2017届高考文科数学（全国通用）二轮适考素能特训：专题2-3-1三角函数的图象与性质

2017届高考文科数学（全国通用）二轮适考素能特训：专题2-3-1三角函数的图象与性质

一、选择题 ‎1．[2016·贵阳监测]下列函数中，以为最小正周期的奇函数是(　　)‎ A．y＝sin2x＋cos2x B．y＝sin C．y＝sin2xcos2x D．y＝sin22x－cos22x 答案　C 解析　A中，y＝sin2x＋cos2x＝sin，为非奇非偶函数，故A错；B中，y＝sin＝cos4x，为偶函数，故B错；C中，y＝sin2xcos2x＝sin4x，最小正周期为且为奇函数，故C正确；D中，y＝sin22x－cos22x＝－cos4x ，为偶函数，故D错，选C.‎ ‎2．[2016·唐山统考]将函数y＝cos2x－sin2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为g(x)，则g(x)＝(　　)‎ A．2sin2x B．－2sin2x C．2cos D．2sin 答案　A 解析　因为y＝cos2x－sin2x＝2sin＝－2sin，将其图象向右平移个单位长度得到g(x)＝－2sin＝－2sin(2x－π)＝2sin2x的图象，所以选A.‎ ‎3．[2016·武昌调研]已知函数f(x)＝2sin－1(ω ‎＞0)的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是(　　)‎ A．3 B. C. D. 答案　A 解析　将f(x)的图象向右平移个单位后得到图象的函数解析式为2sin－1＝2sin－1，所以＝2kπ，k∈Z，所以ω＝3k，k∈Z，因为ω＞0，k∈Z，所以ω的最小值为3，故选A.‎ ‎4．[2016·沈阳质检]某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是(　　)‎ A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝－cos 答案　C 解析　不妨令该函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)，由图知A＝1，＝－＝，于是＝，即ω＝，是函数的图象递减时经过的零点，于是 ×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，所以φ可以是，选C.‎ ‎5．[2016·广州模拟]已知sinφ＝，且φ∈，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f的值为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 答案　B 解析　由函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，得到其最小正周期为π，所以ω＝2，f＝sin＝cosφ＝－＝－.‎ ‎6．[2016·重庆测试]设x0为函数f(x)＝sinπx的零点，且满足|x0|＋f＜33，则这样的零点有(　　)‎ A．61个 B．63个 C．65个 D．67个 答案　C 解析　依题意，由f(x0)＝sinπx0＝0得，πx0＝kπ，k∈Z，x0＝k，k∈Z.当k是奇数时，f＝sin＝sin＝－1，|x0|＋f＝|k|－1＜33，|k|＜34，满足这样条件的奇数k共有34个；当k是偶数时，f＝sin＝sin＝1，|x0|＋f＝|k|＋1＜33，|k|＜32，满足这样条件的偶数k共有31个．综上所述，满足题意的零点共有34＋31＝65个，选C.‎ 二、填空题 ‎7．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.‎ 答案　 解析　由图可知，＝－＝，则T＝π，ω＝2，又∵＝，∴f(x)的图象过点，‎ 即sin＝1，得φ＝，∴f(x)＝sin.‎ 而x1＋x2＝－＋＝，∴f(x1＋x2)＝f＝sin＝sin＝.‎ ‎8．[2016·贵阳监测]为得到函数y＝sin的图象，可将函数y＝sinx的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度(m，n均为正数)，则|m－n|的最小值是________．‎ 答案　 解析　由题意可知，m＝＋2k1π，k1为非负整数，n＝－＋2k ‎2π，k2为正整数，∴|m－n|＝，∴当k1＝k2时，|m－n|min＝.‎ ‎9．[2014·湖南岳阳质检]已知函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位后与函数g(x)＝sin的图象重合，则正数ω的最小值为________．‎ 答案　 解析　将f(x)＝sin的图象向左平移个单位后，得到函数f1(x)＝sin的图象．又f1(x)＝sin的图象与g(x)＝sin的图象重合，故ωx＋ω＋＝2kπ＋ωx＋，k∈Z.所以ω＝12k－(k∈Z)．又ω＞0，故当k＝1时，ω取得最小值，为12－＝.‎ 三、解答题 ‎10．[2014·山东高考]已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点和点.‎ ‎(1)求m，n的值；‎ ‎(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．‎ 解　(1)由题意知f(x)＝a·b＝msin2x＋ncos2x.‎ 因为y＝f(x)的图象过点和，‎ 所以 即解得 ‎(2)由(1)知 f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin.‎ 由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin.‎ 设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)，‎ 由题意知x＋1＝1，所以x0＝0，‎ 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．‎ 将其代入y＝g(x)得sin＝1，‎ 因为0＜φ＜π，所以φ＝，‎ 因此g(x)＝2sin＝2cos2x.‎ 由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，‎ 所以函数y＝g(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎11．[2016·天津五区县调考]已知函数f(x)＝sinxcosx－cos2x＋(x∈R)．‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)函数f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到g(x)的图象，求函数y＝g(x)在x∈[0，π]上的最大值及最小值．‎ 解　(1)f(x)＝sinxcosx－cos2x＋＝sin2x－cos2x＝sin 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)函数f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移个单位，得g(x)＝sin，‎ 因为x∈[0，π]得：x－∈，‎ 所以sin∈ 所以当x＝0时，g(x)＝sin有最小值－，‎ 当x＝时，g(x)＝sin有最大值1.‎ ‎12．[2016·福建质检]已知函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x.‎ ‎(1)若tanθ＝2，求f(θ)的值；‎ ‎(2)若函数y＝g(x)的图象是由函数y＝f(x)的图象上所有的点向右平移个单位长度而得到，且g(x)在区间(0，m)内是单调函数，求实数m的最大值．‎ 解　(1)因为tanθ＝2，‎ 所以f(θ)＝sinθcosθ＋cos2θ＝sinθcosθ＋(2cos2θ－1)＝sinθcosθ＋cos2θ－＝－＝－＝.‎ ‎(2)由已知得f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin2x＋.‎ 依题意，得g(x)＝sin，‎ 即g(x)＝sin.‎ 因为x∈(0，m)，所以2x－∈.‎ 又因为g(x)在区间(0，m)内是单调函数，所以2m－≤，即m≤，故实数m的最大值为.‎