专题09+平面向量与复数（一）-2019高考数学（文）二轮复习单元过关测试

专题09+平面向量与复数（一）-2019高考数学（文）二轮复习单元过关测试

‎2019高考数学（文）二轮单元复习过关测试 单元测试09 平面向量与复数（一）‎ ‎(120分钟　150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(　　)‎ A．－3 B．－2‎ C．2 D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】　(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋‎2a)i，由题意知a－2＝1＋‎2a，解得a＝－3，故选A．‎ ‎2．若复数z＝，其中i为虚数单位，则＝(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i ‎【答案】B　‎ ‎【解析】∵z＝＝＝＝1＋i，∴＝1－i.‎ ‎3．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)‎ A． B． C．－ D．－ ‎【答案】A　‎ ‎【解析】∵＝2，即－＝2(－)，‎ ‎∴＝＋，∴λ＝.‎ ‎4．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是(　　)‎ A．E B．F C．G D．H ‎【答案】D ‎【解析】　由题图知复数z＝3＋i，‎ ‎∴＝＝＝＝2－i.‎ ‎∴表示复数的点为H.‎ ‎5．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是 (　　)‎ ‎ ‎ A．若|z1－z2|＝0，则＝ B．若z1＝，则＝z2‎ C．若|z1|＝|z2|，则z1·＝z2· D．若|z1|＝|z2|，则z＝z ‎【答案】D ‎6．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与(　　) ‎ A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 ‎【答案】A ‎【解析】由题意得＝＋＝＋，‎ ＝＋＝＋，‎ ＝＋＝＋，‎ 因此＋＋＝＋(＋－)‎ ‎＝＋＝－，‎ 故＋＋与反向平行．‎ ‎7．已知复数z1＝－＋i，z2＝－－i，则下列命题中错误的是 (　　)‎ A．z＝z2‎ B．|z1|＝|z2|‎ C．z－z＝1‎ D．z1，z2互为共轭复数 ‎【答案】C ‎8．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)‎ A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向 ‎【答案】D　‎ ‎【解析】由题意可得c与d共线，则存在实数λ，使得c＝λd，即解得k＝－1.c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d，故c与d反向．‎ ‎9．已知复数z的共轭复数为，若(1－2i)＝5－i(i为虚数单位)，则在复平面内，复数z所对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＋＝‎2a＋bi，‎ 故2a＋bi＝＝1＋i，‎ 故a＝，b＝，则在复平面内，复数z所对应的点的坐标为，位于第一象限．‎ ‎10．已知O，A，B是平面上不共线的三个点，直线AB上有一点C满足2＋＝0，则＝(　　)‎ A．2－ B．－＋2 C．－ D．－＋ ‎【答案】A ‎【解析】　由2＋＝0得＋＝0，即＝－，则＝＋＝－＝－(－)＝2－.‎ ‎11．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(‎2a＋b)，则a与b的夹角为(　　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎【答案】C ‎【解析】　∵a⊥(‎2a＋b)，∴a·(‎2a＋b)＝0，‎ ‎∴2|a|2＋a·b＝0，‎ 即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.‎ ‎∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝.‎ ‎12．向量a，b满足|a＋b|＝2|a|，且(a－b)·a＝0，则a，b的夹角的余弦值为(　　)‎ A． 0 B． C． D． ‎【答案】B ‎【解析】　(a－b)·a＝0⇒a2＝b·a，|a＋b|＝2|a|⇒a2＋b2＋‎2a·b＝‎12a2⇒b2＝‎9a2，所以cos〈a，b〉＝＝＝.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．‎ ‎【答案】22　‎ ‎【解析】由题意知：＝＋＝＋，‎ ＝＋＝＋＝－，‎ 所以·＝·＝2－·－2，即2＝25－·AB－×64，解得·＝22. 格中的位置如图424所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.‎ ‎【答案】4　‎ ‎【解析】以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，‎ 则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，‎ ‎∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．‎ ‎∵c＝λa＋μb，‎ ‎∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，‎ 即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，‎ 解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4.‎ ‎16．已知复数z1＝cos 15°＋sin 15°i和复数z2＝cos 45°＋sin 45°i，则z1·z2＝________. ‎ ‎【答案】＋i ‎【解析】　z1·z2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i＝＋i.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(10分) 已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果‎3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由. ‎ ‎【答案】存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．‎ ‎【解析】　由题设知，＝d－c＝2b－‎3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，‎ 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.‎ 因为a，b不共线，所以有 解之得t＝.故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．‎ ‎18．(12分) 已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.‎ ‎(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；‎ ‎(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线. ‎ ‎【答案】（1）t2<0且t1＋2t2≠0； ‎ ‎（2）见解析 ‎19．(12分) 已知两定点M(4,0)，N(1,0)，动点P满足||＝2||.‎ ‎ (1)求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎ (2)若点G(a,0)是轨迹C内部一点，过点G的直线l交轨迹C于A，B两点，令f(a)＝‎ ·，求f(a)的取值范围. ‎ ‎【答案】（1）x2＋y2＝4；‎ ‎ （2）f(a)的取值范围是[－4,0).‎ ‎【解析】(1)设P的坐标为(x，y)，则＝(4－x，－y)，＝(1－x，－y)．‎ ‎ ∵动点P满足||＝2||，∴＝2，‎ ‎ 整理得x2＋y2＝4. 4分 ‎ (2)(a)当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝a，不妨设A在B的上方，直线方程与x2＋y2＝4联立，可得A(a，)，B(a，－)，∴f(a)＝·＝(0，)·(0，－)＝a2－4； 6分 ‎ (b)当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y＝k(x－a)，‎ ‎ 代入x2＋y2＝4，整理可得(1＋k2)x2－2ak2x＋(k‎2a2－4)＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ ‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ‎ ∴f(a)＝·＝(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋k2(x1－a)(x2－a)＝a2－4.‎ ‎ 由(a)(b)得f(a)＝a2－4. 10分 ‎ ∵点G(a,0)是轨迹C内部一点，‎ ‎ ∴－20，‎ 所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝. 5分 ‎(2)因为|－|＝，所以||＝， 7分 即b＝，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，‎ 即ac≤3(2＋)， 9分 故△ABC的面积S＝acsin B≤，‎ 即△ABC的面积的最大值为. 12分 ‎