【推荐】专题04 圆与方程（导学案）-2016-2017学年上学期期末考试高二数学（理）备考黄金讲练系列

【推荐】专题04 圆与方程（导学案）-2016-2017学年上学期期末考试高二数学（理）备考黄金讲练系列

一、 学习目标 1、 通过复习帮助同学们系统掌握本章知识；‎ ‎2、通过习题帮助同学们熟悉相关知识在解题中的应用。‎ 二、知识梳理 ‎1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。‎ ‎2、圆的方程 ‎（1）标准方程，圆心，半径为r；‎ ‎（2）一般方程 当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为 当时，表示一个点； 当时，方程不表示任何图形。‎ ‎（3）求圆方程的方法：‎ 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，‎ 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；‎ 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。‎ ‎3、直线与圆的位置关系：‎ 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：‎ ‎（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；‎ ‎（2）设直线，圆，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有；；‎ 注：如果圆心的位置在原点，可使用公式去解直线与圆相切的问题，其中表示切点坐标，r表示半径。‎ ‎ (3)过圆上一点的切线方程：‎ ‎①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为 (课本命题)．‎ ‎②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广)．‎ ‎4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。‎ 设圆，‎ 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。‎ 当时两圆外离，此时有公切线四条；‎ 当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；‎ 当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；‎ 当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；‎ 当时，两圆内含； 当时，为同心圆。‎ ‎5、空间直角坐标系 ‎（1）定义：如图，是单位正方体.以A为原点，‎ 分别以OD,O,OB的方向为正方向，建立三条数轴。‎ 这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.‎ ‎1）O叫做坐标原点 2）x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴. 3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。‎ ‎（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。‎ ‎（3）任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组来表示，有序实数组 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标）‎ ‎（4）空间两点距离坐标公式：‎ 三、典型例题 例1.求圆心在直线3x＋4y－1＝0上，且经过两圆x2＋y2－x＋y－2＝0与x2＋y2＝5的交点的圆的方程.‎ 法二：解方程组得两圆的交点为A(1，－2)和B(2，－1)．‎ 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.‎ ‎∵A，B在圆上，且圆心在直线3x＋4y－1＝0上，∴ 解得∴所求圆的方程是x2＋y2＋2x－2y－11＝0.‎ ‎【方法规律】用待定系数法设圆的方程（圆系方程或一般方程或标准方程），根据条件求系数。‎ 变式练习1．圆心在直线5x－3y＝8上，且圆与两坐标轴均相切，求此圆的标准方程．‎ ‎【答案】(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.‎ ‎【解析】　‎ 例2.已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．‎ ‎【解析】　(1)当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，‎ 即kx－y＋3－2k＝0.示意图如图，作MC⊥AB于C.‎ 在Rt△MBC中，|BC|＝|AB|＝，|MB|＝2，故|MC|＝＝1，‎ 由点到直线的距离公式得＝1，‎ 解得k＝.故直线l的方程为3x－4y＋6＝0.‎ ‎(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，且|AB|＝2，所以符合题意．‎ 综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.‎ ‎【方法规律】解决有关圆的问题时，注意几何意义的运用。‎ 变式练习2．已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线x＋y＝0相切于点Q(3，－)，求圆C的方程．‎ ‎【答案】(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.‎ ‎ ‎ 例3.如图，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN，(M，N分别为切点)，使得|PM|＝|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程． ‎ 变式练习3．等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么.‎ ‎【解析】　设另一端点C的坐标为(x，y) .依题意，得|AC|＝|AB|.‎ 由两点间距离公式，得＝，‎ 整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.‎ 这是以点A(4,2)为圆心，以为半径的圆，如图所示，又因为A、B、C为三角形的三个顶点，所以A、B、C三点不共线．即点B、C不能重合且B、C不能为圆A的一直径的两个端点．‎ 因为点B、C不能重合，所以点C不能为(3,5)．‎ 又因为点B、C不能为一直径的两个端点，所以≠4.且≠2，即点C不能为(5，－1)．‎ 故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))．‎ 综上，它的轨迹是以点A(4,2)为圆心，为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点.‎ 例4.已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:‎ ‎(1)的最大值和最小值;(2)y-x的最大值和最小值;(3)x2+y2的最大值和最小值.‎ ‎ ‎ ‎(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距取得最大值和最小值,‎ 此时=,解得b=-2±,所以y-x的最大值是-2+,最小值是-2-.‎ ‎(3)x2+y2表示圆上的一点与原点的距离的平方,‎ 由平面几何知识知,在原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值,‎ 又圆心到原点的距离为=2,所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,x2+y2的最小值是(2-)2=7-4.‎ ‎【方法规律】求、y-x、x2+y2的最值，联想其几何意义。‎ 变式练习4.若实数x，y满足x2＋y2＋8x－6y＋16＝0，求x＋y的最小值．‎ ‎【答案】－3－1.‎ 四、课堂练习 ‎1.圆的半径为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由圆，通过配方可得.所以圆的半径为.故选B.‎ ‎2．直线与圆的位置关系为 A. 相切 B. 相交但不过圆心 C. 直线过圆心 D.相离 ‎【答案】B ‎【解析】圆的圆心，圆心到直线的距离，所以直线与圆相交但不过圆心。故选B。‎ ‎3.以原点O为圆心且截直线3x＋4y＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________．‎ ‎【答案】　x2＋y2＝25‎ ‎【解析】　原点O到直线的距离d＝＝3，设圆的半径为r，∴r2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x2＋y2＝25.‎ ‎4.一直线过点，被圆截得的弦长为8，求此弦所在的直线方程。‎ ‎【答案】（1） （2）‎ 五、课后练习 ‎1.圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程为 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据圆的标准方程，因为圆心在轴上，排除C；又经过点，代入剩余选项得只有A正确。另解：设圆的方程为，将点代入得，所以方程为。故选A。‎ ‎2.经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，)的切线方程是(　　)‎ A．x＋y－10＝0 B.x－2y＋10＝0‎ C．x－y＋10＝0 D．2x＋y－10＝0‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎3．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为(　　)‎ A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0‎ C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0‎ ‎【答案】　A ‎【解析】　依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得＝，即3x－y－5＝0.故选A。‎ ‎4.已知圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝2，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)‎ A．(x＋3)2＋(y－3)2＝2‎ B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2‎ C．(x－2)2＋(y＋2)2＝2‎ D．(x－3)2＋(y＋3)2＝2‎ ‎【答案】　D ‎【解析】　设点(－2,2)关于直线x－y－1＝0的对称点为Q(m，n)，则解得m＝3，n＝－3，所以圆C2的圆心坐标为(3，－3)，所以圆C2的方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝2，故选D.‎ ‎5.已知圆与圆相内切，则实数m的值为．‎ ‎【答案】1或121‎ ‎ 6.若x，y∈R，且x＝，则的取值范围是________．‎ ‎【答案】　 ‎【解析】　x＝⇔x2＋y2＝1(x≥0)，此方程表示半圆，如图，设P(x，y)是半圆上的点，则表示过点P(x，y)，Q(－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA的斜率为k，则它的方程为y＋2＝k(x＋1)．从而由＝1，解得k＝.又kBQ＝3，∴所求范围是.‎ ‎7.求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程．‎ ‎【解析】　法一：∵圆心在y轴上，设圆的标准方程是x2＋(y－b)2＝r2.‎ ‎∵该圆经过A、B两点，∴∴ 所以圆的方程是x2＋(y－1)2＝10.‎ 法二：线段AB的中点为(1,3)，kAB＝＝－，‎ ‎∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.‎ 由得(0,1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r为 ＝，∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.‎ ‎8.如图，已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切.过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M、N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.‎ ‎(1)求圆A的方程；‎ ‎(2) 当|MN|=时，求直线l的方程。‎ ‎【答案】x＋y－13＝0和3x－y－16＝0‎ ‎ ‎