.
点睛：构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
17．已知定义在上的函数满足且，其中
是函数的导函数，是自然对数的底数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：构造新函数，利用导数研究其单调性.
点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，关键是构造新函数，要求构造的新函数的导数正好可能用已知不等式判断正负.如已知，构造；已知，构造；已知，构造，已知，构造等等，本题根据本题题设不等式构造的函数是.掌握基本初等函数的导数及导数运算法则是解题基础.
18．已知y＝f(x)为R上的连续可导函数，当x≠0时，f ′(x)＋ >0，则函数g(x)＝f(x)＋的零点个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或2
【答案】A
【解析】分析：由题意可得，x≠0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的．当x＞0时，利用导数的知识可得xg（x）在（0，+∞）上是递增函数，xg（x）＞1恒成立，可得xg（x）在（0，+∞）上无零点．同理可得xg（x）在（-∞，0）上也无零点，从而得出结论．
详解：
点睛：本题考察了函数的单调性，导数的应用，函数的零点，属中档题．
19．若函数在上可导，且满足，则一定有( )
A. 函数在上为增函数
B. 函数在上为减函数
C. 函数在上为增函数
D. 函数在上为减函数
【答案】A
【解析】分析：构造线函数，求得导数，根据导数可知函数在上单调递增，即可得到结论．
详解：因为，
构造新函数，其导数为，
所以函数在上单调递增，故选A．
点睛：本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，属于基础题，解答的关键是现得到导数的正负，再利用导数的性质得出函数的单调性，本题的难点在于构造合适的函数，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
20．定义在上的函数满足:是的导函数, 则不等式的解集为 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：设，得到函数，即函数为单调递增函数，不等式转化为，即可不等式的解集．
详解：设，
则，
又由，则，所以，
所以函数为单调递增函数，
又由，所以，
由不等式，即，即，
所以不等式的解集为，故选A．
点睛：本题主要考查了导数的应用和不等式的求解，其中解答中根据所求不等式，构造新函数，利用导数得到函数的单调性，利用单调性求解不等式上解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
21．设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】分析：（1）求导，构建等量关系，解方程可得参数的值；（2）对分及两种情况进行分类讨论，通过研究的变化情况可得取得极值的可能，进而可求参数的取值范围.
详解：
解：（Ⅰ）因为，
所以.
，
由题设知，即，解得.
方法二：.
（1）当a=0时，令得x=1.
随x的变化情况如下表：
x
1
+
0
−
↗
极大值
↘
∴在x=1处取得极大值，不合题意.
（2）当a>0时，令得.
①当，即a=1时，，
∴在上单调递增，
∴无极值，不合题意.
②当，即0
1时，随x的变化情况如下表：
x
+
0
−
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.
（3）当a<0时，令得.
随x的变化情况如下表：
x
−
0
+
0
−
↘
极小值
↗
极大值
↘
∴在x=1处取得极大值，不合题意.
综上所述，a的取值范围为.
点睛：导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：①考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；②利用导数证明函数单调性或求单调区间问题；③利用导数求函数的极值最值问题；④关于不等式的恒成立问题.
解题时需要注意的有以下两个方面：①在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；②在研究单调性及极值最值问题时常常会涉及到分类讨论的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性.
二、填空题
22．已知函数，则的最小值是_____________．
【答案】
【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.
点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.
23．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．
【答案】–3
【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.
详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以 ，
点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
24．已知函数，则不等式的解集为______.
【答案】（0，2）.
【解析】分析：首先确定函数的单调性， 然后结合函数的单调性求解不等式的解集即可.
详解：由函数的解析式可得：，
由于，当且仅当，即时等号成立，
据此可得：，则函数是上的单调递减函数，
注意到，则题中的不等式等价于，
结合函数的单调性脱去符号有：，
解得，即不等式的解集为.
点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
25．已知,当a>0时，若有恒成立，则实数取值范围是______.
【答案】.
【解析】分析：由题意首先确定函数的单调性，然后结合恒成立的条件分类讨论即可求得最终结果.
(2)当1≤a<3时，有a<3≤3a，此时函数f(x)在[0，a]上递增，在[a，3]上递减，
所以函数f(x)在[0，3]上的最大值是f(a)，
若对∀x∈[0，3]有f(x)≤4恒成立，需要有，解得a=1．
(3)当a<1时，有3>3a，此时函数f(x)在[0，a]上递增，在[a，3a]上递减，在[3a，3]上递增，
所以函数f(x)在[0，3]上的最大值是f(a)或者是f(3)．由f(a)-f(3)=(a-3) 2(4a-3)：
①时，f(a)≤f(3)，若对∀x∈[0，3]有f(x)≤4恒成立，需要有，
解得．
②时，f(a)>f(3)，
若对∀x∈[0，3]有f(x)≤4恒成立，需要有，解得．
综上所述，．
对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.求解最值时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
26．若存在两个正实数，使等式成立（其中），则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】分析：首先求得m的表达式，然后通过换元将原问题转化为研究函数最值的问题，最后结合题意求解不等式即可求得最终结果.
则当时，取得最大值，据此有：或.
综上可得：实数的取值范围是.
点睛：本题主要考查导函数研究函数的单调性，导数研究函数的最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
27．对于函数,若其定义域内存在两个不同的实数， 使得 成立，则称函数具有性质,若函数具有性质，则实数的取值范围是__________．
【答案】.
【解析】分析：通过分离参数法，确定；构造函数，求出函数
的导函数和极值点；画出函数图像研究 的取值范围。
得 ，所以列出函数及其导数的表格如下所示：
-1
﹣
0
+
单调递减
极小值
单调递增
根据表格，画出如下图所示的函数图像
由图像可知， 在R上有个两个不等实数根
即 与的图像有两个不同交点，由极小值 可知
当有两个交点时， 的取值范围为.
点睛：本题考查了函数与导数的综合应用，分离参数、构造函数、利用单调性与极值画出函数图像，进而分析取值范围，涉及知识点多、综合性强，是函数的常考点。
28．函数的极大值点为__________．
【答案】
【解析】分析：求出f（x）的导函数，得出单调区间，即能求出极大值点．
详解：f′（x）=3x2﹣9；
f′（x）=0得，x=-，或；
∴x∈（﹣∞，）时，f′（x）＞0，
x∈（，）时，f′（x）＜0，
x∈（，+∞）时，f′（x）＞0；
∴x=是f（x）的极大值点．
故答案为：x=．
点睛：求函数的极值时要根据函数的单调性去解，注意导函数的零点与函数极值点之间的关系，不要将导函数的零点与极值点混为一谈.
29．对于函数（其中是自然对数的底数），若存在实数使得在（0，+∞）上恒成立，则称函数具有性质“”.给出下列函数：①②；③；④.其中具有性质“”的所有函数的序号为__________．
【答案】①②④.
【解析】分析：本题就是求函数在上的最小值．
详解：①若，则，当且仅当，即时取等号，①具有性质“”；
点睛：本题考查“新定义”，解题关键是正确理解“新定义”，并用“新定义”解决问题，主要是能“新问题”转化为“老问题”、用“老方法”解决问题，本题函数具有性质“”，实质应是函数在上具有最小值，因此问题转化为求在上的最小值，这样我们就可以用不等式的性质、用导数知识求解．
30．已知函数若存在实数，满足，则的最大值是____．
【答案】.
【解析】分析: 根据函数f（x）图象判断a，b，c关系即范围，用c表示出af（a）+bf（b）+cf（c），根据函数单调性求出最大值．
详解: 作出f（x）的函数图象如图所示：
∵存在实数a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），
∴a+b=﹣6，
∴af（a）+bf（b）+cf（c）=（a+b+c）f（c）=（c﹣6）lnc，
故答案为：2e2﹣12
点睛: （1）本题有三个关键点,其一是能够很熟练准确地画出函数的图像；其二是从图像里能发现a+b=-6, ＜c＜e2；其三是能够想到构造函数g（c）=（c﹣6）lnc，利用导数求函数的最大值.（2）本题要求函数的图像和性质掌握的比较好，属于中档题.
31．若是函数的极值点，则实数__________．
【答案】
【解析】因为，且是函数的极值点，所以，解得.
三、解答题
32．已知函数， ，其中a>1.
（I）求函数的单调区间；
（II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明；
（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.
【答案】(Ⅰ)单调递减区间，单调递增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.
【解析】分析：（I）由题意可得.令，解得x=0.据此可得函数的单调递减区间，单调递增区间为.
（II）曲线在点处的切线斜率为.曲线在点处的切线斜率为.原问题等价于.两边取对数可得.
（III）由题意可得两条切线方程分别为l1： .l2： .则原问题等价于当时，存在， ，使得l1和l2重合.转化为当时，关于x1的方程存在实数解，构造函数，令，结合函数的性质可知存在唯一的x0，且x0>0，使得，据此可证得存在实数t，使得，则题中的结论成立.
详解：（I）由已知， ，有.
令，解得x=0.
由a>1，可知当x变化时， ， 的变化情况如下表：
x
0
0
+
极小值
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（III）曲线在点处的切线l1： .
曲线在点处的切线l2： .
要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，
只需证明当时，存在， ，使得l1和l2重合.
即只需证明当时，方程组有解，
由①得，代入②，得. ③
因此，只需证明当时，关于x1的方程③存在实数解.
设函数，
即要证明当时，函数存在零点.
，可知时， ；
时， 单调递减，
又， ，
故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.
当时，
有，
所以存在实数t，使得
因此，当时，存在，使得.
所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
33．设函数，其中,且是公差为的等差数列.
（I）若 求曲线在点处的切线方程；
（II）若，求的极值；
（III）若曲线 与直线 有三个互异的公共点，求d的取值范围.
【答案】(Ⅰ)x+y=0；(Ⅱ)极大值为6；极小值为−6；(Ⅲ)
【解析】分析：（Ⅰ）由题意可得f (x)=x3−x， =3x2−1，结合f(0)=0， =−1，可得切线方程为x+y=0.
（Ⅱ）由已知可得：f(x)=x3−3t2x2+(3t22−9)x− t23+9t2.则= 3x2−6t2x+3t22−9.令=0，解得x= t2−，或x= t2+.据此可得函数f(x)的极大值为f(t2−)=6；函数极小值为f(t2+)=−6.
（III）原问题等价于关于x的方程(x−t2+d) (x−t2) (x−t2−d)+ (x−t2)+ 6=0有三个互异的实数解，令u= x−t2，可得u3+(1−d2)u+6=0.设函数g(x)= x3+(1−d2)x+6，则y=g(x)有三个零点.利用导函数研究g(x)的性质可得的取值范围是
（Ⅱ）由已知可得
f(x)=(x−t2+3)(x−t2)(x−t2−3)=(x−t2)3−9(x−t2)=x3−3t2x2+(3t22−9)x−t23+9t2．
故=3x2−6t2x+3t22−9．令=0，解得x=t2−，或x=t2+．
当x变化时， ，f(x)的变化如下表：
x
(−∞，t2−)
t2−
(t2−，t2+)
t2+
(t2+，+∞)
+
0
−
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以函数f(x)的极大值为f(t2−)=(−)3−9×(−)=6；函数f(x)的极小值为f(t2+)=()3−9×()=−6．
（Ⅲ）曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x−t2+d)(x−t2)(x−t2−d)+(x−t2)+ 6=0有三个互异的实数解，令u=x−t2，可得u3+(1−d2)u+6=0．
设函数g(x)=x3+(1−d2)x+6，则曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点．
=3x3+(1−d2)．
若即，也就是，此时， 且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意．
所以， 的取值范围是．
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
34．已知函数f(x)=−lnx．
（Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2；
（Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．
【答案】（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）见解析
【解析】分析: （Ⅰ）先求导数，根据条件解得x1，x2关系，再化简f(x1)+f(x2)为，利用基本不等式求得取值范围，最后根据函数单调性证明不等式，（Ⅱ）一方面利用零点存在定理证明函数有零点，另一方面，利用导数证明函数在上单调递减，即至多一个零点.两者综合即得结论.
则，
所以
x
（0，16）
16
（16，+∞）
-
0
+
2-4ln2
所以g（x）在[256，+∞）上单调递增，
故，
即．
（Ⅱ）令m=，n=，则
f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0，
f（n）–kn–a<≤<0，
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
35．设函数=[]．
（Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a；
（Ⅱ）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围．
【答案】(1) a的值为1
(2) a的取值范围是（，+∞）
【解析】分析：（1）先求导数，再根据得a；（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，根据是否满足在x=2处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围．
详解：解：（Ⅰ）因为=[]，
所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．
f ′(1)=(1–a)e．
由题设知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．
此时f (1)=3e≠0．
所以a的值为1．
点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
36．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，．
【答案】（1）切线方程是
（2）证明见解析
【解析】分析：（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程。
（2）当时，,令，只需证明即可。
详解：（1），．
因此曲线在点处的切线方程是．
（2）当时，．
令，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以 ．因此．
点睛：本题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问当时，,令，将问题转化为证明很关键，本题难度较大。
37．已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
【答案】(1) a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
(2)证明见解析.
【解析】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′（2）=0，求得a=，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；
(2)结合指数函数的值域，可以确定当a≥时，f（x）≥，之后构造新函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，从而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.
（2）当a≥时，f（x）≥．
设g（x）=，则
当01时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．
故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．
因此，当时，．
点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.
38．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．
【答案】（1）当时，在单调递减.，
当时， 在单调递减，在单调递增.
（2）证明见解析.
【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对
进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；
(2)根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.
（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.
由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于
，
所以等价于.
设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.
所以，即.
点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.
39．已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，；
（2）若是的极大值点，求．
【答案】（1）见解析
（2）
【解析】分析：（1）求导，利用函数单调性证明即可。
（2）分类讨论和,构造函数,讨论的性质即可得到a的范围。
（2）（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾.
（ii）若，设函数.
由于当时，，故与符号相同.
又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点.
.
如果，则当，且时，，故不是的极大值点.
如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点.
如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点
综上，.
点睛：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论和,当时构造函数时关键，讨论函数的性质，本题难度较大。
40．已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）证明：只有一个零点．
【答案】解：
（2）由于，所以等价于．
设=，则g ′（x）=≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．
又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点．
综上，f（x）只有一个零点．
【解析】分析：（1）将代入，求导得，令求得增区间，令求得减区间；（2）令，即，则将问题转化为函数只有一个零点问题，研究函数单调性可得.
详解：（1）当a=3时，f（x）=，f ′（x）=．
令f ′（x）=0解得x=或x=．
当x∈（–∞，）∪（，+∞）时，f ′（x）>0；
当x∈（，）时，f ′（x）<0．
故f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．
点睛：（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数.
（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.
