数学卷·2018届辽宁省大连市瓦房店高中高二上学期期中数学试卷(文科) (解析版)

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文档介绍

数学卷·2018届辽宁省大连市瓦房店高中高二上学期期中数学试卷(文科) (解析版)

‎2016-2017学年辽宁省大连市瓦房店高中高二(上)期中数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},B={2,3,5},则(∁UA)∪B=(  )‎ A.{3,5} B.{3,4,5} C.{2,3,4,5} D.{1,2,3,4}‎ ‎2.已知向量=(﹣3,4),=(1,m),若⊥(﹣),m=(  )‎ A. B.7 C.﹣7 D.﹣‎ ‎3.某高级中学有高一、二、三三个年级的学生共1600名,其中高三学生400名,如果通过分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个容量为80人的样本,则应从高三年级学生中抽取的人数是(  )‎ A.40 B.30 C.20 D.10‎ ‎4.北宋 欧阳修在《卖油翁》中写道:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其扣,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.因曰:‘我亦无他,唯手熟尔.’”可见技能都能透过反复苦练而达至熟能生巧之境的.若铜钱是半径为1cm的圆,中间有边长为0.5cm的正方形孔,你随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.直线x﹣y+3=0被圆(x+2)2+(y﹣2)2=2截得的弦长等于(  )‎ A. B. C.2 D.‎ ‎6.某公司为确定明年投入某产品的广告支出,对近5年的广告支出m与销售额y(单位:百万元)进行了初步统计,得到下列表格中的数据:‎ y ‎30‎ ‎40‎ p ‎50‎ ‎70‎ m ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ 经测算,年广告支出m与年销售额y满足线性回归方程=6.5m+17.5,则p的值为(  )‎ A.45 B.50 C.55 D.60‎ ‎7.下列结论正确的是(  )‎ A.“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件 B.若“p∧q”与“¬p∨q”都是假命题,则p真q假 C.命题“∃x∈R,x2﹣x>0”的否定是“∀x∈R,x2﹣x<0”‎ D.命题“能被2整除的数是偶数”的逆否命题是“不能被2整除的数不是偶数”‎ ‎8.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计,得到样本频率分布直方图(如图),则这1000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是(  )‎ A.300 B.400 C.500 D.600‎ ‎9.若[x]表示不超过x的最大整数,执行如图所示的程序框图,则输出的S值为(  )‎ A.4 B.5 C.7 D.9‎ ‎10.函数f(x)=ax﹣1+3(a>0,且a≠1)的图象过一个定点P,且点P在直线mx+ny﹣1=0(m>0,n>0)上,则+的最小值是(  )‎ A.12 B.13 C.24 D.25‎ ‎11.已知P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到直线l:2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值是(  )‎ A. B. C.2 D.﹣1‎ ‎12.已知函数,若x1<x2<x3,且f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1x2x3的取值范围是(  )‎ A.(1,10) B.(10,12) C.N1 D.(20,24)‎ ‎ ‎ 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分 ‎13.若sin(﹣α)=,则cos(+2α)的值为  .‎ ‎14.已知实数1,m,9构成一个等比数列,则圆锥曲线+y2=1的离心率为  .‎ ‎15.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积是  .‎ ‎16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为  元.‎ ‎ ‎ 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知函数f(x)=sin(2x﹣)+2cos2x﹣1.‎ ‎(Ⅰ)求函数f(x)的单调增区间;‎ ‎(Ⅱ)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且a=1,b+c=2,f(A)=,求△ABC的面积.‎ ‎18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAB⊥底面ABCD,且∠PAB=∠ABC=90°,AD∥BC,PA=AB=BC=2AD,E是PC的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:DE∥平面PAB;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面PCD⊥平面PBC.‎ ‎19.某家电专卖店试销A,B,C三种新型空调,销售情况记录如下:‎ 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 A型数量(台)‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎15‎ A4‎ A5‎ B型数量(台)‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎13‎ B4‎ B5‎ C型数量(台)‎ ‎15‎ ‎8‎ ‎12‎ C4‎ C5‎ ‎(1)求A型空调前三周的平均周销售量;‎ ‎(2)为跟踪调查空调的使用情况,根据销售记录,从该家电专卖店前三周售出的所有空调中随机抽取一台,求抽到的空调“是B型空调或是第一周售出空调”的概率;‎ ‎(3)根据C型空调连续3周销售情况,预估C型空调连续5周的平均周销量为10台.当C型空调周销售量的方差最小时,求C4,C5的值.‎ 参考公式:‎ 样本数据x1,x2,…,xn的方差是:,其中为样本平均数.‎ ‎20.已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣2n.‎ ‎(1)求数列{an的通项公式an;‎ ‎(2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎21.垂直于x轴的直线l与椭圆C:相交于M、N两点,A是C的左顶点.‎ ‎(1)求的最小值;‎ ‎(2)设点P是C上异于M、N的任意一点,且直线MP、NP分别与x轴交于R、S两点,O是坐标原点,求△OPR和△OPS的面积之积的最大值.‎ ‎22.已知函数f(x)=lnx,.‎ ‎(1)若f(x)与g(x)在x=1处相切,试求g(x)的表达式;‎ ‎(2)若在[1,+∞)上是减函数,求实数m的取值范围;‎ ‎(3)证明不等式: .‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年辽宁省大连市瓦房店高中高二(上)期中数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},B={2,3,5},则(∁UA)∪B=(  )‎ A.{3,5} B.{3,4,5} C.{2,3,4,5} D.{1,2,3,4}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算.‎ ‎【分析】根据全集U及A,求出A的补集,找出A补集与B的并集即可.‎ ‎【解答】解:∵全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},B={2,3,5},‎ ‎∴∁UA={3,4,5},‎ 则(∁UA)∪B={2,3,4,5}.‎ 故选C ‎ ‎ ‎2.已知向量=(﹣3,4),=(1,m),若⊥(﹣),m=(  )‎ A. B.7 C.﹣7 D.﹣‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【分析】令•(﹣)=0列方程解出m.‎ ‎【解答】解:∵若⊥(﹣),∴若•(﹣)=0,即=.‎ ‎∴25=﹣3+4m,‎ 解得m=7.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎3.某高级中学有高一、二、三三个年级的学生共1600名,其中高三学生400名,如果通过分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个容量为80人的样本,则应从高三年级学生中抽取的人数是(  )‎ A.40 B.30 C.20 D.10‎ ‎【考点】分层抽样方法.‎ ‎【分析】设应当从高三年级的学生中抽取的人数是x,则由分层抽样的定义可得,由此求出x的值.‎ ‎【解答】解:设应当从高三年级的学生中抽取的人数是x,则由分层抽样的定义可得,解得x=20,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.北宋 ‎ 欧阳修在《卖油翁》中写道:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其扣,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.因曰:‘我亦无他,唯手熟尔.’”可见技能都能透过反复苦练而达至熟能生巧之境的.若铜钱是半径为1cm的圆,中间有边长为0.5cm的正方形孔,你随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】几何概型.‎ ‎【分析】分别计算圆和正方形的面积,由几何概型概率公式可得.‎ ‎【解答】解:由题意可得半径为1cm的圆的面积为π×12=π,‎ 而边长为0.5cm的正方形面积为0.5×0.5=0.25,‎ 故所求概率P==,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎5.直线x﹣y+3=0被圆(x+2)2+(y﹣2)2=2截得的弦长等于(  )‎ A. B. C.2 D.‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用.‎ ‎【分析】先根据点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离即弦心距OD,然后根据垂径定理得到垂足为弦长的中点D,根据勾股定理求出弦长的一半BD,乘以2即可求出弦长AB.‎ ‎【解答】解:连接OB,过O作OD⊥AB,根据垂径定理得:D为AB的中点,‎ 根据(x+2)2+(y﹣2)2=2得到圆心坐标为(﹣2,2),半径为.‎ 圆心O到直线AB的距离OD==,而半径OB=,‎ 则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD==,所以AB=2BD=‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎6.某公司为确定明年投入某产品的广告支出,对近5年的广告支出m与销售额y(单位:百万元)进行了初步统计,得到下列表格中的数据:‎ y ‎30‎ ‎40‎ p ‎50‎ ‎70‎ m ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ 经测算,年广告支出m与年销售额y满足线性回归方程=6.5m+17.5,则p的值为(  )‎ A.45 B.50 C.55 D.60‎ ‎【考点】线性回归方程.‎ ‎【分析】求出,代入回归方程计算,从而得出p的值.‎ ‎【解答】解: ==5,‎ ‎∴=6.5×5+17.5=50,‎ ‎∴=50,解得p=60.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎7.下列结论正确的是(  )‎ A.“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件 B.若“p∧q”与“¬p∨q”都是假命题,则p真q假 C.命题“∃x∈R,x2﹣x>0”的否定是“∀x∈R,x2﹣x<0”‎ D.命题“能被2整除的数是偶数”的逆否命题是“不能被2整除的数不是偶数”‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】A,x=﹣1时,x2=1; B,¬p∨q是假命题时,则p真q假,则 p∧q 是假命题; C,命题“∃x∈R,x2﹣x>0”的否定是“∀x∈R,x2﹣x≤0;‎ D,命题“能被2整除的数是偶数”的逆否命题是“若一个数不是偶数 则不能被2整除;‎ ‎【解答】解:对于A,x=﹣1时,x2=1也成立,故错; ‎ 对于 B,¬p∨q是假命题时,则p真q假,则 p∧q 是一定是假命题,故正确; ‎ 对于C,命题“∃x∈R,x2﹣x>0”的否定是“∀x∈R,x2﹣x≤0,故错;‎ D,命题“能被2整除的数是偶数”的逆否命题是“若一个数不是偶数 则不能被2整除,故错; ‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计,得到样本频率分布直方图(如图),则这1000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是(  )‎ A.300 B.400 C.500 D.600‎ ‎【考点】频率分布直方图.‎ ‎【分析】根据频率分布直方图,算出成绩不低于70分的3个组的面积之和为0.6,从而得到成绩不低于70分的学生的频率为0.6,由此即可得到这1000名学生在该次自主招生水平测试中不低于70分的学生数.‎ ‎【解答】解:根据频率分布直方图,可得 成绩在70﹣80的小组的小矩形面积为S1=10×0.035=0.35;在80﹣90的小组的小矩形面积为S2=10×0.015=0.15‎ 在90﹣100的小组的小矩形面积为S3=10×0.010=0.10‎ ‎∴成绩不低于70分的学生所在组的面积之和为S=S1+S2+S3=0.6‎ 即成绩不低于70分的学生的频率为0.6,由此可得 这1000名学生在该次自主招生水平测试中不低于70分的学生数是1000×0.6=600‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.若[x]表示不超过x的最大整数,执行如图所示的程序框图,则输出的S值为(  )‎ A.4 B.5 C.7 D.9‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】根据题意,模拟程序框图的运行过程,求出该程序运行后输出的S的值.‎ ‎【解答】解:模拟程序框图的运行过程,如下;‎ S=0,n=0,S=0+[]=0,0>4,否;‎ n=1,S=0+[]=1,1>4,否;‎ n=2,S=1+[]=2,2>4,否;‎ n=3,S=2+[]=3,3>4,否;‎ n=4,S=3+[]=5,4>4,否;‎ n=5,S=5+[]=7,5>4,是;‎ 输出S=7.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎10.函数f(x)=ax﹣1+3(a>0,且a≠1)的图象过一个定点P,且点P在直线mx+ny﹣1=0(m>0,n>0)上,则+的最小值是(  )‎ A.12 B.13 C.24 D.25‎ ‎【考点】基本不等式.‎ ‎【分析】函数f(x)=ax﹣1+3(a>0,且a≠1)的图象过一个定点P(1,4),可得m+4n=1.再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.‎ ‎【解答】解:函数f(x)=ax﹣1+3(a>0,且a≠1)的图象过一个定点P(1,4),‎ ‎∵点P在直线mx+ny﹣1=0(m>0,n>0)上,‎ ‎∴m+4n=1.‎ 则+=(m+4n)=17+≥17+4×2=25,当且仅当m=n=时取等号.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎11.已知P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到直线l:2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值是(  )‎ A. B. C.2 D.﹣1‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】作图,化点P到直线l:2x﹣y+3=0和y轴的距离之和为PF+PA﹣1,从而求最小值.‎ ‎【解答】解:由题意作图如右图,‎ 点P到直线l:2x﹣y+3=0为PA;‎ 点P到y轴的距离为PB﹣1;‎ 而由抛物线的定义知,‎ PB=PF;‎ 故点P到直线l:2x﹣y+3=0和y轴的距离之和为PF+PA﹣1;‎ 而点F(1,0)到直线l:2x﹣y+3=0的距离为 ‎=;‎ 故点P到直线l:2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值为﹣1;‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎12.已知函数,若x1<x2<x3,且f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1x2x3的取值范围是(  )‎ A.(1,10) B.(10,12) C.N1 D.(20,24)‎ ‎【考点】函数的值.‎ ‎【分析】作函数的图象,从而结合图象可知lgx1=lgx2=﹣x3+6,从而求得.‎ ‎【解答】解:作函数的图象如下,‎ ‎,‎ ‎∵x1<x2<x3,f(x1)=f(x2)=f(x3),‎ ‎∴﹣lgx1=lgx2=﹣x3+6,‎ ‎∴x1x2=1,10<x3<12,‎ ‎∴10<x1x2x3<12.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分 ‎13.若sin(﹣α)=,则cos(+2α)的值为  .‎ ‎【考点】二倍角的余弦;角的变换、收缩变换.‎ ‎【分析】利用二倍角的余弦公式把要求的式子化为2﹣1,再利用诱导公式化为2﹣1,将条件代入运算求得结果.‎ ‎【解答】解:∵=cos2(+α)=2﹣1=2﹣1 ‎ ‎=2×﹣1=,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎14.已知实数1,m,9构成一个等比数列,则圆锥曲线+y2=1的离心率为 或2 .‎ ‎【考点】椭圆的简单性质;双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】由1,m,9构成一个等比数列,得到m=±3.当m=3时,圆锥曲线是椭圆;当m=﹣3时,圆锥曲线是双曲线,由此入手能求出离心率.‎ ‎【解答】解:∵1,m,9构成一个等比数列,‎ ‎∴m=±3.‎ 当m=3时,圆锥曲线+y2=1是椭圆,它的离心率是=;‎ 当m=﹣3时,圆锥曲线+y2=1是双曲线,它的离心率是2.‎ 故答案为:或2.‎ ‎ ‎ ‎15.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积是  .‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】判断几何体的形状,结合三视图的数据,求出几何体的体积.‎ ‎【解答】解:由三视图可知,该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体,如图,‎ 正方体棱长为2,正三棱锥侧棱互相垂直,侧棱长为1,‎ V=V正方体﹣2V三棱锥=2×2×2=.‎ 故答案我:‎ ‎ ‎ ‎16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 216000 元.‎ ‎【考点】简单线性规划的应用.‎ ‎【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件,根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数,利用线性规划作出可行域,通过目标函数的几何意义,求出其最大值即可;‎ ‎【解答】解:(1)设A、B两种产品分别是x件和y件,获利为z元.‎ 由题意,得,z=2100x+900y.‎ 不等式组表示的可行域如图:由题意可得,解得:,A(60,100),‎ 目标函数z=2100x+900y.经过A时,直线的截距最大,目标函数取得最大值:2100×60+900×100=216000元.‎ 故答案为:216000.‎ ‎ ‎ 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知函数f(x)=sin(2x﹣)+2cos2x﹣1.‎ ‎(Ⅰ)求函数f(x)的单调增区间;‎ ‎(Ⅱ)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且a=1,b+c=2,f(A)=,求△ABC的面积.‎ ‎【考点】正弦函数的单调性;余弦定理.‎ ‎【分析】(Ⅰ)函数f(x)展开后,利用两角和的公式化简为一个角的一个三角函数的形式,结合正弦函数的单调增区间求函数f(x)的单调增区间.‎ ‎(Ⅱ)利用f(A)=,求出A的大小,利用余弦定理求出bc的值,然后求出△ABC的面积.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)因为=‎ ‎=‎ ‎=‎ 所以函数f(x)的单调递增区间是〔〕(k∈Z)‎ ‎(Ⅱ)因为f(A)=,所以 又0<A<π所以 从而故A=‎ 在△ABC中,∵a=1,b+c=2,A=‎ ‎∴1=b2+c2﹣2bccosA,即1=4﹣3bc.‎ 故bc=1‎ 从而S△ABC=‎ ‎ ‎ ‎18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAB⊥底面ABCD,且∠PAB=∠ABC=90°,AD∥BC,PA=AB=BC=2AD,E是PC的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:DE∥平面PAB;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面PCD⊥平面PBC.‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.‎ ‎【分析】(Ⅰ)取PB中点F,连接EF,AF,推导出四边形DEFA是平行四边形,由此能证明DE∥平面PAB. ‎ ‎(Ⅱ)由已知推导出AF⊥BC,AF⊥PB,从而AF⊥平面PBC,再由DE∥AF,能证明平面PCD⊥平面PBC.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)取PB中点F,连接EF,AF,‎ 由已知EF∥BC∥AD,且2EF=2AD=BC,‎ 所以,四边形DEFA是平行四边形,‎ 于是DE∥AF,AF⊂平面PAB,DE⊄平面PAB,‎ 因此DE∥平面PAB. …‎ ‎(Ⅱ)侧面PAB⊥底面ABCD,且∠PAB=∠ABC=90°,‎ 所以BC⊥平面PAB,AF⊂平面PAB,所以AF⊥BC,‎ 又因为PA=AB,F是PB中点,于是AF⊥PB,‎ PB∩BC=B,所以AF⊥平面PBC,‎ 由(Ⅰ)知DE∥AF,故DE⊥平面PBC,‎ 而DE⊂平面PCD,‎ 因此平面PCD⊥平面PBC. …‎ ‎ ‎ ‎19.某家电专卖店试销A,B,C三种新型空调,销售情况记录如下:‎ 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 A型数量(台)‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎15‎ A4‎ A5‎ B型数量(台)‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎13‎ B4‎ B5‎ C型数量(台)‎ ‎15‎ ‎8‎ ‎12‎ C4‎ C5‎ ‎(1)求A型空调前三周的平均周销售量;‎ ‎(2)为跟踪调查空调的使用情况,根据销售记录,从该家电专卖店前三周售出的所有空调中随机抽取一台,求抽到的空调“是B型空调或是第一周售出空调”的概率;‎ ‎(3)根据C型空调连续3周销售情况,预估C型空调连续5周的平均周销量为10台.当C型空调周销售量的方差最小时,求C4,C5的值.‎ 参考公式:‎ 样本数据x1,x2,…,xn的方差是:,其中为样本平均数.‎ ‎【考点】极差、方差与标准差.‎ ‎【分析】(1)根据数表中的数值计算平均数即可;‎ ‎(2)方法1:根据概率的定义进行计算即可;‎ 方法2:利用对立事件的概率公式进行计算也可;‎ ‎(3)根据方差的定义可得S2的解析式,再根据二次函数性质求出 c4=7或c4=8时,S2取得最小值,从而求出c5的值.‎ ‎【解答】解:(1)A型空调前三周的平均销售量为 ‎(台);…‎ ‎(2)方法1:从前三周售出的所有空调中随机抽取一台,有105种可能,‎ 其中“是B型或是第一周售出空调”有35+35﹣10=60;…‎ 因此抽到的空调“是B型或是第一周售出空调”的概率是;…‎ 方法2:设抽到的空调“不是B型也不是第一周售出空调”的事件是M,‎ 抽到的空调“是B型或是第一周售出空调”的事件是N,‎ 则,‎ ‎;…‎ 故抽到的空调“是B型或是第一周售出空调”的概率是;…‎ ‎(3)因为C型空调平均周销售量为10台,‎ 所以c4+c5=10×5﹣15﹣8﹣12=15;…‎ 又,‎ 化简得.…‎ 因为c4∈N,‎ 所以c4=7或c4=8时,S2取得最小值,‎ 此时C5=8或C5=7…‎ ‎ ‎ ‎20.已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣2n.‎ ‎(1)求数列{an的通项公式an;‎ ‎(2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【考点】数列的求和.‎ ‎【分析】(1)由题意得,当n=1时a1=s1=﹣1,当n≥2时an=sn﹣sn﹣1=2n﹣3,再验证n=1时是否成立即可;‎ ‎(2)由(1)和题意求出bn,利用错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解答】解:(1)当n=1时,a1=s1=1﹣2=﹣1…‎ 当n≥2时,an=sn﹣sn﹣1=n2﹣2n﹣[(n﹣1)2﹣2(n﹣1)]=2n﹣3…‎ 又a1=﹣1=2﹣3,也符合上式,…‎ 因此,an=2n﹣3…‎ ‎(2)由(1)得,bn==,‎ 所以Tn= ①,‎ Tn= ②,‎ ‎①﹣②得, Tn=+2()﹣‎ ‎=+2×﹣=‎ 所以Tn=.‎ ‎ ‎ ‎21.垂直于x轴的直线l与椭圆C:相交于M、N两点,A是C的左顶点.‎ ‎(1)求的最小值;‎ ‎(2)设点P是C上异于M、N的任意一点,且直线MP、NP分别与x轴交于R、S两点,O是坐标原点,求△OPR和△OPS的面积之积的最大值.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(1)点M、N关于x轴对称,设M(x1,y1)(y1>0),则N(x1,﹣y1),利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出.‎ ‎(2)利用点与椭圆的位置关系、三角形面积计算公式即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)点M、N关于x轴对称,设M(x1,y1)(y1>0),则N(x1,﹣y1),‎ ‎∵A(﹣2,0),∴,,‎ ‎∵点M在C上,∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵x1∈(﹣2,2),∴时,取最小值.‎ ‎(2)设P(x0,y0),则直线MP的方程为:,‎ 令y=0,得,同理,‎ ‎∵点M、P在C上,∴,,‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎∵y0∈[﹣1,1],∴y0=±1时,S△OPS•S△OPR取最大值1.‎ ‎ ‎ ‎22.已知函数f(x)=lnx,.‎ ‎(1)若f(x)与g(x)在x=1处相切,试求g(x)的表达式;‎ ‎(2)若在[1,+∞)上是减函数,求实数m的取值范围;‎ ‎(3)证明不等式: .‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】(1)求导数,利用f(x)与g(x)在x=1处相切,可求g(x)的表达式;‎ ‎(2)在[1,+∞)上是减函数,可得导函数小于等于0,在[1,+∞)上恒成立,分离参数,利用基本不等式,可求实数m的取值范围;‎ ‎(3)当x≥2时,证明,当x=2时,当x=3时,当x=4时,…,当x=n+1时,利用叠加法,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:(1)∵f(x)=lnx,∴,∴,得:a=2.‎ 又∵,∴b=﹣1,‎ ‎∴g(x)=x﹣1;‎ ‎(2)=在[1,+∞)上是减函数,‎ ‎∴在[1,+∞)上恒成立.‎ 即x2﹣(2m﹣2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立,由,x∈[1,+∞),‎ ‎∵,‎ ‎∴2m﹣2≤2得m≤2;‎ 证明:(3)由(1)可得:当x≥2时:,∴得:,‎ ‎∴.‎ 当x=2时:,‎ 当x=3时:,‎ 当x=4时:,‎ ‎…‎ 当x=n+1时:,n∈N+,n≥2,‎ 上述不等式相加得: ,‎ 即: .‎ ‎ ‎
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