2017-2018学年江西抚州七校联考高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年江西抚州七校联考高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年江西抚州七校联考高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知命题：，，则（ ）‎ A. ：， B. ：，‎ C. ：， D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由含有一个量词的命题的否定可知存在性命题的否定是全称命题,故应选B.‎ ‎2．曲线：在点处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以切下的斜率为，‎ 所以切线方程为 ，即，选A ‎3．等差数列，，，……，的公差为，若以上述数列，，，……，为样本，则此样本的方差为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】等差数列得样本的平均数为 所以该组数据的方差为.‎ 故选A.‎ ‎4．小亮、小明和小红约好周六骑共享单车去森林公园郊游，他们各自等可能地从小黄车、小蓝车、小绿车这种颜色的单车中选择种，则他们选择相同颜色自行车的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，小亮，小明和小红各自等可能地从小黄车、小蓝车、小绿车这种颜色的单车中选择种有7种不同的结果，他们选择相同颜色自行车有种不同的结果，故他们选择相同颜色自行车的概率为，故选B．‎ ‎5．已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为，则椭圆方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为 的周长为，所以是椭圆的两焦点，椭圆方程为，故选A.‎ ‎6．设，，…，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），则以下结论中正确的是（ ）‎ A. 和的相关系数为直线的斜率 B. 和的相关数据在到之间 C. 当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同 D. 直线过点 ‎【答案】D ‎【解析】因回归直线一定过这组数据的样本中心点，故选D．‎ 点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.‎ ‎7．在区间内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间内的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】记随机取出两个数分别为，由，所以点在直角坐标系内所占区域面积为，若 ，则点在直角坐标系内所占区域面积为，‎ 所以，概率，故选D．‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则输入的正整数的可能取值的集合是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由题意，循环依次为，，‎ 所以可能取值的集合为，故选A.‎ ‎9．给出以下命题：‎ ‎（1）若：；：，则为真，为假，为真 ‎（2）“”是“曲线表示椭圆”的充要条件 ‎（3）命题“若，则”的否命题为：“若，则”‎ ‎（4）如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差都改变；‎ 则正确命题有（ ）个 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由题意，（1）中，显然均为假，根据“为真，为假，为真”可得为假命题,为真命题.所以是错误的；‎ ‎（2）中，曲线表示椭圆满足 ，解得 或，所以是错误的； ‎ ‎（3）中命题“若，则”的否命题为：“若，则”，所以是错误的；‎ ‎（4）中，根据平均数与方差的计算公式，平均数改变，方差不变；故不正确；所以是错误的，综上可知，正确命题的个数为0个，故选A.‎ ‎10．南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术”得出圆周率的值在与之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值的时间至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平，我们用概率模型方法估算圆周率，向正方形及内切圆随机投掷豆子，在正方形中的颗豆子中，落在圆内的有颗，则估算圆周率的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 设圆的半径为，则正方形的边长为，‎ ‎ 根据几何概型的概率公式，可以得到，解得，故选D．‎ ‎11．若存在两个正实数，，使得等式 成立，其中为自然对数的底数，则正实数的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，设，则，‎ 令，‎ 当时，当时，‎ 最小值为当时，‎ 本题选择D选项.‎ ‎12．设双曲线： 的左、右焦点分别为，，，过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为，已知，，点是双曲线右支上的动点，且 恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】令x=c代入双曲线的方程可得，‎ 由|F2Q|>|F2A|,可得，‎ 即为3>2=2(−)，‎ 即有①‎ 又恒成立，‎ 由双曲线的定义,可得c恒成立，‎ 由,P,Q共线时,取得最小值，‎ 可得，‎ 即有②‎ 由e>1，结合①②可得，‎ e的范围是.‎ 故选：B.‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 二、填空题 ‎13．小明所在的高二年级共有名同学，现在以简单随机抽样的方式抽取名同学来填写调查问卷，则小明被抽到的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】用简单随机抽样从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本时,每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为，故答案为.‎ ‎14．设，则“”是“”的__________条件．‎ ‎【答案】充要条件 ‎【解析】 因为.‎ 若则 ;‎ 若则 ;‎ 若则；‎ 综上，“”是“”的充要条件.‎ ‎15．若，则等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得： ，‎ 取得： ，所以，故，‎ 故答案为.‎ ‎16．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知，是一对相关曲线的焦点，是它们在第一象限的交点，当 时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，焦距为，，，则，所以，又由余弦定理得，即，代入得，又由题意，即，代入得，，（1舍去），所以．‎ ‎【考点】椭圆与双曲线的几何性质．‎ ‎【名师点睛】在椭圆与双曲线的问题中，出现焦点三角形时，要用到椭圆（或双曲线）的定义，即曲线上的点到两焦点的距离之和（差）为常数（长轴长（或实轴长））．象本题，由此可把点到两焦点的距离用表示出来，再在中应用余弦定理，建立起与的等量关系，而这正是求离心率所需要的．‎ 三、解答题 ‎17．设：实数满足，其中；：实数满足.‎ ‎（1）若，且为真，为假，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】试题分析：第一步首先把a=1代入求出p所表示的含义，解不等式组搞清q的含义，根据为真，为假，求出x的范围，第二步是的充分不必要条件的等价关系为，说明所表示的集合是所表示的集合的真子集，针对为正、负两种情况按要求讨论解决. ‎ 试题解析：‎ ‎（1）当为真时，当为真时，‎ 因为为真，为假，所以，一真一假，‎ 若真假，则，解得；‎ 若假真，则，解得，‎ 综上可知，实数的取值范围为. ‎ ‎（2）由（1）知，当为真时，，‎ 因为是的充分不必要条件，所以是的必要不充分条件，‎ 因为为真时，若，有且是的真子集，‎ 所以，解得：， ‎ 因为为真时，若，有且是的真子集，‎ 所以，不等式组无解．‎ 综上所述：实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】解含参一元二次不等式时，若已知参数值可代入后求解，若不知参数值需要讨论后求解，涉及含有逻辑联结词的命题的真假问题需要按照真值表考虑简单命题的真、假，按照要求求出参数的范围，当遇到是的充分不必要条件时，要按照互为逆否命题同真假去转化为等价关系为，然后再去解决. ‎ ‎18．某便利店计划每天购进某品牌鲜奶若干件，便利店每销售一瓶鲜奶可获利元；若供大于求，剩余鲜奶全部退回，但每瓶鲜奶亏损元；若供不应求，则便利店可从外调剂，此时每瓶调剂品可获利元.‎ ‎（1）若便利店一天购进鲜奶瓶，求当天的利润（单位：元）关于当天鲜奶需求量（单位：瓶，）的函数解析式；‎ ‎（2）便利店记录了天该鲜奶的日需求量（单位：瓶，）整理得下表：‎ 日需求量 频数 若便利店一天购进瓶该鲜奶，以天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天利润在区间内的概率.‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）当日需求量时，利润，当日需求量时，，即可得到利润关于的函数解析式；‎ ‎（2）根据上表，得到天内的需求量，利用古典概型及概率的计算公式，即可求得概率.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当日需求量时，‎ 利润 当日需求量时，‎ 利润 ‎∴利润关于当天鲜奶需求量的函数解析式为 ‎ 日需求量 频数 利润 ‎（2）50天内有4天获利180元，50天内有8天获利220元，50天内有10天获利260元，‎ ‎50天内有14天获利300元，50天内有9天获利320元，50天内有5天获利340元.‎ 若利润在内，日需求量为90，100，110，120其对应的频数分别为10，14,9,5‎ 则利润在内的概率为 ‎19．如图，斜率为的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点、，为抛物线弧上的动点，且.‎ ‎（1）求抛物线方程；‎ ‎（2）求的最大值.‎ ‎【答案】（1） ；（2） .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由条件知，直线方程与抛物线方程联立，利用抛物线的定义和焦点弦长，即可求解，得到抛物线的方程；‎ ‎(2)由(1)知直线的方程为，求得点到的距离，以及表示出的面积，进而求解面积的最大值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由条件知，则，消去y得：①，则，由抛物线定义， ‎ 又因为，即，则抛物线方程为.‎ ‎ (2)由(1)知直线AB的方程为y=x—1，,设,则到距离,因在直线的同侧,所以 ‎,‎ 则.‎ ‎20．年月日，“国际教育信息化大会”在山东青岛开幕.为了解哪些人更关注“国际教育信息化大会”，某机构随机抽取了年龄在-岁之间的人进行调查，并按年龄绘制成频率分布直方图，如图所示，其分组区间为：，，，，，.把年龄落在区间和内的人分别称为“青少年”和“中老年”.‎ 关注 不关注 合计 青少年 中老年 合计 ‎（1）根据频率分布直方图求样本的中位数（保留两位小数）和众数；‎ ‎（2）根据已知条件完成列联表，并判断能否有的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”；‎ ‎【答案】（1）中位数约为36.43；（2）有的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”..‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图可知样本的众数为，设样本的中位数为，则，求得的值，即可得到数据的中位数；‎ ‎（2）依题意可知，可得抽取的“青少年”共有人，“中老年”共有人，完成的列联表，求得的值，作出预测.‎ 试题解析：‎ ‎（1）根据频率分布直方图可知样本的众数为40，因为，‎ 设样本的中位数为，则，所以，即样本的中位数约为36.43. ‎ ‎（2）依题意可知，抽取的“青少年”共有人，“中老年”共有人.‎ 完成的列联表如下：‎ 关注 不关注 合计 青少年 中老年 合计 结合列联表的数据得 ‎ ‎，‎ 因为,‎ 所以有的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”. ‎ ‎21．已知经过原点的直线与椭圆： 交于，两点，点为椭圆上不同于、的一点，直线、的斜率均存在，且直线、的斜率之积为.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若，设、分别为椭圆的左、右焦点，斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于、两点，若点在以为直径的圆内部，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)设出点的坐标，利用点差法可得椭圆的离心率为；‎ ‎(2)联立直线的点斜式方程与椭圆方程，结合韦达定理得到关于实数k的不等式 ，求解不等式可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设则，，∵点三点均在椭圆上，‎ ‎∴，，‎ ‎∴作差得，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，，∴，，‎ 设，，直线的方程为，记，，‎ 联立得，，‎ ‎∴，，‎ 当点在以为直径的圆内部时，‎ ‎，‎ ‎∴ ，‎ 得 ，‎ 解得.‎ ‎22．已知函数，（，是自然对数的底数）.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若，当时，求函数的最大值；‎ ‎（3）若，且，比较：与.‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：(1)求得函数的定义域和导数，由和，即可求得函数的单调区间；‎ ‎（2）代入的解析式，的奥的解析式，求得，利用导数得到函数 的单调性，即可求解函数的最大值.‎ ‎（3）把与的大小转化为与的大小，进而转化为与的大小关系，即要比较与的大小，进而比较与的大小，构造新函数，利用导数求解新函数的单调性与最值，即可得到结论.‎ 试题解析：‎ ‎(1)的定义域为,且,‎ 令,‎ 在上单调递增,在上单调递减. ‎ ‎(2),‎ ‎,‎ 当时,,,‎ 当时,,‎ 在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎. ‎ ‎(3), 即.‎ 由(1)知 在上单调递增,在上单调递减,且,‎ 则，要比较与的大小，即要比较m与的大小，即要比较与的大小，即要比较与的大小，即要比较与的大小，由于即要比较与的大小，‎ 令 ‎ 恒成立 在递增,在恒成立, ‎ ‎ 恒成立，即，又因为，而f（X）在上单调递减，，‎ 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的证明和不等关系的比较大小问题，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用.‎