【数学】2019届一轮复习人教A版函数与导数学案

【数学】2019届一轮复习人教A版函数与导数学案

‎2.函数与导数 ‎■要点重温…………………………………………………………………………·‎ ‎1．几种常规函数：‎ ‎(1)一次函数：f(x)＝ax＋b(a≠0)．当b＝0时，f(x)为奇函数．‎ ‎[应用1]　若一次函数y＝f(x)在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为1，则f(x)的解析式为________．‎ ‎[答案]　f(x)＝x＋，或f(x)＝－x＋. ‎ ‎(2)二次函数： ‎ ‎①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；‎ ‎②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；‎ ‎③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)；‎ ‎④区间最值：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．‎ ‎[应用2]　若函数y＝x2－2x＋4的定义域、值域都是[2,2b]，则b＝________. ‎ ‎【导 号：07804160】‎ ‎[答案]　2‎ ‎[应用3]　设函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋1在区间(－∞，4)上是减函数，则a的取值范围是________．‎ ‎[答案]　a≤－3‎ ‎(3)三次函数的解析式的两种形式：‎ ‎①一般式：f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)；‎ ‎②零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(x－x3)(a≠0)．‎ ‎[应用4]　已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图2，则b的取值范围是________．‎ 图2‎ ‎[答案]　b＜0‎ ‎[应用5]　若函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则a的取值范围为________．‎ ‎[答案]　a>2或a<－1‎ ‎(4)反比例函数：y＝(x≠0)平移⇒y＝a＋(x≠0)(中心为(b，a))．‎ ‎(5)分段函数：分段处理，有时结合函数图象 研究问题．‎ ‎[应用6]　已知实数a≠0，函数f(x)＝，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a＝________.‎ ‎[解析]　当a＜0时，‎ ‎－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，a＝－；‎ 当a＞0时，‎ ‎－(1＋a)－2a＝2(1－a)＋a，a＝－(舍)；‎ 综上可知a＝－.‎ ‎[答案]　－ ‎[应用7]　设函数f(x)＝ 若f(x0)>1，则x0的取值范围是________. ‎ ‎【导 号：07804161】‎ ‎[答案]　(－∞，－1)∪(3，＋∞)‎ ‎[应用8]　已知f(x)＝ 是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围是_______．‎ ‎[答案]　 ‎(6)指数函数、对数函数 ‎①指数与对数的关系：‎ ab＝N⇔logaN＝b(a>0，a≠1，N>0) ，换底公式logab＝；‎ ‎②对数的运算法则：logaM＋logaN＝logaMN；logaM－logaN＝loga；‎ ‎③‎ 解对数函数问题时，注意到真数与底数的限制条件(真数大于0，底数大于0且不等于1)；‎ ‎④字母底数范围不明确时需分类讨论．‎ ‎[应用9]　2log32－log3＋log38－5log53＝________.‎ ‎[答案]　－1‎ ‎[应用10]　已知函数f(x) ＝loga(x＋1)的定义域和值域都是[0,1]，则实数a的值是________．‎ ‎[答案]　2‎ ‎[应用11]　设a＞0，a≠1，函数f(x)＝ax2＋x＋1有最大值，则不等式loga(x－1)＞0的解集为________．‎ ‎[解析]　因为x2＋x＋1有最小值，函数f(x)＝ax2＋x＋1有最大值，所以0＜a＜1，所以loga(x－1)＞0＝loga1⇔0＜x－1＜1，解得1＜x＜2.‎ ‎[答案]　(1,2)‎ ‎(7)对勾函数： f(x)＝x＋ ‎①函数f(x)是奇函数；‎ ‎②单调性： a＜0时，区间(－∞，0)，(0，＋∞)上为增函数； a＞0时，在(0，]，[－，0)递减，在(－∞，－]，[，＋∞)递增；‎ ‎③在[c，d]上的最值：当等号能取到时，利用基本不等式求解；当等号不能取到时，利用单调性．‎ ‎[应用12]　已知a＞0，求函数y＝的最小值．‎ ‎[答案]　0＜a≤1时，ymin＝2；a＞1时，ymin＝ ‎2．函数图象的几种常见变换 ‎(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”．‎ ‎(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)．‎ ‎(3)对称变换：‎ ‎①函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；‎ ‎②函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0 (y轴)对称；函数y＝f(x ‎)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称．‎ ‎[应用13]　已知函数f(x)＝e|ln x|－，则函数y＝f(x＋1)的大致图象为(　　)‎ ‎[解析]　∵f(x)＝e|ln x|－＝ 又y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)向左平移1个单位得到，‎ 所以结合选项可知A正确．‎ ‎[答案]　A ‎3．函数的常用性质 ‎ 研究函数的性质时，树立定义域优先的原则．‎ ‎(1)函数的单调性与最值 ‎①判断函数单调性的常用方法：定义法、图象法、导数法、复合函数法；‎ ‎②求函数最值(值域) 的常用方法：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、有界函数法．‎ ‎[应用14]　已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的范围为________．‎ ‎[答案]　(1,2)‎ ‎[应用15]　函数f(x)＝ex－x＋1(e为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是________．‎ ‎[答案]　e ‎(2)函数的对称性 ‎①轴对称：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则图象关于x＝ 对称.‎ ‎ 特别地，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．‎ ‎②中心对称：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，则图象关于(a,0)成中心对称. 特别地，若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)．‎ ‎[应用16]f(x)＝(1＋x) 是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)．‎ ‎[答案]　非奇非偶 ‎[应用17]　函数f(x)＝的图象与函数g(x)＝2sinx(0≤x≤4)的图象的所有交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则f(y1＋y2＋…＋yn)＋g(x1＋x2＋…＋xn)＝________. ‎ ‎【导 号：07804162】‎ ‎[解析]　如图，画出函数f(x)和g(x)的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y1＋y2＋y3＋y4＝0，x1＋x2＋x3＋x4＝8，所以f(y1＋y2＋y3＋y4)＋g(x1＋x2＋x3＋x4)＝f(0)＋g(8)＝＋0＝.‎ ‎[答案]　 ‎(3)函数的周期性 ‎①f(x)＝f(x＋a)(a>0)，则f(x)的周期T＝a；‎ ‎②f(x＋a)＝(f(x)≠0)或f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2a；‎ ‎③f(a＋x)＝f(x＋b)，则周期T＝|a－b|.‎ ‎[应用18]　设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2,1)时，f(x)＝则f ＝________.‎ ‎[答案]　－1‎ ‎(4)函数的零点 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，求f(x)＝g(x)根的个数时，可在同一坐标系中作出函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象，看它们交点的个数；求方程根(函数零点)的范围，可利用图象观察或零点存在性定理．‎ ‎[应用19]　定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)＋1，且x∈[0,1]时，f(x)＝4x，x∈(1,2)时，f(x)＝，令g(x)＝2f(x)－x－4，x∈[－6,2]，则函数g(x)的零点个数为(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ ‎[解析]　∵x∈[0,1]时，f(x)＝4x，∴f(1)＝4，‎ ‎∴x∈(1,2)时，f(x)＝＝，‎ ‎∵g(x)＝2f(x)－x－4，x∈[－6,2]，‎ 令g(x)＝2f(x)－x－4＝0，即f(x)＝x＋2.‎ ‎∵函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)＋1，即自变量x每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移1个单位，分别画出函数y＝f(x)在x∈[－6,2]，y＝x＋2的图象，∴y＝f(x)在x∈[－6,2]，y＝x＋2有8个交点，故函数g(x)的零点个数为8个．‎ 故选C.‎ ‎[答案]　C ‎[应用20]　已知定义在R上的函数f(x)满足：(1)f(x)＋f(2－x)＝0，(2)f(x－2)＝f(－x)，(3)在[－1,1]上表达式为f(x)＝，则函数f(x)与函数g(x)＝的图象在区间[－3,3]上的交点个数为(　　)‎ A．5 B．6‎ C．7 D．8‎ ‎[解析]　由(1)f(x)＋f(2－x)＝0可得f(x)关于(1,0)对称，(2)f(x－2)＝f(－x)可得f(x)关于直线x＝－1对称，作出示意图， 知函数f(x)与函数g(x)有6个交点．‎ ‎]‎ ‎[答案]　B ‎4．导数在研究函数性质中的应用 ‎(1)导数几何意义：k＝f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．注意过某点的切线(即使点在曲线上)不一定只有一条．‎ ‎[应用21]　过曲线y＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程为________．‎ ‎[解析]　设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y′|x＝x0 ＝3x－2.‎ ‎∴切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)．‎ 又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)，‎ 整理，得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，‎ 解得x0＝1，或x0＝－.‎ 故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)，或y－(－＋1)＝(－2)(x＋)，‎ 即x－y－2＝0，或5x＋4y－1＝0.‎ ‎[答案]　x－y－2＝0 或5x＋4y－1＝0‎ ‎(2)求函数单调性的步骤：‎ 明确函数y＝f(x)的定义域⇒求导数⇒解不等式f′(x)>0得增区间(解不等式f′(x)<0得减区间)．‎ ‎[应用22]　函数f(x)＝(x>0且x≠1)在________上是减函数，在________上是增函数. ‎ ‎【导 号：07804163】‎ ‎[答案]　　 ‎[应用23]　已知函数f(x)＝x2＋2ax－ln x，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．‎ ‎[解析]　由题意知f′(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，即2a≥－x＋在上恒成立，因为max＝，‎ 所以2a≥，‎ 即a≥.‎ ‎[答案]　 ‎(3)求函数极值、最值的步骤：‎ ‎①求导；②变形；③求解；④列表；⑤作答．‎ 特别提醒：‎ ‎①导数为零的点并不一定是极值点， f′(x0)＝0是x0为极值点的必要不充分条件；‎ ‎②给出函数极大(小)值的条件，既要考虑f′(x0)＝0，又要考虑检验“左正右负”(或“左负右正”)．‎ ‎[应用24]　函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极小值10，则a＋b的值为________．‎ ‎[解析]　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1时，函数取得极值10，得 联立①②得或 当a＝4，b＝－11时， f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)在x＝1两侧的符号相反，符合题意．‎ 当a＝－3，b＝3时， f′(x)＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同，所以a＝－3，b＝3不符合题意，舍去．‎ 综上可知a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7.‎ ‎[答案]　－7‎ ‎(4)利用导数解决不等式问题的思想 ‎①证明不等式f(x)x2，则不等式(x－2 017)2f(x－2 017)－4f(2)>0的解集为(　　)‎ A．(2 014，＋∞) B．(0,2 014)‎ C．(0,2 019) D．(2 019，＋∞)‎ ‎[解析]　由2f(x)＋xf′(x)>x2且x>0，‎ 得2xf(x)＋x2f′(x)>x3>0.‎ 令g(x)＝x2f(x)(x>0)，则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为g(2)＝4f(2)，g(x－2 017)＝(x－2 017)2f(x－2 017)，所以不等式(x－2 017)2f(x－2 017)－4f(2)>0等价于g(x－2 017)>g(2)，所以x－2 017>2，解得x>2 019，故选D.]‎ ‎[答案]　D ‎■查缺补漏…………………………………………………………………………·‎ ‎1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是(　　) ‎ ‎【导 号：07804164】‎ A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝2x＋2－x D．f(x)＝－cos x B　[对于A，偶函数与单调递减均不满足；对于B，符合题意；对于C，不满足单调递减；对于D，不满足单调递减，故选B.]‎ ‎2．已知f(x)＝则f的值是(　　)‎ A．－1 B．1‎ C． D．－ C　[∵<1，∴f ＝f(2)，‎ 又2－<1，‎ ‎∴f＝f(2)‎ ‎＝f(2)＝log22＝.]‎ ‎3．由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的平面图形的面积为(　　)‎ A. B．2－ln 3‎ C．4＋ln 3 D．4－ln 3‎ D　[由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的平面图形如下图中的阴影部分所示：‎ 其中A，B(1,1)，C(3,3)，所以阴影部分的面积S＝dy＝＝4－ln 3，故选D.]‎ ‎4．函数y＝的图象大致为(　　)‎ A　　　　　B　　　　　C　　　　　　D D　[y＝f(x)＝＝，f(－x)＝＝＝－f(x)是奇函数，排除A，又在区间上，f(x)>0，排除B，当x→＋∞时，f(x)→0，排除C，故选D.]‎ ‎5．当0，解得1时，y＝logax是增函数，在00，则关于x的函数g(x)＝f(x)＋的零点个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．0 D．0或2‎ C　[因为函数g(x)＝f(x)＋，可得x≠0，‎ 所以g(x)的零点跟xg(x)的非零零点是完全一样的，‎ 故我们考虑xg(x)＝xf(x)＋1的零点，‎ 由于当x≠0时，f′(x)＋>0，‎ ‎①当x>0时，(xg(x))′＝(xf(x))′＝xf′(x)＋f(x)＝x>0，∴在(0，＋∞)上，函数xg(x)单调递增．又f(x)在R上可导，∴当x∈(0，＋∞)时，函数xg(x)＝xf(x)＋1>1恒成立，‎ 因此，在(0，＋∞)上，函数xg(x)＝xf(x)＋1没有零点．‎ ‎②当x<0时，因为(xg(x))′＝(xf(x))′＝xf′(x)＋f(x)＝x<0，故函数xg(x)在(－∞，0)上是递减函数，函数xg(x)＝xf(x)＋1>1恒成立，故函数xg(x)在(－∞，0)上无零点．‎ 综上得，函数g(x)＝f(x)＋在R上的零点个数为0.]‎ ‎9．若函数f(x)＝ln(x2＋ax＋1)是偶函数，则实数a的值为________. ‎ ‎【导 号：07804166】‎ ‎0　[由题意知，f(x)＝ln(x2＋ax＋1)为偶函数，‎ 即ln(x2－ax＋1)＝ln(x2＋ax＋1)，即x2－ax＋1＝x2＋ax＋1，显然a＝0.]‎ ‎10．若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.‎ ‎3　[因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，‎ 所以f(x)＝f(4＋x)，‎ 则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.]‎ ‎11．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是________．‎ ‎(－2,2)　[因为f(x)是偶函数，‎ 所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．‎ 因为f(x)<0，f(2)＝0.所以f(|x|)0)．‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间和极值；‎ ‎(2)证明：当a∈时，函数f(x)没有零点(提示：ln 2≈0.69)‎ ‎[解]　(1)因为f(x)＝＋－ln x＝，‎ 所以f′(x)＝. ‎ 因为x>0，所以当x∈(0，a2)时，f′(x)<0，当x∈(a2，＋∞)时，f′(x)>0.‎ 所以，函数f(x)的单调递增区间为(a2，＋∞)，单调递减区间为(0，a2). ‎ 当x＝a2时，f(x)取得极小值f(a2)＝[a2＋1－(a2－1)ln a2]．‎ ‎(2)证明：由(1)可知：当x＝a2时，f(x)取得极小值，亦即最小值．‎ f(a2)＝[a2＋1－(a2－1)lna2]，‎ 又因为≤a≤2，‎ 所以≤a2≤4.‎ 设g(x)＝x＋1－(x－1)ln x，则g′(x)＝－ln x，因为g′(x)在上单调递减，且g′(1)>0，g′(2)<0，‎ 所以g′(x)有唯一的零点m∈(1,2)，使得g(x)在上单调递增，在(m,4]上单调递减， ‎ 又由于g＝>0，g(4)＝5－6ln 2>0, ‎ 所以g(x)>0恒成立．从而f(a2)＝[a2＋1－(a2－1)lna2]>0恒成立，‎ 则f(x)>0恒成立．‎ 所以当a∈时，函数f(x)没有零点. ‎ ‎15．设函数f(x)＝4ln x－ax2＋(4－a)x(a∈R)．‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)若函数f(x)存在极值，对于任意的00，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ 当a>0时，则由f′(x)＝0得，x＝，x＝－1(舍去)．当x∈时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0.‎ 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．‎ 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ 当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减. ‎ ‎(2)由(1)知，当a>0时，f(x)存在极值．‎ f(x1)－f(x2)＝4(ln x1－ln x2)－a(x－x)＋(4－a)(x1－x2)＝4(lnx1－lnx2)－a(x1＋x2)(x1－x2)＋(4－a)(x1－x2)．‎ 由题设得f′(x0)＝＝‎ －a(x1＋x2)＋(4－a)．‎ 又f′＝－a·＋4－a，‎ 所以f′(x0)－f′ ‎＝－ ‎＝ ‎＝.‎ 设t＝，则t>1，‎ 则ln－＝lnt－(t>1)．‎ 令g(t)＝lnt－(t>1)，则 g′(t)＝>0，所以g(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(t)>g(1)＝0，‎ 故ln－>0.‎ 又因为x2－x1>0，因此f′(x0)－f′>0，‎ 即f′x0，即x1＋x2>2x0.‎