数学文卷·2017届广东省揭阳市揭东县第一中学高三下学期第一次月考(2017

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数学文卷·2017届广东省揭阳市揭东县第一中学高三下学期第一次月考(2017

揭东一中2017届高三级第二学期第一次月考 文科数学试题 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.复数满足,则(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.下面四个条件中,使成立的充要条件是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知,则的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.设函数与的图象的交点为,则所在的区间是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出n的值为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎6.已知满足,则的最大值是(  )‎ A. B. 5 C. 7 D. ‎ ‎7.为了得到的图象,可将函数的图象向左平移个单位长度或者 向右平移个单位长度,和均为正数,则的最小值为 (  ) ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.在上的函数满足:,若,则(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.函数的最大值等于(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.若点M是所在平面内的一点,且满足,则与 的面积比为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.在等差数列中,若,且它的前项和有最小值,那么当取得最小正值时,则 (  )‎ ‎ A.18 B.19 C.20 D.21 ‎ ‎12.已知实数满足,,则的最小值为(  )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上.‎ ‎(13)已知向量,,若,则 . ‎ ‎(14)偶函数的图象关于直线对称,,则= . ‎ ‎(15)鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的 榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)‎ 啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、 ‎ 前后完全对称.从外表上看,六根等长的正四棱柱体分成三组, 图3‎ 经榫卯起来,如图3,若正四棱柱体的高为,底面正方形的边长为,现将该鲁班锁放进 一个球形容器内,则该球形容器的表面积的最小值为 .(容器壁的厚度忽略不计) ‎ ‎(16)直线与圆交于A、B两点,O为坐标原点,若直线OA 、‎ OB的倾斜角分别为、,则= .‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(17)(小题满分12分)‎ 已知递增数列的前项和为,且满足.‎ ‎(I)求;‎ ‎(II)设,求数列的前项和.‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ 如图4,在四棱锥中,,AD∥BC,AB⊥AD,‎ AO=AB=BC=1,PO=,.‎ ‎(I)证明:平面POC⊥平面PAD;‎ ‎(II)若CD=,三棱锥P-ABD与C-PBD的体积分别为、,‎ 求证. 图4‎ ‎(19)(本小题满分12分)‎ 某次数学测验后,数学老师统计了本班学生对选做题的选做情况,得到如下表数据:(单位:人)‎ 坐标系与参数方程 不等式选讲 合计 男同学 ‎8‎ ‎30‎ 女同学 ‎8‎ 合计 ‎20‎ ‎(I)请完成题中的列联表;并根据表中的数据判断,是否有超过的把握认为选 做“坐标系与参数方程”或“不等式选讲”与性别有关?‎ ‎(II)经过多次测试后,甲同学发现自己解答一道“坐标系与参数方程”‎ 所用的时间为区间 内一个随机值(单位:分钟),解答一道“不等式选讲”所用的时间为区间内一个随机值(单位:分钟),试求甲在考试中选做“坐标系与参数方程”比选做“不等式选讲”所用时间更长的概率.‎ 附表及公式:‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2. 072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎(20)(本小题满分12分)‎ 已知圆C过点,且与直线相切,‎ ‎(I)求圆心C的轨迹方程;‎ ‎(II) O为原点,圆心C的轨迹上两点M、N(不同于点O)满足,已知,‎ ‎,证明直线PQ过定点,并求出该定点坐标和△APQ面积的最小值.‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ 已知函数.()‎ ‎(I)试确定函数的零点个数;‎ ‎(II)设是函数的两个零点,证明:.‎ 参考公式:‎ 请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题目计分.‎ ‎(22)(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程为(为参数).以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(I)写出直线l经过的定点的直角坐标,并求曲线的普通方程;‎ ‎ (II)若,求直线的极坐标方程,以及直线l与曲线的交点的极坐标.‎ ‎(23)(本小题满分10分)选修45:不等式选讲 设函数.‎ ‎(I)若,求函数的值域;‎ ‎(II)若,求不等式的解集.‎ ‎ ‎ 揭东一中2017届高三级第二学期第一次月考 ‎ 文科数学参考答案 CDACBB ABBACC 二、填空题:‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎4‎ 解析:‎ ‎(16)设,由三角函数的定义得:‎ 由消去y得:,则,即.‎ 三、解答题:‎ ‎(17)解:(Ⅰ)当时,,解得;--------------------------------------------1分 当时,由,得,‎ 两式相减,得,‎ 即,即 ‎∵数列为递增数列,∴,‎ ‎∴,------------------------------------------------------------------------------------------4分 ‎∴ 数列是首项为1、公差为1的等差数列,故;---------------------------------6分 ‎(Ⅱ),‎ ‎ ,‎ ‎= ,-------------------------------------------8分 两式相减,得-‎ ‎ ‎ ‎,------------------------------------------------------------------------11分 ‎.-------------------------------------------------------12分 ‎(18)解:(Ⅰ)在四边形OABC中,‎ ‎∵AO//BC,AO=BC,AB⊥AD,‎ ‎∴四边形OABC是正方形,得OC⊥AD,-----------------------2分 在△POC中,∵,∴OC⊥PO,-------4分 又,∴OC⊥平面PAD,‎ 又平面POC,∴平面POC⊥平面PAD;-------------6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,四边形ABCO为正方形,∴OC=AB=1, OC⊥OD-----------8分 ‎ ‎∴,从而, -----------------------------------------------------9分 设点P到平面的距离为,∵平行线BC与AD之间的距离为1,‎ ‎∴-------------------------------------------11分 ‎ 即.---------------------------------------------------------------------------------------------12分 ‎ 其它解法请参照给分.‎ ‎(19)解:(1)列联表如下 坐标系与参数方程 不等式选讲 合计 男同学 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 女同学 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎------------------------------------------3分 由表中数据得,‎ 查表可知,有超过的把握认为选做“坐标系与参数方程”或“不等式选讲”‎ 与性别有关;-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分 ‎(2)设甲解答一道“坐标系与参数方程”需要分钟,‎ 解答一道“不等式选讲”需要分钟,-------------------------------------------------------------7分 记“甲在考试中选做‘坐标系与参数方程’比选做‘不等式选讲’所用时间更长”为事件,‎ 则总的基本事件构成区域,--------------------------------------------------9分 而满足事件的基本事件构成区域为 , ----------10分 即图中阴影部分,由几何概型知, ‎ 即甲在考试中选做“坐标系与参数方程”比选做 ‎“不等式选讲”所用时间更长的概率为.……………12分 ‎(20)解:(Ⅰ)法一:由已知得圆心C的轨迹是以A为焦点,l为准线的抛物线, ‎ 由得,得圆心C的轨迹方程为;-------------------------3分 ‎【法二:设圆半径为R,圆心C(x, y),则|AC|=R=,‎ 即=,化简得 即圆心C的轨迹方程为------------------------------------------------------------------3分】‎ ‎(Ⅱ)证明:依题意知OM的斜率k存在,且,设OM的方程为, ------------4分 ‎∵OM⊥ON,则ON的方程为,‎ 由得,得,------------------------------------------------------6分 同理得,‎ 由已知得,,∴,,----------------------------8分 ‎∴,直线PQ的方程为,‎ 即,∴直线PQ过定点(1,0),---------------------------------10分 设B(1,0),则,‎ ‎∴△APQ面积的最小值为.---------------------------------------------------------------------12分 ‎【证法二:设,的方程为 由 得,---------------------------------------------------------------------4分 则,且---------------------------------------------------5分 ‎∵,∴-----------------------------------------------------------------------6分 即,解得,所以,解得--------------------------- 7分 ‎∴的方程为,则直线过定点---------------------------------------------8分 设与轴相交于点 ‎,‎ ‎,可得,则,‎ 故过定点-------------------------------------------------------------------------------------10分 ‎∴△APQ面积的最小值为.-------------------------------------12分】‎ ‎(21)解:(I)由得,令,‎ 函数的零点个数即直线与曲线的交点个数,‎ ‎∵,-------------2分 由得,∴函数在单调递增,‎ 由得,∴函数在上单调递减,‎ ‎∴当时,函数有最大值,,----------------------------------------3分 又当时,>0,,当时,‎ ‎∴当时,函数没有零点;----------------------------------------------------------------4分 当或时,函数有一个零点;------------------------------------------------------5分 当时,函数有两个零点.------------------------------------------------------------6分 ‎(II)证明:函数的零点即直线与曲线的交点横坐标,‎ 不妨设,由(I)知,得,‎ ‎ ∵函数在上单调递增,‎ ‎∴函数在单调递减,‎ 要证,只需证, ------------------------------------------------------------7分 ‎∴只需证,又,即要证,---------------------8分 ‎∵由得,()--------9分 令,则,------------------------------10分 当时,,,即函数在上单调递减,‎ ‎ ∴,‎ ‎ ∴当时,,即.------------------------------------------------12分 ‎【证法二:由(Ⅰ)知,,不妨设,‎ 设,则,-----------------------------8分 ‎,易知是减函数,‎ 当x>1时,,又1-x<0, 得,‎ 所以在递增,,即>.---------------------------10分 由得>,又,所以,‎ ‎ 由在上单调递增,得在单调递减,‎ 又,∴,即,得证. ---------------------------------------12分】‎ 选做题:‎ ‎(22)解:(Ⅰ)直线l经过定点,----------------------------------------------------------------2分 由得,‎ 得曲线的普通方程为,化简得;---5分 ‎(Ⅱ)若,得,的普通方程为, --------------------------------6分 则直线的极坐标方程为,------------------------------------------------8分 联立曲线:.‎ 得,取,得,所以直线l与曲线的交点为. -----------10分 ‎(23)解:(Ⅰ)当时,------------------------------------------------1分 ‎∵, ------------------------------------------------3分 ‎,函数的值域为;-------------------------------5分 ‎(Ⅱ)当m=-1时,不等式即, ---------------------------------6分 ‎①当时,得,解得,;------------------------7分 ‎②当时,得,解得,;------------------8分 ‎③当时,得,解得,所以无解;--------------------------- 9分 综上所述,原不等式的解集为. --------------------------------------------------------10分
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