2017-2018学年陕西省黄陵中学高二（重点班）下学期开学考试数学理试题（解析版）

2017-2018学年陕西省黄陵中学高二（重点班）下学期开学考试数学理试题（解析版）

‎2017-2018学年陕西省黄陵中学高二（重点班）下学期开学考试数学理试题（解析版）‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。) ‎ ‎1. 在数列1，2，，，，…中，是这个数列的第（ ）‎ A. 16项 B. 24项 C. 26项 D. 28项 ‎【答案】C ‎【解析】 数列可化为 ，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 所以，解得，所以是这个数列的第项，故选C．‎ ‎2. 在中，若，则的形状一定是（）‎ A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 ‎【答案】B ‎【解析】∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴的形状一定是等腰三角形 故选B.‎ ‎3. 直线过点且与抛物线只有一个公共点，这样的直线共有（ ）‎ A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知点在抛物线上，所以过点的直线斜率存在，设直线的方程为.‎ 联立，整理可得.‎ ‎①当时，可得，，符合题意；‎ ‎②当时，，即，则.‎ 综上，满足条件的直线有2条.‎ 故选C.‎ 点睛：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，本题解答的关键是将直线与抛物线的交点转化为方程只有一个解，解题时容易漏掉对斜率不存在及整理以后的方程的二次项系数为0的讨论．‎ ‎4. 下图是抛物线形拱桥，当水面在位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽( )米 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图建立直角坐标系：‎ 设抛物线方程为，将代入，得.‎ ‎∴‎ 设，代入，得.‎ ‎∴水面宽为米 故选B.‎ ‎5. 已知枚的一元硬币中混有枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】记“其中一枚为五角硬币”为事件，“两枚都是五角硬币”为事件，则，，所以“已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币”的概率为；故选D.‎ ‎6. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落过程中，将 次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为、，则小球落入袋中的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为小球每次遇到障碍物时有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A袋，所以；故选D.‎ ‎7. 已知变量，满足约束条件，若目标函数的最小值为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据不等式画出可行域，得到三条直线交于三点，‎ 目标函数化简可得 ，根据图像得到当目标函数过点B时，有最小值2，此时 ‎ 故答案为C。‎ 点睛：这个题目考查的是线规问题，目标函数是线性的，截距式。常见的目标函数有截距式，斜率式，距离式，面积式，点线距式，解决的方法就是通过变形，发现目标函数是哪一类型，对应求最值即可。注意可行域中直线是实线还是虚线，关系到最值能否取到。‎ ‎8. 设为坐标原点，动点在圆:上，过作轴的垂线，垂足为，点满足，则点的轨迹方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，因为轴，且，所以，又动点在圆上，所以，化简，得，即点的轨迹方程为；故选B.‎ ‎9. 若，为互斥事件，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为A,B互斥，但A,B不一定对立，所以 ‎10. 如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：‎ ‎①-2是函数的极值点；‎ ‎②1是函数的极值点；‎ ‎③的图象在处切线的斜率小于零；‎ ‎④函数在区间上单调递增.‎ 则正确命题的序号是（ ）‎ A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④‎ ‎【答案】D 点睛：根据导函数和原函数的关系很容易分析单调性，然后要注意对极值点的理解，极值点除了是导函数得解还一定要保证在导函数值在此点两侧异号 ‎11. 已知点为双曲线的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，若（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由有 ，又 ，所以为直角三角形，且，由勾股定理求出，根据双曲线的定义有，即，所以双曲线的离心率，选B.‎ 点睛：本题主要考查双曲线的几何性质，有双曲线的定义，离心率的求法等，属于基础题。向量数量积的应用是解答本题的关键。‎ ‎12. 设奇函数在上存在导函数，且在上，若 ，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由 得：，构造函数，故g（x）在单调递减，由函数为奇函数可得g(x)为奇函数，故g(x)在R上单调递减，故选D 点睛：本题解题关键为函数的构造，由要想到此条件给我们的作用，通常情况下是提示我们需要构造函数得到新函数的单调性，从而得不等式求解 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸的横线上）‎ ‎13. 的展开式中的系数为70，则=________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】若的展开式的通项为，令得，故展开式中项的系数为，解得，故答案为.‎ ‎14. 在区间上随机取一个数x，的值介于的概率为_________．‎ ‎【答案】‎ 考点：几何概型概率 ‎15. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则P(X≤1)等于_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：‎ 考点：1、离散型随机变量的分布列．‎ ‎16. 已知，则=______．‎ ‎【答案】180‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为.‎ 点睛：二项式通项与展开式的应用：‎ ‎（1）通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数；‎ ‎（2）展开式的应用：①可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法；②可证明整除问题（或求余数），关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断；③有关组合式的求值证明，常采用构造法.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分。请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）‎ ‎17. 已知命题表示焦点在轴上的椭圆；命题双曲线的离心率.若命题为真命题，为假命题，求的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：若真，则，解得的范围，若真，则，且，解得的范围，由为真命题，为假命题，可得，中有且只有一个为真命题，即必一真一假，即可求得的范围.‎ 试题解析：若真，则，解得：.‎ 若真，则，且，解得：.‎ ‎∵为真命题，为假命题 ‎∴ ，中有且只有一个为真命题，即必一真一假 ‎ ① 若真假，则 即；‎ ‎② 若假真，则 即.‎ ‎∴实数的取值范围为：‎ 点睛：根据命题的真假求参数的取值范围的方法：‎ ‎（1）求出当命题，为真命题时所含参数的取值范围；‎ ‎（2）判断命题，的真假性；‎ ‎（3）根据命题的真假情况，利用集合交集和补集的运算，求解参数的取值范围.‎ ‎18. 在中，内角的对边分别为,已知.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎（2）若为钝角，，求的取值范围。‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得，即可求得的值；（2）由（1）可得，根据为钝角，及两边之和大于第三边，即可求得的取值范围.‎ 试题解析：（1）由正弦定理：设，则，即.‎ ‎∴，即.‎ 又∵‎ ‎∴，即 ‎（2）由（1）及正弦定理知，即.‎ 由题意：解之得：.‎ ‎∴的取值范围是 ‎19. 如图,已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点,过作准线的垂线,垂足为为原点.‎ ‎(1)求证: 三点共线；‎ ‎(2)求的大小.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）设直线代入抛物线方程消元后，根据一元二次方程根与系数的关系及斜率公式可得，所以可得三点共线。（2）通过可得。‎ 试题解析：‎ ‎（1）设直线 ‎ 由消去y整理得 ‎ 设 则 因为 ‎ 所以，‎ 所以，‎ 又线段有公共点， ‎ 所以三点共线. ‎ ‎（2）因为 所以，‎ 所以，‎ 所以 ‎20. 如图，在四棱锥中，，，，平面底面，.和分别是和的中点，求证：‎ ‎（1）底面；‎ ‎（2）平面；‎ ‎（3）平面平面.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）因为平面底面，且垂直于这两个平面的交线，‎ 所以底面.‎ ‎（Ⅱ）因为，，是的中点，‎ 所以，且.‎ 所以为平行四边形.‎ 所以，.‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅲ）因为，并且为平行四边形，‎ 所以,.‎ 由（Ⅰ）知底面，‎ 所以，‎ 所以平面.‎ 所以.‎ 因为和分别是和的中点，‎ 所以.‎ 所以.‎ 所以平面.‎ 所以平面平面.‎ ‎【考点定位】本题考查了直线和平面平行、垂直的判定定理，平面与平面垂直的判定定理和性质定理，考查推理论证能力.‎