【推荐】专题07 探索直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用-2018版高人一筹之高二数学特色专题训练（选修2-1）x

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一、解答题 ‎1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得 。设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）证明：‎ 由题意设直线的方程为，‎ 由消去y整理得，‎ 设，，‎ 要使其为定值，需满足，‎ 解得.‎ 故定点的坐标为.‎ 点睛：解析几何中定点问题的常见解法 ‎(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；‎ ‎(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．‎ ‎2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知离心率为的椭圆 的一个焦点坐标为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点的直线与轨迹交于不同的两点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由离心率为，及一个焦点坐标为，求出基本量，可得椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积公式，即可求得的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎，‎ 由 由知；‎ 综上所述： .‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，向量知识的运用，以及分析解决问题的能力，其中灵活应用韦达定理是解题的关键 ‎3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线过点， 是上一点，斜率为的直线交于不同两点（不过点），且的重心的纵坐标为.‎ ‎（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标；‎ ‎（2）记直线的斜率分别为，求的值.‎ ‎【答案】（1）方程为;其焦点坐标为（2）‎ ‎【解析】试题分析; （1）将代入，得，可得抛物线的方程及其焦点坐标；‎ ‎（2）设直线的方程为，将它代入得，利用韦达定理，结合斜率公式以及的重心的纵坐标，化简可 的值；‎ 因为的重心的纵坐标为，‎ 所以，所以，所以，‎ 所以，‎ 又 ‎.‎ 所以.‎ ‎4．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知椭圆的长轴两端点为双曲线的焦点，且双曲线的离心率为.‎ ‎（1）求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）若斜率为1的直线交双曲线于两点，线段的中点的横坐标为，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】试题分析: （1）利用双曲线 与椭圆有公共焦点，且离心率为.，求出基本量，即可求双曲线的方程； （2）设直线的方程为，与双曲线的方程联立，结合弦长公式，即可求方程．‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 由得，‎ ‎∴， ，∴.‎ ‎∴直线方程为.‎ ‎5．已知椭圆的短轴端点到右焦点的距离为2．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，若，‎ ‎，求证： 为定值．‎ ‎【答案】(1) ;(2)详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明. ‎ ‎ 设， ，则且， ‎ ‎ 方法一：因为，所以. ‎ ‎ 同理，且与异号， ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ ‎ 所以， 为定值.‎ ‎ 当时，同理可得. ‎ ‎ 所以， 为定值.‎ 方法三：由题意直线过点，设方程为 ，‎ ‎ 将代人得点坐标为，　　　‎ ‎ 由 消元得，‎ ‎ 设， ，则且， ‎ ‎ 因为，所以.　 ‎ ‎ ‎ ‎ 又当直线与轴重合时， ， ‎ ‎ 所以， 为定值.‎ ‎【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线过点，在设方程时，往往设为 ，可减少讨论该直线是否存在斜率.‎ ‎6．【湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二上学期期中】已知双曲线： ‎ ‎（）的离心率为，虚轴长为．‎ ‎（1）求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于两点， 为坐标原点，求的面积．‎ ‎【答案】．（1）;（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意得，解出a,b,c即可得到双曲线的方程；（2）根据条件得到直线的方程为，将此方程与双曲线方程联立，运用代数方法求得弦长及原点到直线的距离d，可求得三角形的面积。‎ 试题解析：‎ ‎(1)依题意可得，‎ 解得，‎ ‎∴双曲线的标准方程为．‎ ‎∴。‎ 点睛：双曲线的综合问题主要是直线与双曲线的位置关系问题．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则弦长|AB|＝|x1－x2|。‎ ‎7．【江苏省清江中学2017-2018学年高二上学期期中】某奥运会主体育场的简化钢结构俯视图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，我们称这两个椭圆相似。‎ ‎（1）已知椭圆，写出与椭圆相似且焦点在轴上、短半轴长为的椭圆 的标准方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围；‎ ‎（2）从外层椭圆顶点A、B向内层椭圆引切线AC、BD，设内层椭圆方程为+=1 (ab0)，AC与BD的斜率之积为－，求椭圆的离心率。‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由两点、关于直线对称可设出直线的方程为，将此方程与椭圆方程联立消去y可得，由题意此方程有两个不等实根，再根据的中点在直线上可消去t，根据判别式可得的范围；‎ 试题解析：‎ ‎（1）椭圆的方程为： ‎ 设直线的方程为，‎ 由消去y整理得 即方程有两个不同的实数解， ‎ 所以，‎ 解得或（舍去）。‎ 所以实数的取值范围为。‎ ‎（2）设外层的椭圆的方程为，‎ 设切线的方程为,‎ 由消去y整理得 ‎∵直线与椭圆相切，‎ ‎∴， ‎ 即椭圆的离心率为。‎ 点睛：（1）本题以新定义的形式考查了椭圆的简单性质和直线与椭圆的位置关系，对于直线和椭圆位置关系的考查体现在用方程的方法去解题，注意“设而不求”、一元二次方程的判别式、根与系数关系的运用。‎ ‎（2）解析几何中的对称问题一般要涉及到垂直和平分两个方面的内容，如在本题中根据M,N关于直线对称可设直线的方程为（垂直），再根据的中点在直线上（平分）可消去参数，以达到求解的目的。‎ ‎8．【河北省唐山市一中2017-2018学年上学期高二期中考】已知抛物线和直线， 为坐标原点． ‎ ‎(1)求证： 与必有两交点； ‎ ‎(2)设与交于两点，且直线和斜率之和为，求的值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：把直线方程和抛物线方程联立方程组，代入消元后得出一元二次方程，证明与 必有两交点，只需证明判别式大于零，利用设而不求思想先设出点A、B的坐标，根据直线和斜率之和为，列出两点坐标的关系，由于两点坐标满足直线的方程，所以把代入化为的关系，把根与系数关系代入后求出斜率的值．‎ ‎【点睛】证明与必有两交点，只需联立方程组，代入消元后得出一元二次方程，证明判别式大于零，利用设而不求思想先设出点A、B的坐标，根据直线和斜率之和为，列出两点坐标的关系，由于两点坐标满足直线的方程，所以把代入化为的关系，把根与系数关系代入后求出斜率的值．‎ ‎9．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中】设抛物线： ， 为的焦点，过的直线与相交于两点.‎ ‎（1）设的斜率为1，求；‎ ‎（2）求证： 是一个定值.‎ ‎【答案】(1) （2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；‎ 试题解析：‎ ‎(1)解：∵由题意可知抛物线的焦点为，准线方程为，‎ ‎∴直线的方程为 设，由 得，‎ ‎∴，‎ 由直线过焦点，则.‎ ‎（2）证明：设直线的方程为，‎ ‎∴是一个定值.‎ 点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成也给解题带来了方便.‎ ‎10．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C: 的离心率为,右焦点为(,0).(1)求椭圆C的方程;  (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A,B两点,求证:点O到直线AB的距离为定值.‎ ‎【答案】(1) ,(2) O到直线 的距离为定值.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a，b，c；‎ ‎（2）对于AB有无斜率进行讨论，设出A，B坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；‎ 试题解析：(1)由右焦点为(,0),则 ,又离心率为,所以 , ，‎ 则 ‎ ‎(2) 设 , ,若k存在,则设直线AB:y=kx+m. ‎ 得 ‎ 点睛： 本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．‎ ‎11．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知圆，圆心为，定点， 为圆上一点，线段上一点满足，直线上一点，满足．‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）为坐标原点， 是以为直径的圆，直线与相切，并与轨迹交于不同的两点．当且满足时，求面积的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）分析题意可得点满足的几何条件，根据椭圆的定义可得轨迹，从而可求得轨迹方程；（Ⅱ）先由直线与相切得到 ‎，将直线方程与椭圆方程联立，并结合一元二次方程根与系数的关系可得，由且，进一步得到k的范围，最后根据三角形面积公式并结合函数的单调性求的取值范围。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）∵‎ ‎∴为线段中点 ‎∵‎ ‎∴为线段的中垂线 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，‎ 设椭圆的标准方程为， ‎ 则， ，‎ ‎∴。‎ ‎∴点的轨迹的方程为。‎ 设， ，‎ 则， ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故面积的取值范围为。‎ 点睛：解决解析几何综合题时一般会涉及到复杂的运算，解题时要注意解题技巧的运用，如常用的“设而不求”、“整体代换”的方法，以简化计算。另外，对于解析几何中的范围、最值的问题，要结合函数的性质求解或利用基本不等式求解。‎ ‎12．【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018届高三上学期两校期中联考】已知椭圆E: 经过点P(2,1)，且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．探求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）直线AB过定点Q（0，﹣2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果，再考虑一般情况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得到结果。‎ ‎（Ⅰ）由椭圆的离心率e=，则a2=4b2， 将P（2，1）代入椭圆，则，解得：b2=2，则a2=8， ∴椭圆的方程为： ； ‎ 因此M点坐标为（0， ），同理可知：N（0， ），‎ 由，则+=0，‎ 化简整理得：（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）（x1+x2）+8t=0，‎ 则（2﹣4k）×﹣（2﹣4k+2t）（）+8t=0， ‎ 当且仅当t=﹣2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，﹣2）.‎ ‎13．【云南省昆明市高新技术开发区2018届高考适应性月考】已知椭圆（）的一个焦点是， 为坐标原点，且椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，过点的直线交椭圆于点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为椭圆上一点，且满足，当，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：根据c=1,短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，得出a,b，写出椭圆的方程，设AB的方程，联立方程组，代入整理，利用 设而不求思想，借助根与系数关系解题，根据向量所提供的坐标关系结合根与系数关系，依据题目所给的向量差的模小于，解出的范围 。‎ 由，得 ‎，‎ 则，‎ 由点在椭圆上，得，‎ 化简得， ‎ 因为，所以，‎ 即，‎ ‎【点睛】根据题找出a,b,c的关系，解方程组得出a,b，写出椭圆的方程，根据直线的要求设AB的方程，联立方程组，代入整理，利用设而不求思想，借助根与系数关系解题，根据向量所提供的坐标关系结合根与系数关系，依据题目所给的向量差的模小于，解出的范围 。‎ ‎14．【云南省玉溪第一中学2018届高三上学期第三次月考】在平面直角坐标系xOy中，直线与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点,O为坐标原点．‎ ‎(1) 如果直线过抛物线的焦点且斜率为1，求的值；‎ ‎（2）如果，证明：直线必过一定点，并求出该定点.‎ ‎【答案】（1）8；（2）证明见解析 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，求出弦长；‎ ‎（Ⅱ）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于﹣4，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标．‎ 试题解析：‎ ‎(1)解, 　, ‎ ‎ (2)证明　由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，‎ 消去x得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎15．【黑龙江省佳木斯市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考】已知椭圆，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为，最小距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以线段为直径的圆恒过点?若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) 椭圆方程为;(2) 以线段为直径的圆恒过点.‎ ‎【解析】试题分析：（1）通过椭圆的几何意义得到椭圆的方程；（2）先考虑直线的特殊情况，和轴垂直，和轴平行，通过这两种情况得到最终结果再证明一般情况. 以线段为直径的圆恒过点，转化为，通过韦达定理解决即可。‎ ‎（1）椭圆方程为.‎ ‎（2）当与轴平行时，以线段为直径的圆的方程为；‎ 当与轴平行时，以线段为直径的圆的方程为.‎ 故若存在定点，则的坐标只可能为.‎ 下面证明为所求：‎ 若直线的斜率不存在，上述己经证明. ‎ 若直线的斜率存在，设直线， ，‎ ‎∴，即以线段为直径的圆恒过点.‎ 点睛：这个题是圆锥曲线中的典型题目，证明定值定点问题。第一问考查几何意义，第二问是常见的将图的垂直关系，转化为数量关系，将垂直转化为向量点积为0 ，再者就是向量坐标化的意识。还有就是这种证明直线过定点问题，可以先通过特殊位置猜出结果，再证明。‎ ‎16．【江西省宜春市丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学、樟树中学、宜丰中学2017届高三六校联考】椭圆： 的离心率为，过右焦点垂直于轴的直线与椭圆交于， 两点且，又过左焦点任作直线交椭圆于点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）椭圆上两点， 关于直线对称，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意求得， ，∴椭圆的方程为．‎ ‎(2)当直线斜率存在且时，联立直线与椭圆的方程计算可得假设 不成立；‎ 当直线的斜率时，面积函数，结合椭圆方程和均值不等式的结论可得面积的最大值为.‎ ‎（Ⅱ）依题意直线不垂直轴，当直线的斜率时，可设直线的方程为（），则直线的方程为．‎ 由得，‎ ‎，即，①‎ 设的中点为，则， ，‎ 点在直线上，∴，故，②‎ 此时与①矛盾，故时不成立．‎ 当直线的斜率时， ， （， ），‎ 的面积，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴面积的最大值为，当且仅当时取等号．‎ ‎17．【四川省成都市新津中学2018届高三11月月考】已知椭圆的离心率为，且过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求证： 为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ 试题解析：（1）由椭圆方程可知： ，焦点在轴上， ，即，由 ‎，即，将点代入，解得， 椭圆方程为.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程、韦达定理的应用以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.‎ ‎18．【苏教版2017－2018学年高中数学选修1－1 模块综合检测】已知点是椭圆E： (a>b>0)上一点，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)设不过原点O的直线l与该椭圆E交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）(0，)．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据离心率得a,b,c三者关系，再代入点可得a2＝4，b2＝3.（2）因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，可得 ，再直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入关系式得，根据点到直线距离公式得高，根据弦长公式得底边边长，结合三角形面积公式得关于m函数关系式，最后利用基本不等式求最值，得取值范围. ‎ 试题解析：解：(1)由题意知，＝，‎ 所以＝，a2＝b2.‎ 又＋＝1，解得a2＝4，b2＝3.‎ 因此椭圆E的方程为 即4k2－m2＋3>0.‎ 又x1＋x2＝－，x1x2＝‎ 所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)‎ ‎＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝.‎ 因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，‎ 所以·＝＝k2，‎ 即(4k2－3)m2＝0，‎ ‎∵m≠0，∴k2＝.‎ 由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ>0，‎ 得0

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