2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第一章 1 第1讲 集合及其运算
知识点
最新考纲
集 合
了解集合、元素的含义及其关系．
理解集合的表示法．
了解集合之间的包含、相等关系．
理解全集、空集、子集的含义．
会求简单集合间的并集、交集．
理解补集的含义并会求补集.
命题及其关系、充分条件与必要条件
了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系．
理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.
第1讲 集合及其运算
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
记法
子集
集合A的所有元素都是集合B的元素
x∈A⇒
x∈B
A⊆B或
B⊇A
基本关系
真子集
集合A是集合B
A⊆B，且存在x0∈B，
AB
的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A
x0∉A
或BA
相等
集合A，B的元素完全相同
A⊆B，
B⊆A
A＝B
空集
不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集
任意x，x∉∅，∅⊆A
∅
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
语言
符号
语言
A∪B＝
{x|x∈A，或x∈B}
A∩B＝
{x|x∈A，且x∈B}
∁UA＝
{x|x∈U，且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；
A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；
A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．
(4)∁U(∁UA)＝A；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；
∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )
(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )
(3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( )
(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立． ( )
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
[教材衍化]
1．(必修1P12A组T3改编)若集合P＝{x∈N|x≤}，a＝2，则( )
A．a∈P B．{a}∈P C．{a}⊆P D．a∉P
解析：选D.因为a＝2不是自然数，而集合P是不大于的自然数构成的集合，所以a∉P.故选D.
2．(必修1P11例9改编)已知U＝{α|0°<α<180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U(A∪B)＝________．
答案：{x|x是直角}
3．(必修1P44A组T5改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．
解析：集合A表示以(0，0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B表示直线y＝x，圆x2＋y2＝1与直线y＝x相交于
两点，，则A∩B中有两个元素．
答案：2
[易错纠偏]
(1)忽视集合中元素的互异性致误；
(2)忽视空集的情况致误；
(3)忽视区间端点值致误．
1．已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________．
解析：因为B⊆A，所以m＝3或m＝，即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知，m≠1，所以m＝0或3.
答案：0或3
2．已知集合M＝{x|x－2＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．
解析：易得M＝{2}．因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝.
答案：0或
3．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(∁RA)∪B＝________．
解析：由已知得A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|1＜x＜4}，
(∁RA)∪B＝{x|x≤1或x＞2}．
答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)
集合的含义
(1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．6 D．9
(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A． B．
C．0 D．0或
(3)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________．
【解析】 (1)当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2.
故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，
即集合B中有6个元素．
(2)当a＝0时，显然成立；
当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，
即a＝.
(3)因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，
所以a＋b＝0，则＝－1，
所以a＝－1，b＝1.
所以b－a＝2.
【答案】 (1)C (2)D (3)2
与集合中的元素有关问题的求解步骤
1．(2020·温州八校联考)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为( )
A．1或－1 B．1或3
C．－1或3 D．1，－1或3
解析：选B.因为5∈{1，m＋2，m2＋4}，所以m＋2＝5或m2＋4＝5，即m＝3或m
＝±1.当m＝3时，M＝{1，5，13}；当m＝1时，M＝{1，3，5}；当m＝－1时，不满足互异性．所以m的值为3或1.
2．已知集合A＝{x|x∈Z，且∈Z}，则集合A中的元素个数为________．
解析：因为∈Z，所以2－x的取值有－3，－1，1，3，又因为x∈Z，所以x的值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.
答案：4
集合的基本关系
(1)(2020·浙江省绿色联盟联考)已知A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则集合A可以为( )
A．{1，8} B．{2，3} C．{0} D．{9}
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
【解析】 (1)因为A⊆B，A⊆C，所以A⊆{B∩C}＝{1，8}，故选A.
(2)因为B⊆A，
所以①若B＝∅，则2m－1
5}，如何求解？
解：因为B⊆A，
所以①当B＝∅时，即2m－14.
综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
1．设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则( )
A．P⊆Q B．Q⊆P
C．∁RP⊆Q D．Q⊆∁RP
解析：选C.因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以∁RP＝{y|y>1}，所以∁RP⊆Q，选C.
2．(2020·绍兴调研)设A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________．
解析：由B⊆A，则x2＝4，或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2；当x2＝2x时，x＝0或x＝2.但当x＝2时，2x＝4，这与集合中元素的互异性相矛盾．故x＝－2或x＝0.
答案：－2或0
3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|01}，B＝{x|x1.
故m的值可以是2，故选D.
【答案】 (1)C (2)D
(1)集合运算的常用方法
①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．
②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
[提醒] 在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．
1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝( )
A．[2，3] B．(－2，3]
C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
解析：选B.由于Q＝{x|x≤－2或x≥2}，
∁RQ＝{x|－2＜x＜2}，
故得P∪(∁RQ)＝{x|－2＜x≤3}．故选B.
2．设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若∁S A＝{2，3}，则m＝________．
解析：因为S＝{1，2，3，4}，∁SA＝{2，3}，所以A＝{1，4}，即1，4是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.
答案：4
核心素养系列1 数学抽象——集合的新定义问题
以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，
充分体现了核心素养中的数学抽象．
对于E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{ai1，ai2，…，aik}，定义X的“特征数列”为x1，x2，…，x100，其中xi1＝xi2＝…＝xik＝1，其余项均为0.例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0.
(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于________；
(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1，1≤i≤99，E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为________．
【解析】 (1)由已知可得子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为1，0，1，0，1，0，…，0，故其前3项和为2.
(2)由已知可得子集P为{a1，a3，…，a99}，子集Q为{a1，a4，a7，…，a100}，则两个子集的公共元素为a1到a100以内项数被6除余1的数对应的项，即a1，a7，…，a97，共17项．
【答案】 (1)2 (2)17
解决集合新定义问题的方法
(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．
(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
设数集M＝{x|m≤x≤m＋}，N＝{x|n－≤x≤n}，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，则集合M∩N的长度的最小值为________．
解析：在数轴上表示出集合M与N(图略)，
可知当m＝0且n＝1或n－＝0且m＋＝1时，M∩N的“长度”最小．
当m＝0且n＝1时，M∩N＝{x|≤x≤}，
长度为－＝；
当n＝且m＝时，M∩N＝{x|≤x≤}，
长度为－＝.
综上，M∩N的长度的最小值为.
答案：
[基础题组练]
1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.因为集合A和集合B有共同元素2，4，所以A∩B＝{2，4}，所以A∩B中元素的个数为2.
2．(2020·温州十五校联合体联考)已知集合A＝，B＝，则A∪B＝( )
A．(－∞，1] B．(0，1]
C．[1，e] D．(0，e]
解析：选A.因为A＝＝，
B＝＝，
所以A∪B＝(－∞，1]，故选A.
3．(2020·宁波高考模拟)已知全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}，A∩(∁UB)＝{1，3，5}，则B＝( )
A．{2，4，6} B．{1，3，5}
C．{0，2，4，6} D．{x∈Z|0≤x≤6}
解析：选C.因为全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，A∩(∁UB)＝{1，3，5}，所以B＝{0，2，4，6}，故选C.
4．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )
A．{2} B．{1，2，4}
C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
解析：选B.因为A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，所以A∪B＝{1，2，4，6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1，2，4}．故选B.
5．(2020·宜春中学、新余一中联考)已知全集为R，集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是( )
A．{x|20}，B＝{x|x－a≤0}，若∁UB⊆A，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选D.因为x2－3x＋2>0，所以x>2或x<1.
所以A＝{x|x>2或x<1}，因为B＝{x|x≤a}，
所以∁UB＝{x|x>a}．
因为∁UB⊆A，借助数轴可知a≥2，故选D.
11．集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________．
解析：根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故只能是a＝4.
答案：4
12．(2020·宁波效实中学模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|log2(x－2)<1}，则A∪B＝________；A∩(∁UB)＝________．
解析：log2(x－2)<1⇒03}，则B＝________，A∩(∁RB)＝________．
解析：当k＝－1时，n＝－4；当k＝0时，n＝－1；当k＝1时，n＝2；当k＝2时，n＝5.由|x－1|>3，得x－1>3或x－1<－3，即x>4或x<－2，所以B＝{x|x<－2或x>4}，∁RB＝{x|－2≤x≤4}，A∩(∁RB)＝{－1，2}．
答案：{x|x<－2或x>4} {－1，2}
14．(2020·浙江省杭州二中高三年级模拟)设全集为R，集合M＝{x∈R|x2－4x＋3>0}，集合N＝{x∈R|2x>4}，则M∩N＝________；∁R(M∩N)＝________．
解析：M＝{x∈R|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，N＝{x∈R|2x>4}＝{x|x>2}，所以M∩N＝(3，＋∞)，所以∁R(M∩N)＝(－∞，3]．
答案：(3，＋∞) (－∞，3]
15．已知集合M＝{x|x2－4x<0}，N＝{x|m＜x＜5}，若M∩N＝{x|34}，
所以∁UB＝{x|x≤4}，所以A∩(∁UB)＝A，故选D.
2．集合A＝{x|y＝ln(1－x)}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，全集U＝A∪B，则∁U(A∩B)＝( )
A．{x|x＜－1或x≥1} B．{x|1≤x≤3或x＜－1}
C．{x|x≤－1或x＞1} D．{x|1＜x≤3或x≤－1}
解析：选B.集合A＝{x|y＝ln(1－x)}＝{x|1－x＞0}＝{x|x＜1}，B＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，所以U＝A∪B＝{x|x≤3}，
所以A∩B＝{x|－1≤x＜1}；
所以∁U(A∩B)＝{x|1≤x≤3或x＜－1}．
故选B.
3．(2020·浙江新高考联盟联考)已知集合A＝{1，2，}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________，∁AB＝________．
解析：由题意，当m＝2时，A＝{1，2，}，B＝{1，2}，满足B⊆A；当＝m，即m＝0或1时，若m＝0，则A＝{1，2，0}，B＝{1，0}，满足B⊆A.若m＝1，则A＝{1，3，1}，B＝{1，1}，不满足集合中元素的互异性，所以m＝1舍去．当m＝2时，∁AB＝{}；当m＝0时，∁AB＝{2}．
答案：0或2 {2}或{}
4．函数g(x)＝其中P，M为实数集R的两个非空子集，规定f(P)＝{y|y＝g(x)，x∈P}，f(M)＝{y|y＝g(x)，x∈M}．给出下列四个命题：
①若P∩M＝∅，则f(P)∩f(M)＝∅；
②若P∩M≠∅，则f(P)∩f(M)≠∅；
③若P∪M＝R，则f(P)∪f(M)＝R；
④若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R.
其中命题不正确的有________．
解析：①若P＝{1}，M＝{－1}，则f(P)＝{1}，f(M)＝{1}，则f(P)∩f(M)≠∅，故①错．
②若P＝{1，2}，M＝{1}，则f(P)＝{1，2}，f(M)＝{－1}，则f(P)∩f(M)＝∅.故②错．
③若P＝{非负实数}，M＝{负实数}，
则f(P)＝{非负实数}，f(M)＝{正实数}，
则f(P)∪f(M)≠R，故③错．
④若P＝{非负实数}，M＝{正实数}，
则f(P)＝{非负实数}，f(M)＝{负实数}，
则f(P)∪f(M)＝R，故④错．
答案：①②③④
5．设[x]表示不大于x的最大整数，集合A＝{x|x2－2[x]＝3}，B＝，求A∩B.
解：不等式<2x<8的解为－3
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