【数学】2019届一轮复习人教A版合情推理与演绎推理教案

【数学】2019届一轮复习人教A版合情推理与演绎推理教案

合情推理与演绎推理 ‎[必备知识]‎ 考点1　合情推理 考点2　演绎推理 ‎1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．‎ ‎2．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．‎ ‎3．模式：“三段论”是演绎推理的一般模式：‎ ‎[必会结论]‎ ‎1．合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．‎ ‎2．合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．‎ ‎[双基夯实]‎ 一、疑难辨析 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎1．归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　　)‎ ‎2．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　　)‎ ‎3．在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(　　)‎ ‎4．“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(　　)‎ 答案　1.×　2.×　3.×　4.√‎ 二、小题快练 ‎1．[2017·滁州模拟]若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在(　　)‎ A．大前提 B．小前提 C．推理过程 D．没有出错 答案　A 解析　要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和推理形式是否都正确，只有这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．本题中大前提：任何实数的平方都大于0，是不正确的．‎ ‎2．[2017·陕西模拟]观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*,1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝______.‎ 答案　n2‎ 解析　∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，∴归纳可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.‎ ‎3．[课本改编]在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．‎ 答案　1∶8‎ 解析　因为两个正三角形是相似的三角形，所以它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方．所以它们的体积比为1∶8.‎ ‎4．[2017·东北三省模拟]在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是________．‎ 答案　丙 解析　分析题意只有一人说假话可知，甲与丙必定说的都是真话，故说假话的只有乙，即乙没有得优秀，甲也没有得优秀，得优秀的是丙．‎ 命题角度1　数字的归纳 例1　[2015·湖北高考]设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n同时成立，则正整数n的最大值是(　　)‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ ‎[解析]　由[t]＝1，得1≤t＜2；由[t2]＝2，得2≤t2＜3；[t4]＝4，得4≤t4＜5，所以2≤t2＜.由[t3]＝3，得3≤t3＜4，所以6≤t5＜4.由[t5]＝5，得5≤t5＜6，与6≤t5＜4矛盾，故正整数n的最大值是4.‎ ‎[答案]　B 命题角度2　式子的归纳 例2　[2016·山东高考]观察下列等式：‎ －2＋－2＝×1×2；‎ －2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2‎ ‎＝×3×4；‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2‎ ‎＝×4×5；‎ ‎…‎ 照此规律，‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.‎ ‎[解析]　观察前4个等式，由归纳推理可知 －2＋－2＋…＋－2‎ ‎＝×n×(n＋1)＝.‎ ‎[答案]　 命题角度3　图形的归纳 例3　如图，在平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)处：点(1,0)处标b1，点(1，－1)处标b2，点(0，－1)处标b3，点(－1，－1)处标b4，点(－1,0)处标b5，点(－1,1)处标b6，点(0,1)处标b7，…，以此类推，则b963处的格点的坐标为________．‎ ‎[解析]　观察已知点(1,0)处标b1，即b1×1，点(2,1)处标b9，即b3×3，点(3,2)处标b25，即b5×5，…，由此推断点(n，n－1)处标b(2n－1)×(2n－1)，因为961＝31×31时，n＝16，故b961处的格点的坐标为(16,15)，从而b963处的格点的坐标为(16,13)．‎ ‎[答案]　(16,13)‎ 触类旁通 归纳推理问题的常见类型及解题策略 ‎(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．‎ ‎(2)与式子有关的归纳推理 ‎①与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．‎ ‎②与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．‎ ‎(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．‎ 考向　类比推理 例4　若等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{}的公比为(　　)‎ A. B．q‎2 C. D. ‎[解析]　‎ ‎[答案]　C 触类旁通 类比推理的分类 类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法．‎ ‎(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；‎ ‎(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；‎ ‎(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．‎ ‎【变式训练1】　在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如下图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)如图1,17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如下图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C＋C＝C，其中n是行数，r∈N.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________．‎ ‎1　1‎ ‎1　2　1‎ ‎1　3　3　1‎ ‎1　4　6　4　1‎ ‎1　5　10　10　5　1‎ ‎…‎ C　C　…　C　…　C　C 图1‎ 　 　　 　　　 　　　　 　　　　　 ‎…‎ 　 … … 　 图2‎ 答案　＝＋ 解析　类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子C＋C＝C，有＝＋.‎ 考向　演绎推理 例5　[2017·山东调研]数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N＋)．证明：‎ ‎(1)数列是等比数列；‎ ‎(2)Sn＋1＝4an.‎ ‎[证明]　(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，‎ ‎∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn，‎ ‎∴＝2·，(小前提)‎ 故是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)‎ ‎(大前提是等比数列的定义，这里省略了)‎ ‎(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，‎ ‎∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1‎ ‎＝4an(n≥2)，(小前提)‎ 又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝‎4a1，(小前提)‎ ‎∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)‎ ‎(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)‎ 触类旁通 演绎推理的结构特点 ‎(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．‎ ‎(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．‎ ‎【变式训练2】　已知函数f(x)＝＋bx，其中a>0，b>0，x∈(0，＋∞)，试确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．‎ 解　解法一：设00,0b，‎ ‎∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．‎ ‎∴f(x)在上是减函数；‎ 当x2>x1≥时，x2－x1>0，x1x2>，0，b>0，x∈(0，＋∞)，‎ ‎∴令f′(x)＝－＋b＝0，得x＝，‎ 当0

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