2018-2019学年河北省武邑中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年河北省武邑中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年河北省武邑中学高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知全集，集合，则（ ）‎ A． ‎ B．‎ C． ‎ D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：∵，，‎ ‎∴.‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法、集合的补集运算.‎ ‎2．某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算，则认为“学生性别与支持活动有关系”的犯错误的概率不超过 附：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ A．0.1% B．1% C．99% D．99.9%‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据独立性检验的知识，由题目所给的值，对比表格所给数据，得出判断结论.‎ ‎【详解】‎ 由于，故认为“学生性别与支持活动有关系”的犯错误的概率不超过.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查独立性检验的知识，考查犯错的概率的识别，属于基础题.‎ ‎3．已知抛物线的焦点（），则抛物线的标准方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：以为焦点的抛物线的标准方程为.‎ ‎【考点】抛物线的焦点和抛物线的标准方程.‎ ‎4．命题 ，；命题 ，函数的图象过点，则（ ）‎ A．假真 B．真假 C．假假 D．真真 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：∵，∴，∴或，∴不存在自然数，∴命题P为假命题；‎ ‎∵，∴函数的图象过点，∴命题q为真命题．‎ ‎【考点】命题的真假．‎ ‎5．执行如图的程序框图，则输出的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：；，；，；，；，；输出A，.‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎6．在直角梯形ABCD中， ， ， ，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由已知条件可得图象如下，‎ 在中， ，‎ ‎∴，∴．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎7．已知，则（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由倍角公式可将化为 当时，，所以；当 时，，．综上．选D．‎ ‎【考点】倍角公式的应用．‎ ‎8．展开式中的常数项为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：∵，∴，‎ 令，即，∴常数项为.故选C。‎ ‎【考点】二项式定理。‎ ‎9．已知函数的定义域为，且是偶函数．又，存在 ，使得，则满足条件的的个数为( )‎ A．3 B．2 C．4 D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据是偶函数，函数的定义域关于原点对称求得的值.构造函数，由零点存在性定理判断出满足条件的个数.‎ ‎【详解】‎ 由，解得，即函数的定义域为.由于是偶函数，函数的定义域关于原点对称，即，解得.故.构造函数 .由于,，,，,，故，根据零点的存在性定理可知，函数在区间上存在零点，由于 的最高次项为，根据所以至多有个零点，所以满足条件的为共三个.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查偶函数定义域的特点，考查抽象函数定义域的求法，考查零点的存在性定理，属于中档题.如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于原点对称.已知的定义域，求的定义域，是将代入的定义域中，解出的取值范围，由此求得的定义域.‎ ‎10．是双曲线的右焦点，过点向曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知渐近线方程为l1：，l2：，‎ 由条件得F到渐近线的距离，则，‎ 在Rt△AOF中，，则.‎ 设l1的倾斜角为θ，即∠AOF=θ，则∠AOB=2θ.‎ 在Rt△AOF中，，在Rt△AOB中，.‎ ‎∵，即，即a2=3b2，‎ ‎∴a2=3(c2-a2)，‎ ‎∴，即.‎ 故选C.‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎11．直线分别与曲线，交于，，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：建立函数关系式，利用导数求最小值.‎ 详解：因为，‎ 所以令 因为当时，当时，所以当时，‎ 选D.‎ 点睛：求范围或值域问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.‎ ‎12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：几何体为边长为2的正方体截去一个正六边形，其表面积为，选C.‎ ‎【考点】三视图 ‎【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．‎ ‎2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．‎ 二、填空题 ‎13．已知，，若，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值，进而求得.‎ ‎【详解】‎ ‎，由于，故，解得，故.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查两个向量垂直的坐标表示，考查向量的模，属于基础题.‎ ‎14．已知，则实数的取值范围是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】计算出定积分，然后解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 依题意得，即，解得.故的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查定积分的计算，考查一元一次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎15．在半径为的球面上有不同的四点，若，则平面被球所截得图形的面积为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：先在球面选取点，在球面上有三点到距离相等，可知在同一截面上，且垂直于平面；如图：有，，所以，，均为等边三角形．所以截面所在圆的半径为；所以截面面积为：．故答案为．‎ ‎【考点】球的表面积与体积.‎ ‎【方法点晴】确定在圆周上的位置是本题解答的关键,先在球面选取点，在球面上有三点到距离相等，可知在同一截面上，且垂直于平面,把截面所在的圆的圆心记为的话，则构成以为斜边的直角三角形，且,由勾股定理可得,故可得截面面积.‎ ‎16．已知，满足，则的取值范围为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：，故.将变形为，设，所以，代入化简得．‎ ‎【考点】基本不等式，三角换元法.‎ ‎【思路点晴】‎ 本题主要考查基本不等式和三角换元法.利用基本不等式求最值，基本不等式需要满足一正二定三相等，也就是说，利用基本不等式必须确保每个数都是正数，必须确保右边是定值，必须确保等号能够成立.当时由于基本不等式只能求出最小值，所以考虑三角换元法来求解.利用进行三角换元，利用三角函数求最值的方法求的最大值和最小值.‎ 三、解答题 ‎17．设数列的前项和为，满足，且．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若，，成等差数列，求证：，，成等差数列．‎ ‎【答案】（1）an＝qn－1；（2）证明详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：本题主要考查等比数列的通项公式及前n项和公式、等差中项等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、运算求解能力. 第一问，当时，代入到已知等式中可直接求出的值，当时，利用，得到与的关系，从而得出数列为等比数列，从而得到数列的通项公式；第二问，利用等比数列的前n项和公式，利用等差中项列出等式，通过约分，化简，得到a3＋a6＝2a9，再同时除以q，即得到结论.‎ 试题解析：（Ⅰ）当n＝1时，由(1－q)S1＋q＝1，‎ 当n≥2时，由(1－q)Sn＋qn＝1，得(1－q)Sn－1＋qn－1＝1，两式相减得 ‎(1－q)an＋qn－qn－1＝0，‎ 因为q(q－1)≠0，得an＝qn－1，当n＝1时，a1＝1．‎ 综上an＝qn－1． 6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以{an}是以1为首项，q为公比的等比数列．‎ 所以，又S3＋S6＝2S9，得，‎ 化简得a3＋a6＝2a9，两边同除以q得a2＋a5＝2a8．‎ 故a2，a8，a5成等差数列． 12分 ‎【考点】等比数列的通项公式及前n项和公式、等差中项.‎ ‎18．我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别见下表：‎ 空气污染指数 空气质量 空气污染指数 空气质量 ‎0--50‎ 优 ‎201--250‎ 中度污染 ‎51--100‎ 良 ‎251--300‎ 中度重污染 ‎101--150‎ 轻微污染 ‎>300‎ 重污染 ‎151----200‎ 轻度污染 我们把某天的空气污染指数在0-100时称作A类天，101--200时称作B类天，大于200时称作C类天．下图是某市2014年全年监测数据中随机抽取的18天数据作为样本，其茎叶图如下：（百位为茎，十.个位为叶）‎ ‎（1）从这18天中任取3天，求至少含2个A类天的概率；‎ ‎（2）从这18天中任取3天，记X是达到A类或B类天的天数，求X的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】（1）利用组合数求得天任取三天的取法种数，分别求得有个类天和个类天的取法数然后相加，再由古典概型的概率计算公式计算出所求的概率.（2）的可能取值为.利用超几何分布概率计算公式，计算出分布列，并求得数学期望.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 从这18天中任取3天，取法种数有 ，‎ ‎3天中至少有2个A类天的取法种数 ， ‎ 所以这3天至少有2个A类天的概率为； ‎ ‎（2）X的一切可能的取值是3,2,1,0. ‎ 当X=3时， ‎ 当X=2时，‎ 当X=1时， ‎ 当X=0时， ‎ X的分布列为 X ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ P ‎7/102‎ ‎35/102‎ ‎15/34‎ ‎5/34‎ 数学期望为 ．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查古典概型的计算，考查超几何分布的分布列以及期望值的计算，属于中档题.‎ ‎19．如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求二面角．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）－．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，一般要证线面垂直，因此要证线线垂直，题中只有两个60°角的菱形，因此有等边三角形，只要取中点为，则有CC1⊥OA，CC1⊥OB1，因此有线面垂直，从而证得题中的线线垂直；（Ⅱ）要求二面角，由己知又可得，因此以OB1，OC1，OA为正方向建立空间直角坐标系，可写出各点坐标，从而求得两平面CAB1和平面A1AB1的法向量，由法向量夹角余弦得二面角余弦，要注意二面角是锐角还是钝角．‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：连AC1，CB1，则 ‎△ACC1和△B1CC1皆为正三角形．‎ 取CC1中点O，连OA，OB1，则 CC1⊥OA，CC1⊥OB1，则 CC1⊥平面OAB1，则CC1⊥AB1．…4分 ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OA＝OB1＝，又AB1＝，‎ 所以OA⊥OB1．如图所示，分别以OB1，OC1，OA为正方向建立空间直角坐标系，‎ 则C(0，－1，0)，B1(，0，0)，A(0，0，)，‎ 设平面CAB1的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 因为＝(，0，－)，＝(0，－1，－)，‎ 所以取m＝(1，－，1)． ‎ 设平面A1AB1的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 因为＝(，0，－)，＝(0，2，0)，‎ 所以取n＝(1，0，1)． ‎ 则cosám，nñ＝＝＝，因为二面角C-AB1-A1为钝角，‎ 所以二面角C-AB1-A1的余弦值为－．‎ ‎【考点】线面垂直的判断与性质，二面角．‎ ‎【名师点睛】求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.‎ 同样求异面直线所成的角可从两个不同角度求异面直线所成的角.一是把角的求解转化为向量运算,二是体现传统方法(三步:作,证,算),应注意体会两种方法的特点.“转化”是求异面直线所成角的关键,可平移线段或化为向量的夹角.一般地,异面直线AC,BD的夹角β的余弦值为cos β=.‎ ‎20．已知圆 ，点，以线段为直径的圆内切于圆，记点的轨迹为．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）直线交圆于，两点，当为的中点时，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的标准方程和几何性质等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、读图能力、运算求解能力. 第一问，设AB的中点为M，切点为N，连OM，MN，先利用半径长得出|OM|＋|MN|＝2，再利用中位线转化边，得|A¢B|＋|AB|＝2(|OM|＋|MN|)＝4，得到椭圆的定义，从而得到a，b，c的值，写出椭圆的方程；第二问，利用OB⊥CD，利用向量垂直的充要条件，得到坐标关系，再结合椭圆方程，可解出，从而得到直线AB的斜率，得到直线AB的方程.‎ 试题解析：（Ⅰ）设AB的中点为M，切点为N，连OM，MN，则 ‎|OM|＋|MN|＝|ON|＝2，取A关于y轴的对称点A¢，‎ 连A¢B，故|A¢B|＋|AB|＝2(|OM|＋|MN|)＝4．‎ 所以点B的轨迹是以A¢，A为焦点，长轴长为4的椭圆．‎ 其中，a＝2，，b＝1，则 曲线Γ的方程为． 5分 ‎（Ⅱ）因为B为CD的中点，所以OB⊥CD，‎ 则．设B(x0，y0)，‎ 则． 7分 又解得，．‎ 则kOB＝，kAB＝ ， 10分 则直线AB的方程为，即 或． 12分 ‎【考点】椭圆的标准方程和几何性质、直线的标准方程和几何性质.‎ ‎21．已知函数，．‎ ‎（1）时，证明：；‎ ‎（2），若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）证明详见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力.第一问，对求导，再构造函数进行二次求导，通过对的分析，得到的最小值，从而得到，判断得出在内单调递增，从而求出最小值；第二问，构造，对求导，需构造函数进行二次求导，结合第一问的结论，可得在单调递减，然后对、、进行讨论，证明的最大值小于等于0即可.‎ 试题解析：（Ⅰ）令p(x)＝f¢(x)＝ex－x－1，p¢(x)＝ex－1，‎ 在(－1，0)内，p¢(x)＜0，p(x)单减；在(0，＋∞)内，p¢(x) ＞0，p(x)单增．‎ 所以p(x)的最小值为p(0)＝0，即f¢(x)≥0，‎ 所以f(x)在(－1，＋∞)内单调递增，即f(x)＞f(－1)＞0． 4分 ‎（Ⅱ）令h(x)＝g(x)－(ax＋1)，则h¢(x)＝－e－x－a，‎ 令q(x)＝－e－x－a，q¢(x)＝－．‎ 由（Ⅰ）得q¢(x)＜0，则q(x)在(－1，＋∞)上单调递减． 6分 ‎（1）当a＝1时，q(0)＝h¢(0)＝0且h(0)＝0．‎ 在(－1，0)上h¢(x)＞0，h(x)单调递增，在(0，＋∞)上h'(x)＜0，h(x)单调递减，‎ 所以h(x)的最大值为h(0)，即h(x)≤0恒成立． 7分 ‎（2）当a＞1时，h¢(0)＜0，‎ x∈(－1，0)时，h¢(x)＝－e－x－a＜－1－a＝0，解得x＝∈(－1，0)．‎ 即x∈(，0)时h¢(x)＜0，h(x)单调递减，‎ 又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾． 9分 ‎（3）当0＜a＜1时，h¢(0)＞0，‎ x∈(0，＋∞)时，h¢(x)＝－e－x－a＞－1－a＝0，解得x＝∈(0，＋∞)．‎ 即x∈(0，)时h¢(x)＞0，h(x)单调递增，‎ 又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾． 11分 综上，a的取值为1． 12分 ‎【考点】导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值.‎ ‎22．已知椭圆 ，直线 （为参数）．‎ ‎（1）写出椭圆的参数方程及直线的普通方程；‎ ‎（2）设，若椭圆上的点满足到点的距离与其到直线的距离相等，求点的坐标．‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力. 第一问，利用椭圆的参数方程，直接得到将直线的参数方程消参，得到直线的普通方程；第二问，由于P点在椭圆上，结合参数方程设出P点坐标，利用两点间的距离公式，及点到直线的距离公式，再相等，解出及，从而得到P点坐标.‎ 试题解析：（Ⅰ）C：（θ为参数），l：x－y＋9＝0． 4分 ‎（Ⅱ）设,‎ 则，‎ P到直线l的距离．‎ 由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得，．‎ 故． 10分 ‎【考点】极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化.‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若的最小值为1，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据绝对值的几何意义去绝对值,本函数可写成分段函数,分情况解不等式,可得解集；（2）由不等式的性质可得,解得的值.‎ 试题解析： （1）因为 且，所以的解集为. ‎ ‎（2），‎ 当且仅当且时，取等号.‎ 所以，解得或0. ‎ ‎【考点】绝对值不等式的性质;分段函数解不等式.‎