陕西省渭南市2020届高三下学期教学质量检测数学（文）试题

陕西省渭南市2020届高三下学期教学质量检测数学（文）试题

渭南市2020年高三教学质量检测（Ⅱ）‎ 数学试卷（文科）‎ 注意事项：‎ ‎1.本试题满分150分，考试时间120分钟；‎ ‎2.答卷前务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；‎ ‎3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式求出集合，再根据交集定义求解即可．‎ ‎【详解】解：由得，则，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．‎ ‎2.已知为虚数单位，若复数，则（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据复数代数形式的四则运算求出复数，再根据复数的几何意义求出复数的模．‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算，考查复数的模，属于基础题．‎ ‎3.函数的定义域为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 要使函数有意义，需使，即，所以 故选C ‎4.已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据同角的三角函数关系求出，再根据和角的正弦公式即可求出答案．‎ ‎【详解】解：∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，考查同角的三角函数关系，属于基础题．‎ ‎5.庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“坚决打赢疫情防控人民战争、总体战、阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知.某学校为了解高三年级1000名同学宅家学习期间上课、锻炼、休息等情况，决定将高三年级学生编号为1，2，3……1000，从这1000名学生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行网上问卷调查，若46号同学被抽到，则下面4名同学中也被抽到的是（ ）‎ A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据系统抽样的定义求出抽样间隔，从而可求出答案．‎ ‎【详解】解：由题意，系统抽样中的抽样间隔，‎ ‎∵46号同学被抽到，‎ ‎∴抽到的编号为，‎ ‎∴，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，属于基础题．‎ ‎6.某学校计划周一到周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》、《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能再周一和周四演，《茶馆》不能在周一和周三演，《天籁》不能在周三和周四演，《马蹄声碎》不能在周一和周四演，那么下列说法正确的是（ ）．‎ A. 《雷雨》只能在周二上演 B. 《茶馆》可能周二或者周四上演 C. 周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》‎ D. 四部话剧都可能在周二上演 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题目可知，周一上演《天籁》，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》，故选C.‎ ‎7.设变量满足约束条件，则目标函数 ‎＝2+4的最大值为（　　）‎ A. 10 B. ‎12 ‎C. 13 D. 14‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考点：简单线性规划的应用．‎ 专题：计算题；数形结合．‎ 分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=2x+4y过区域内某个顶点时，z最大值即可．‎ 解答：解析：先画出约束条件 可行域，如图，‎ 得到当x=，y=时目标函数z=2x+4y有最大值为，Zmax=2×+4×=13．‎ 故选C．‎ 点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．‎ ‎【详解】请在此输入详解！‎ ‎8.已知抛物线的焦点为，点，，在抛物线上，且，，成等差数列，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，由此可求出答案．‎ ‎【详解】解：∵抛物线的准线方程为，‎ 且，，，‎ ‎∴，，，‎ 又，，成等差数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用，考查等差中项的应用，属于基础题．‎ ‎9.现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A. ①④②③ B. ①④③② C. ④①②③ D. ③④②①‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．‎ ‎【详解】解：①为偶函数，它的图象关于轴对称，故第一个图象即是； ②为奇函数，它的图象关于原点对称，它在上的值为正数， 在上的值为负数，故第三个图象满足； ③为奇函数，当时，，故第四个图象满足； ④，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足， 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题．‎ ‎10.为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）‎ A. 向右平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位 C. 向左平移个长度单位 D. 向左平移个长度单位 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，所以要的函数的图象，只需将函数的图象向左平移个长度单位得到，故选D ‎11.已知分别是双曲线左右焦点，过的直线与双曲线左右两支分别交于两点，若是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由题意结合几何关系求得a,b的关系，然后求解离心率即可.‎ 详解：如图所示，设，由双曲线的定义有：‎ ‎，‎ 即：，解得：，‎ 则：，‎ 据此可得：.‎ 则中，，‎ 由余弦定理可得：，‎ 整理可得：，则双曲线的离心率：.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎12.分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，根据导数可得到函数 的单调性，再求出奇偶性，再根据奇偶性与单调性解不等式即可．‎ ‎【详解】解：令，则，‎ ‎∵分别是定义在上的奇函数和偶函数，‎ ‎∴函数是奇函数，‎ ‎∵当时，，‎ ‎∴当时，，‎ ‎∴函数在上单调递减，‎ 由奇函数的性质可知，函数在上单调递减，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，或，‎ ‎∴，或，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性解不等式，属于中档题．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知向量，，则=______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平面向量数量积的定义可得，代入数据，结合平面向量数量积的坐标表示求解即可．‎ ‎【详解】解：∵，，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，属于基础题．‎ ‎14.在如图所示的四棱锥中，侧棱面，若长方形中，，，，则此四棱锥的外接球的体积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将四棱锥补成如图所示的长方体，由此可得该四棱锥的外接球球心为的中点，由此可求出外接球的体积．‎ ‎【详解】解：∵侧棱面，由题意将四棱锥补成如图所示的长方体，‎ ‎∴该四棱锥的外接球球心为的中点，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ 又，，‎ ‎∴该外接球的半径，‎ ‎∴该外接球的体积，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查四棱锥的外接球的体积，本题的关键在于将四棱锥补成一个长方体，长方体的体对角线长为外接球的直径，考查数形结合思想，属于中档题．‎ ‎15.在中，若，，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】设 ‎，最大值为 考点：解三角形与三角函数化简 点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需将三角函数化简为的形式 ‎16.给出下列结论：‎ ‎①下面程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的，分别为8，12，则输出的；‎ ‎②若用样本数据0，－1，2，3来估计总体的标准差，则总体的标准差估计值为；‎ ‎③命题：“若，则”的否命题是“若，则”；‎ ‎④已知正数，满足，则的最大值是；‎ ‎⑤已知函数满足，，且当时，.则在区间为增函数.‎ 其中结论正确的序号是______.‎ ‎【答案】①②⑤‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①模拟程序运行即可判断；‎ ‎②根据公式依次求出平均数、方程、标准差，由此即可判断；‎ ‎③“”否定为“”，由此即可判断；‎ ‎④由基本不等式化简得，则，解出不等式即可判断；‎ ‎⑤由题意知是奇函数，且关于对称，则是周期的函数，从而得到在与两段的图象相同，由此即可判断．‎ ‎【详解】解：①模拟程序运行，输入的，，满足，但不满足，故对重新赋值为；满足，满足，故对重新赋值为；不满足，则输出的，故①正确；‎ ‎②样本的平均数，方差，故总体总体的标准差估计值为，故②正确；‎ ‎③命题“若，则”的否命题是“若，则”，故③错误；‎ ‎④已知正数，，由基本不等式化简得，所以，解得，当且仅当时等号成立，故④错误；‎ ‎⑤由题意知是奇函数，且关于对称，则函数是最小正周期的函数，又当时，，则当时，单调递增，由周期性知，在与两段的图象相同，故⑤正确；‎ 故答案为：①②⑤．‎ ‎【点睛】本题主要考查程序框图的应用、样本的方差、基本不等式及其应用、函数的基本性质等，是一道综合性题目，属于中档题．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，三棱锥中，面，.‎ ‎（1）判断四面体是否为鳖臑，并说明理由；‎ ‎（2）若，为中点，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）四面体为鳖臑；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出，，，从而平面，进而，由此得到四面体为鳖臑；‎ ‎（2）三棱锥的体积为，由此能求出结果．‎ ‎【详解】解：（1）三棱锥中，面，，‎ ‎，，，‎ 又，平面，，‎ 四面体中，，，，都是直角三角形，‎ 四面体为鳖臑；‎ ‎（2），为中点，平面，‎ 三棱锥的体积．‎ ‎【点睛】本题主要考查线线垂直、线面垂直的应用，考查三棱锥的体积求法，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎18.已知等比数列中，与的等差中项为5，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项的和.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等比数列的公比为，由题意可得，由此可求出答案；‎ ‎（2）由（1）知，，从而根据错位相减法求．‎ ‎【详解】解：（1）设等比数列的公比为，‎ 由题意可得，即，‎ 解得，‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，考查错位相减法求数列的和，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎19.某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：‎ 分组 频数 频率 ‎20‎ ‎0.25‎ ‎50‎ ‎4‎ ‎0.05‎ 合计 ‎ ‎ ‎（1）求表中n，p的值和频率分布直方图中a的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；‎ ‎（2）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在和的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在的概率.‎ ‎【答案】（1）,，中位数为；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由第一组内频数为，频率为可求出总人数为，由此可求出第二组的频率为，并可求频率直方图中，由频率之和为可求出，频率分布直方图求出面积的一半处求出中位数即可；（2）分分层抽样的原则先求出共抽取人时在和的人数，再列出所有基本事件，可求2人服务次数都在的概率.‎ 试题解析：（1）因，所以，所以，‎ ‎，‎ ‎.‎ 中位数位于区间，设中位数为，‎ 则，所以，所以学生参加社区服务区次数的中位数为17次.‎ ‎（2）由题意知样本服务次数在有20人，样本服务次数在有4人，‎ 如果用分层抽样的方法从样本服务次数在和的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在和的人数分别为：和.‎ 记服务次数在为，在的为.‎ 从已抽取的6人任选两人的所有可能为：‎ 共15种，‎ 设“2人服务次数都在”为事件，则事件包括 共10种，‎ 所有.‎ 考点：1.频率分布表；2.频率分布直方图；3.古典概型.‎ ‎20.已知椭圆与直线交于，两点，且，其中为坐标原点.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若椭圆长轴的取值范围为，求椭圆的离心率的取值范围，并求出取最小值时的椭圆方程.‎ ‎【答案】（1）；（2），取最小值时的椭圆方程为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出，的坐标，联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系得到，横纵坐标的和与积，代入数量积的坐标表示得答案；‎ ‎（2）由把用含有的代数式表示，再把椭圆的离心率用含有的代数式表示，根据的范围求得椭圆的离心率的取值范围，由此可得答案．‎ ‎【详解】解：（1）设，，，，‎ 联立，得，‎ 又，‎ 故，‎ 由韦达定理得，，‎ 则；‎ ‎（2）由，得，‎ ‎，‎ 又，故，又，‎ 故，‎ 则的最小值为，则此时，故，‎ 又因为，则，，‎ 则椭圆方程为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查利用根与系数关系求解平面向量的数量积，考查椭圆离心率范围的求法，考查转化与化归思想，属于难题．‎ ‎21.设函数.‎ ‎（1）证明:，；‎ ‎（2）令 ‎①求的最大值；‎ ‎②如果，且，证明：.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）①的最大值为；②证明见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，则，利用导数求出函数的单调性与最值，由此可证明结论；‎ ‎（2）由题意得，，‎ ‎①利用导数求出函数的单调性，从而得到函数的极值与最值；‎ ‎②由题意不妨设，又，可得，令，，利用导数可得函数在上单调递增，从而可推出，结合条件可得，易得，从而借助函数在上单调递增即可证明．‎ ‎【详解】（1）证明：令，则，‎ 由得，由得，‎ ‎∴函数在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴函数在处取得极大值，也是最大值，‎ ‎∴，‎ 即，；‎ ‎（2）解：，，‎ ‎①由得，由得，‎ ‎∴函数在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴函数在处取得极大值，也是最大值，‎ ‎∴的最大值；‎ ‎②由，不妨设，又，‎ ‎∵当时，，且，‎ ‎∴，‎ 令，，‎ 则，‎ ‎∵，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数在上单调递增，‎ 又，‎ ‎∴当时，，‎ 即，则，‎ 又，则，‎ ‎∵，∴，即，‎ 而函数在上单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查利用导数证明不等式，考查计算能力与推理能力，考查转化与化归思想，属于难题．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.已知在平面直角坐标系内,点在曲线 (为参数, )上运动.以为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为 ‎（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;‎ ‎（2）若与相交于两点,点在曲线上移动,试求面积的最大值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)曲线的标准方程：；直线的直角坐标方程为：‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(Ⅰ)对于曲线，理平方关系消去参数即可；对于极坐标方程利用三角函数的和角公式后再化成直角坐标方程，再利用消去参数得到直线的直角坐标方程．‎ ‎(Ⅱ)欲求面积的最大值，由于一定，故只要求边上的高最大即可，根据平面几何的特征，当点在过圆心且垂直于的直线上时，距离最远，据此求面积的最大值即可．‎ 试题解析：(Ⅰ)消参数得曲线的标准方程：.由题得：，即直线的直角坐标方程为：.‎ ‎(Ⅱ)圆心到的距离为，则点到的最大距离为，，∴.‎ 考点：极坐标 ‎23.（1）已知函数，若的解集不是空集，求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由绝对值三角不等式可得，由题意有，从而求出答案；‎ ‎（2）（法一）由重要不等式可得，由此可证明，由此可证结论；‎ ‎（法二）直接利用柯西不等式证明即可．‎ ‎【详解】解：（1）由绝对值三角不等式可得，‎ ‎，‎ 当且仅当即时等号成立，‎ ‎∵的解集不是空集，‎ ‎∴，‎ ‎∴实数的取值范围是；‎ ‎（2）（法一）∵，，，‎ 当且仅当时等号成立，‎ ‎∴，即，‎ 当且仅当时等号成立，‎ ‎∴，‎ 当且仅当时等号成立，‎ 即，‎ ‎∴．‎ ‎（法二）由柯西不等式可得，‎ ‎，当且仅当时等号成立，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的应用，考查不等式的证明，本题第一问的关键在于利用绝对值的几何意义借助绝对值三角不等式进行求解，第二问方法一的关键在于利用重要不等式得到，方法二的关键在于理解并掌握柯西不等式，考查转化与化归思想，考查推理能力，属于中档题．‎