2018届高三数学一轮复习： 第4章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示

2018届高三数学一轮复习： 第4章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示

第二节　平面向量的基本定理及坐标表示 ‎ [考纲传真]　1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．‎ ‎1．平面向量基本定理 ‎(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.‎ ‎(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．‎ ‎2．平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.‎ ‎3．平面向量的坐标运算 ‎(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，‎ λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.‎ ‎(2)向量坐标的求法 ‎①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．‎ ‎②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，‎ ‎||＝.‎ ‎4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)‎ ‎(2)在△ABC中，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC.(　　)‎ ‎(3)若a，b不共线，且λ‎1a＋μ1b＝λ‎2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)‎ ‎(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于 (　　)‎ A．5　　 B.　‎ C.　　 D.13‎ B　[因为a＋b＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a＋b|＝＝.]‎ ‎3．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝‎ ‎(　　)‎ A．(－7，－4) B.(7,4)‎ C．(－1,4) D.(1,4)‎ A　[＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，‎ ＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．‎ 故选A.]‎ ‎4．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.‎ ‎－6　[∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，‎ ‎∴－2m－4×3＝0，∴m＝－6.]‎ ‎5．(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点 D的坐标为________．‎ ‎(1,5)　[设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，‎ 即解得]‎ 平面向量基本定理及其应用 ‎　(1)如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 (　　)‎ A．e1与e1＋e2‎ B．e1－2e2与e1＋2e2‎ C．e1＋e2与e1－e2‎ D．e1＋3e2与6e2＋2e1‎ ‎(2)(2016·山西晋中四校联考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.‎ ‎(1)D　(2)　[(1)选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；‎ 选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；‎ 选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；‎ 选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．‎ ‎(2)选择，作为平面向量的一组基底，则＝＋，＝＋，＝＋，‎ 又＝λ＋μ＝＋，‎ 于是得解得 所以λ＋μ＝.]‎ ‎[规律方法]　1.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．‎ ‎2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ，μ的方程组．‎ ‎[变式训练1]　如图421，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝，＝，用a，b表示，，.‎ 图421‎ ‎[解]　∵＝－＝a－b，‎ ＝＝a－b，‎ ‎∴＝＋＝a＋b.3分 ‎∵＝a＋b，‎ ‎∴＝＋＝＋ ‎＝＝a＋b，8分 ‎∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.‎ 综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.12分 平面向量的坐标运算 ‎　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝‎3c，＝－2b，‎ ‎(1)求‎3a＋b－‎3c；‎ ‎(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(3)求M，N的坐标及向量的坐标．‎ ‎[解]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).2分 ‎(1)‎3a＋b－‎3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)‎ ‎＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).5分 ‎(2)∵mb＋nc＝(－‎6m＋n，－‎3m＋8n)，‎ ‎∴解得8分 ‎(3)设O为坐标原点．∵＝－＝‎3c，‎ ‎∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．‎ ‎∴M(0,20).10分 又∵＝－＝－2b，‎ ‎∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，‎ ‎∴N(9,2)，∴＝(9，－18).12分 ‎[规律方法]　1. 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．常利用向量相等则其坐标相同列方程(组)求解．‎ ‎2．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．‎ ‎[变式训练2]　(2017·合肥三次质检)已知a＝(1，t)，b＝(t，－6)，则|‎2a＋b|的最小值为________．‎ ‎2　[由条件得‎2a＋b＝(2＋t,2t－6)，所以|‎2a＋b|＝＝，当t＝2时，|‎2a＋b|的最小值为2.]‎ 平面向量共线的坐标表示 ‎　(1)已知向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，若a∥(a＋b)，则m＝(　　)‎ A．－2　　 B.2　‎ C.－3　　 D.3‎ ‎(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．‎ ‎(1)C　(2)(2,4)　[(1)由题意可知a＋b＝(2,1＋m)，‎ ‎∵a∥(a＋b)，‎ ‎∴2＋(m＋1)＝0⇒m＝－3.‎ ‎(2)∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，‎ ‎∴＝2.设点D的坐标为(x，y)，‎ 则＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)．‎ ＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，‎ ‎∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，‎ 即(4－x,2－y)＝(2，－2)，‎ ‎∴解得 故点D的坐标为(2,4)．]‎ ‎[规律方法]　1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，则b＝λa.‎ ‎2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例求解．‎ ‎[变式训练3]　(1)(2017·郑州模拟)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝________.‎ ‎(2)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________. ‎ ‎【导学号：01772146】‎ ‎(1)　(2)k≠1　[(1)由a∥b，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝，‎ 所以cos2θ＝，‎ 所以cos θ＝或－，又θ为锐角，所以θ＝.‎ ‎(2)若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线．‎ 因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，‎ ＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，‎ 所以1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．平面向量基本定理实质上是平面向量的分解定理，是平面向量正交分解、坐标表示的理论基础，用平面向量基本定理可将平面内任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式．‎ ‎2．利用平面向量共线的坐标表示既可以证明向量平行、点共线，也可以由平行求点的坐标或参数值．‎ ‎3．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)．但表示形式与意义不同，如点A(x，y)，向量a＝＝(x，y)，向量坐标中既有大小信息又有方向信息．‎ ‎2．若a，b为非零向量，当a∥b时，a，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形致误．‎ ‎3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.‎