湖南省长沙市明德中学2020届高三上学期9月月考数学（文）试题

湖南省长沙市明德中学2020届高三上学期9月月考数学（文）试题

明德中学2020届高三第三次月考试题数学（文科）‎ ‎2019.09‎ 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题；本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 ‎1.集合，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求集合，然后再求.‎ ‎【详解】 ‎ 解得： ，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查集合的交集，属于简单题型.‎ ‎2.已知复数z满足，则z为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题设可得，应选答案A。‎ ‎3.若曲线在点（0，n）处的切线方程x-y+1=0，则（　　）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的切线方程得到切点坐标以及切线斜率，再根据导数的几何意义列方程求解即可．‎ ‎【详解】曲线在点处的切线方程是，‎ ‎，则，即切点坐标为，‎ 切线斜率，‎ 曲线方程为，‎ 则函数的导数 ‎ 即，即，‎ 则，，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，属于中档题．应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.‎ ‎4.等差数列中，已知，则（ ）‎ A. 12 B. 18 C. 24 D. 30‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因,故应选C.‎ 考点：等差数列的通项公式及运用.‎ ‎5.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先方程写成椭圆的标准形式，然后根据焦点在轴，列不等式，求解的取值范围.‎ ‎【详解】 ‎ 焦点在轴的椭圆，‎ ‎ ， .‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程的形式，属于基础概念的考查.‎ ‎6.中，角所对的边分别为，若，则为( )‎ A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知结合正弦定理可得sinC＜sinBcosA,利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin（A+B）＜sinBcosA,整理可得有sinAcosB＜0,结合三角形的性质可求.‎ ‎【详解】∵A是△ABC的一个内角，0＜A＜π，‎ ‎∴sinA＞0．‎ ‎∵＜cosA，‎ 由正弦定理可得，sinC＜sinBcosA,‎ ‎∴sin（A+B）＜sinBcosA,‎ ‎∴sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA,‎ ‎∴sinAcosB＜0 , 又sinA＞0,‎ ‎∴cosB＜0 , 即B为钝角,‎ 故选B．‎ ‎7.若，则的大小顺序是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，由于，故可知a,b,c的大小关系式为，选C 考点：指数函数与对数函数 点评：主要是考查了指数函数与对数函数的值域 的求解，属于基础题。‎ ‎8.某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年家庭总收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年的就医费用增加了4750元，则该教师2018年的旅行费用为（ ）‎ A. 21250元 B. 28000元 C. 29750元 D. 85000元 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先求得2017年的就医花费，然后由2018年的就医花费结合条形图可得2018年的旅行费用.‎ ‎【详解】由题意可知，2017年的就医花费为元，‎ 则2017年的就医花费为元，‎ ‎2018年的旅行费用为元.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查统计图表的识别与应用，属于中等题.‎ ‎9.阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，,最后输出的数据为,所以判断框中应填入,选B.‎ 考点：程序框图.‎ ‎10.己知观察下列算式：若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给算式，类比得到的式子，得到的值.‎ ‎【详解】观察所给算式，‎ 得到 ‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎ .‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查类比推理，和指数和对数的互化，属于简单题型.‎ ‎11.如图，，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线交于点，若为等边三角形，则的面积为（ ）‎ A. 8 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由双曲线的定义有,又为等边三角形,所以,代入求出,又,在中,利用余弦定理,而,求出,所以.选C.‎ 考点：1.双曲线的定义；2.余弦定理；3.三角形面积公式.‎ ‎【思路点睛】本题给出经过双曲线（）的左焦点的直线被双曲线截得的弦与右焦点构成等边三角形,求三角形的面积,着重考查了双曲线的定义和简单几何性质,属于中档题.本题思路:利用双曲线定义,求出,在中利用余弦定理求出,再利用三角形面积公式求出的面积.‎ ‎12.定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由已知条件知函数为奇函数且在上为减函数,由有,所以，,若以为横坐标,为纵坐标,建立平面直角坐标系,如图所示,阴影部分为不等式表示的平面区域,即及其内部,,令,则,求出,所以,解得,∴的取值范围是,选D.‎ 考点：1.函数的基本性质；2.线性规划.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了函数的性质:单调性和奇偶性,以及线性规划的相关知识,属于中档题. 利用已知条件得出函数是上的减函数,由函数的图象关于成中心对称，根据图象的平移,得出的图象关于原点成中心对称,所以为奇函数,解不等式,得出,画出不等式组表示的平面区域,,则,通过图形求关于的一次函数的斜率得出的范围,从而求出的范围.‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分共20分.谢把答案填在答题卷对应题号后的横线上．‎ ‎13.若，则不等式的解集是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求的两个实根，再根据一元二次不等式解集形式书写.‎ ‎【详解】 ‎ 解得 或 ，‎ ‎， ，‎ 不等式的解集是或 ，‎ 即解集是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的解法，属于基础题型.‎ ‎14.某兴趣小组有名学生，其中有名男生和名女生，现在要从这名学生中任选名学生参加活动，则选中名学生的性别相同的概率是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过列举法，列举所有的基本事件，和事件“选中的名学生的性别相同的”基本事件，再按古典概型求概率.‎ ‎【详解】设三名男生，2名女生,‎ 那么5人中选2人的基本事件包含：， ，，，，，，，，共10个基本事件，‎ 其中性别相同的基本事件是，，，，共包含4个基本事件.‎ 选中的名学生的性别相同的概率.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型，以及古典概型概率公式的应用，属于简单题型，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出避免多写、漏写现象的发生.‎ ‎15.若都是正数，且，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 设都是正数，且，则，当且仅当时取等号，故答案为.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.‎ 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎16.已知四棱锥的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球的表面积等于_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O，即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积.‎ ‎【详解】由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，‎ 因为平面平面，连接AC,BD交于E，过E作面ABCD的垂线与过三角形ABS的外心作面ABS的垂线交于O，即为球心，连接AO即为半径，‎ 令为外接圆半径，在三角形SAB中，SA=SB=3,AB=4,则cos, ‎ ‎∴sin，∴，∴，又OF=,‎ 可得，‎ 计算得， ，‎ 所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心，属于较难题.‎ 三、解答题：本大题共70分 ‎（一）必考题：共60分 ‎17.在中，内角的对边分别为，且满足．‎ ‎（1）求角大小；‎ ‎（2）若且，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：‎ ‎（1）利用二倍角公式和两角和与差的正弦公式化已知等式中的解为单角，可求得，从而得；‎ ‎（2）由可得，再由正弦定理可得，从而，利用两角和与差的公式化此式为一个角的三角函数形式，最后利用正弦函数的性质可求得取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知得 ‎ 化简得 ∴‎ ‎ 又 ∴故或 ‎ ‎（2）由 ‎ ∴ ‎ ‎ 又∵ ∴‎ ‎ 故 ‎ ∴ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴的取值范围为[）‎ ‎18.如图，是边长为的正方形，平面平面 ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）在上是否存在一点，使平面将几何体分成上下两部分的体积比为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）存在，为的中点时满足条件．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据面面平行的判断定理，可证明，；（2）假设存在一点，过 作交于，连接，并且计算几何体的体积，设，则，‎ 再根据平面几何关系，表示为的方程，求解，得到点的位置.‎ ‎【详解】（1）证明：平面平面，‎ 平面，‎ 是正方形，平面，‎ 平面平面，‎ 平面平面；‎ ‎（2）解：假设存在一点，过作交于，连接，‎ 由 设，则，‎ 设到的距离为h，则，即，则，‎ 即 ‎ 解得或（舍）‎ 则存在点，满足，‎ 即为的中点时满足条件．‎ ‎【点睛】本题考查了面面平行的证明，以及计算几何体的体积，和利用体积求参数的取值，属于中档题型，本题的关键是体积的转化和求解，其中一个难点是如果计算面积，‎ 如图，‎ ‎，且， ，即， ‎ ‎.‎ ‎19.从某企业生成的产品生产线上随机抽取件产品，测量这批产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图：‎ ‎（1）估计这批产品质量指标值的样本平均和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）：‎ ‎（2）若该种产品的等级及相应等级产品的利润（每件）参照以下规则（其中为产品质量指标值）：当该产品定为一等品，企业可获利元；当且该产品定为二等品，企业可获利元：当 且．该产品定为三等品，企业将损失元；否则该产品定为不合格品，企业将损失元 ‎（i）若测得一箱产品（件）的质量指标数据分别为：，求该箱产品的利润；‎ ‎（ii）设事件；事件 事件根据经验，对于该生产线上的产品，事件发生的概率分别为，根据以上信息，若产品预计年产量为件，试估计设产品年获利情况（参考数据：）‎ ‎【答案】（1）平均数100，方差104；（2）（i）100元；（ii）1396000元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接由平均数与方差公式计算；（2）（ⅰ）首先求，，的值，然后判断5个数据的质量等级，最后求利润；（ⅱ）首先求10000件产品中不同等级的产品数，然后代入利润公式求年获利.‎ ‎【详解】（1）质量指标的样本平均数：‎ 质量指标的样本方差为：‎ 估计这批产品质量指标值的样本平均，样本方差．‎ 由题意得件产品中有一等品件：，‎ 有二等品件：有三等品件：，‎ 根据规则该箱产品的利润为：‎ 元．‎ ‎（ii）根据提供的概率分布，该企业生产的产品中：‎ 一等品大约为：件，‎ 二等品大约：件，‎ 三等品大约为：件，‎ 不合格品大约为：件，‎ 估计年获利为（元）．‎ ‎【点睛】本题考查根据频率分布直方图求样本平均数和方差，以及分析数据，应用数据的能力，属于中档题型.‎ ‎20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．‎ ‎（）求椭圆的标准方程．‎ ‎（）是否存在斜率为的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点，时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】(1) (2) 不存在 ‎【解析】‎ 分析：（1）由椭圆的焦点坐标与点在椭圆上可求得椭圆的的标准方程。(2) 设，，，，的中点为，设直线MN的方程为，与椭圆组方程组结合韦达定理，由，知四边形为平行四边形，‎ ‎，得，由，可得，所以不存在Q点在椭圆上。‎ 详解：（）设椭圆的焦距为，则，‎ ‎∵在椭圆上，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ 故椭圆的方程为．‎ ‎（）假设这样的直线存在，设直线的方程为，‎ 设，，，，的中点为，‎ 由，消去，得，‎ ‎∴，且，‎ 故且，‎ 由，知四边形为平行四边形，‎ 而为线段的中点，因此为线段的中点，‎ ‎∴，得，‎ 又，可得，‎ ‎∴点不在椭圆上，‎ 故不存在满足题意的直线．‎ 点睛：本题第（1）问考查由点在椭圆上与焦点坐标可求得椭圆的标准方程。第（2）问由平面向量为载体考查直线与椭圆相交韦达定理应用与点坐标关系的运算。‎ ‎21.已知函数． ‎ ‎（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；‎ ‎（2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) (3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据导数的几何意义可知，在的导数是曲线在处切线的斜率，列方程求；（2）不等式变形为设，可得递增，所以在恒成立，‎ 变形为恒成立，转化为求函数的最值；（3）不等式等价于，设，求，然后讨论极值点和定义域的关系，分，和三种情况求函数在上的最小值，令最小值小于0，分别解关于的不等式，得到的取值范围.‎ ‎【详解】（1）的导数为，曲线在处的切线斜率为，‎ 由切线的方程为，可得，‎ 解得；‎ ‎（2），‎ 对任意两个不等的正数，都有恒成立，即为 令，可得递增，‎ 由恒成立，‎ 可得的最大值，由可得最大值，‎ 则，即的取值范围是；‎ ‎（3）不等式等价于， ‎ 整理得，设，‎ 则由题意可知只需在上存在一点，使得．‎ 对求导数，得 因为，所以，令，得．‎ ‎①若，即时，令，解得．‎ ‎②若，即时，在处取得最小值，‎ 令，即，‎ 可得 ‎ 对于式子，因为，可得左端大于，而右端小于，所以不等式不能成立 ‎③当，即时，在上单调递减，只需，得，‎ 又因为，则．‎ 综上所述，实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值的综合问题，本题第2‎ 问考查不等式恒成立，通过构造函数，判断函数的单调性，转化为导数恒为正数，通过参变分离的方法转化为函数最值问题，第3问是在给定区间存在使不等式成立，转化为求函数的最小值，令最小值小于0.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答：注意只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.‎ ‎22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）设出P的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；‎ ‎（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.‎ 试题解析：解：（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知 ‎|OP|=，=.‎ 由|OP|=16得的极坐标方程 因此的直角坐标方程为.‎ ‎（2）设点B的极坐标为 （）.由题设知|OA|=2，，于是△OAB面积 当时， S取得最大值.‎ 所以△OAB面积的最大值为.‎ 点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若对任意恒成立，证明：.‎ ‎【答案】(1) .（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意结合函数的解析式零点分段即可确定不等式的解集；‎ ‎(2)由题意首先求得函数最小值，然后结合恒成立的条件和均值不等式即可证得题中的结论.‎ ‎【详解】（1）由，得，‎ 即或或，‎ 解得或或，‎ 即，所以不等式的解集为.‎ ‎（2）若对任意恒成立，‎ 即对任意恒成立，‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 所以的最小值为2，即.‎ 又，‎ 所以，‎ 即（当且仅当时，等号成立）‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，分类讨论的数学思想，利用均值不等式证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎ ‎