数学文卷·2017届广东省揭阳市揭东县第一中学高三下学期第一次月考（2017

数学文卷·2017届广东省揭阳市揭东县第一中学高三下学期第一次月考（2017

揭东一中2017届高三级第二学期第一次月考 文科数学试题 一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．复数满足，则(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎2．下面四个条件中，使成立的充要条件是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知，则的值为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设函数与的图象的交点为，则所在的区间是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出n的值为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6．已知满足，则的最大值是(　　)‎ A． B. 5 C. 7 D. ‎ ‎7．为了得到的图象，可将函数的图象向左平移个单位长度或者 向右平移个单位长度，和均为正数，则的最小值为 (　　) ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎8．在上的函数满足：，若，则(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎9．函数的最大值等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．若点M是所在平面内的一点，且满足，则与 的面积比为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎11．在等差数列中，若，且它的前项和有最小值，那么当取得最小正值时，则 (　　)‎ ‎ A．18 B．19 C．20 D．21 ‎ ‎12．已知实数满足，，则的最小值为(　　)‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．‎ ‎（13）已知向量，，若，则 ． ‎ ‎（14）偶函数的图象关于直线对称，，则= ． ‎ ‎（15）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的 榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）‎ 啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 ‎ 前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组， 图3‎ 经榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进 一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为 ．（容器壁的厚度忽略不计） ‎ ‎（16）直线与圆交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA 、‎ OB的倾斜角分别为、，则= ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（小题满分12分）‎ 已知递增数列的前项和为，且满足．‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）设，求数列的前项和．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 如图4，在四棱锥中，，AD∥BC，AB⊥AD，‎ AO=AB=BC=1，PO=，．‎ ‎（I）证明：平面POC⊥平面PAD；‎ ‎（II）若CD=，三棱锥P-ABD与C-PBD的体积分别为、，‎ 求证． 图4‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 某次数学测验后，数学老师统计了本班学生对选做题的选做情况，得到如下表数据：(单位：人)‎ 坐标系与参数方程 不等式选讲 合计 男同学 ‎8‎ ‎30‎ 女同学 ‎8‎ 合计 ‎20‎ ‎（I）请完成题中的列联表；并根据表中的数据判断，是否有超过的把握认为选 做“坐标系与参数方程”或“不等式选讲”与性别有关？‎ ‎（II）经过多次测试后，甲同学发现自己解答一道“坐标系与参数方程”‎ 所用的时间为区间 内一个随机值（单位：分钟），解答一道“不等式选讲”所用的时间为区间内一个随机值（单位：分钟），试求甲在考试中选做“坐标系与参数方程”比选做“不等式选讲”所用时间更长的概率．‎ 附表及公式：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2. 072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知圆Ｃ过点，且与直线相切，‎ ‎（I）求圆心C的轨迹方程；‎ ‎（II） O为原点，圆心C的轨迹上两点M、N（不同于点O）满足，已知，‎ ‎，证明直线PQ过定点，并求出该定点坐标和△APQ面积的最小值．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数.()‎ ‎（I）试确定函数的零点个数；‎ ‎（II）设是函数的两个零点，证明：．‎ 参考公式：‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（I）写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线的普通方程；‎ ‎ （II）若，求直线的极坐标方程，以及直线l与曲线的交点的极坐标．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲 设函数．‎ ‎（I）若，求函数的值域；‎ ‎（II）若，求不等式的解集．‎ ‎ ‎ 揭东一中2017届高三级第二学期第一次月考 ‎ 文科数学参考答案 CDACBB ABBACC 二、填空题：‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎4‎ 解析：‎ ‎（16）设，由三角函数的定义得：‎ 由消去y得：，则，即.‎ 三、解答题：‎ ‎（17）解：（Ⅰ）当时，，解得；--------------------------------------------1分 当时，由，得，‎ 两式相减，得，‎ 即，即 ‎∵数列为递增数列，∴，‎ ‎∴，------------------------------------------------------------------------------------------4分 ‎∴ 数列是首项为1、公差为1的等差数列，故；---------------------------------6分 ‎（Ⅱ），‎ ‎　，‎ ‎= ，-------------------------------------------8分 两式相减，得－‎ ‎ ‎ ‎，------------------------------------------------------------------------11分 ‎．-------------------------------------------------------12分 ‎（18）解：（Ⅰ）在四边形OABC中，‎ ‎∵AO//BC，AO=BC，AB⊥AD，‎ ‎∴四边形OABC是正方形，得OC⊥AD，-----------------------2分 在△POC中，∵，∴OC⊥PO，-------4分 又，∴OC⊥平面PAD，‎ 又平面POC，∴平面POC⊥平面PAD；-------------6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,四边形ABCO为正方形，∴OC=AB=1, OC⊥OD-----------8分 ‎ ‎∴，从而, -----------------------------------------------------9分 设点P到平面的距离为，∵平行线BC与AD之间的距离为1，‎ ‎∴-------------------------------------------11分 ‎ 即．---------------------------------------------------------------------------------------------12分 ‎ 其它解法请参照给分．‎ ‎（19）解：（1）列联表如下 坐标系与参数方程 不等式选讲 合计 男同学 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 女同学 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎------------------------------------------3分 由表中数据得，‎ 查表可知，有超过的把握认为选做“坐标系与参数方程”或“不等式选讲”‎ 与性别有关；-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分 ‎（2）设甲解答一道“坐标系与参数方程”需要分钟，‎ 解答一道“不等式选讲”需要分钟，-------------------------------------------------------------7分 记“甲在考试中选做‘坐标系与参数方程’比选做‘不等式选讲’所用时间更长”为事件，‎ 则总的基本事件构成区域，--------------------------------------------------9分 而满足事件的基本事件构成区域为 ， ----------10分 即图中阴影部分，由几何概型知， ‎ 即甲在考试中选做“坐标系与参数方程”比选做 ‎“不等式选讲”所用时间更长的概率为．……………12分 ‎（20）解：（Ⅰ）法一：由已知得圆心C的轨迹是以A为焦点，l为准线的抛物线， ‎ 由得，得圆心C的轨迹方程为；-------------------------3分 ‎【法二：设圆半径为R，圆心C(x, y)，则|AC|=R=，‎ 即=，化简得 即圆心C的轨迹方程为------------------------------------------------------------------3分】‎ ‎（Ⅱ）证明：依题意知OM的斜率k存在，且，设OM的方程为， ------------4分 ‎∵OM⊥ON，则ON的方程为，‎ 由得，得，------------------------------------------------------6分 同理得，‎ 由已知得，，∴，，----------------------------8分 ‎∴，直线PQ的方程为，‎ 即，∴直线PQ过定点（1，0），---------------------------------10分 设B（1，0），则，‎ ‎∴△APQ面积的最小值为．---------------------------------------------------------------------12分 ‎【证法二：设，的方程为 由 得，---------------------------------------------------------------------4分 则，且---------------------------------------------------5分 ‎∵，∴-----------------------------------------------------------------------6分 即，解得，所以，解得--------------------------- 7分 ‎∴的方程为，则直线过定点---------------------------------------------8分 设与轴相交于点 ‎，‎ ‎，可得，则，‎ 故过定点-------------------------------------------------------------------------------------10分 ‎∴△APQ面积的最小值为.-------------------------------------12分】‎ ‎（21）解：（I）由得，令，‎ 函数的零点个数即直线与曲线的交点个数，‎ ‎∵，-------------2分 由得，∴函数在单调递增，‎ 由得，∴函数在上单调递减，‎ ‎∴当时，函数有最大值，，----------------------------------------3分 又当时，>0，，当时，‎ ‎∴当时，函数没有零点；----------------------------------------------------------------4分 当或时，函数有一个零点；------------------------------------------------------5分 当时，函数有两个零点．------------------------------------------------------------6分 ‎（II）证明：函数的零点即直线与曲线的交点横坐标，‎ 不妨设，由（I）知，得，‎ ‎ ∵函数在上单调递增，‎ ‎∴函数在单调递减，‎ 要证，只需证， ------------------------------------------------------------7分 ‎∴只需证，又，即要证，---------------------8分 ‎∵由得，（）--------9分 令，则，------------------------------10分 当时，，，即函数在上单调递减，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴当时，，即．------------------------------------------------12分 ‎【证法二：由（Ⅰ）知，，不妨设，‎ 设，则，-----------------------------8分 ‎，易知是减函数，‎ 当x>1时，，又1-x<0， 得，‎ 所以在递增，，即>.---------------------------10分 由得>，又，所以，‎ ‎ 由在上单调递增，得在单调递减，‎ 又，∴，即，得证． ---------------------------------------12分】‎ 选做题：‎ ‎（22）解：（Ⅰ）直线l经过定点，----------------------------------------------------------------2分 由得，‎ 得曲线的普通方程为，化简得；---5分 ‎（Ⅱ）若，得，的普通方程为， --------------------------------6分 则直线的极坐标方程为，------------------------------------------------8分 联立曲线：．‎ 得，取，得，所以直线l与曲线的交点为． -----------10分 ‎（23）解：（Ⅰ）当时，------------------------------------------------1分 ‎∵， ------------------------------------------------3分 ‎，函数的值域为；-------------------------------5分 ‎（Ⅱ）当m=－1时，不等式即， ---------------------------------6分 ‎①当时，得，解得，；------------------------7分 ‎②当时，得，解得，；------------------8分 ‎③当时，得，解得，所以无解；--------------------------- 9分 综上所述，原不等式的解集为． --------------------------------------------------------10分