山西省长治市第二中学2019-2020学年高二12月月考数学（理）试卷

山西省长治市第二中学2019-2020学年高二12月月考数学（理）试卷

数学试题（理科）‎ ‎【满分150分，考试时间120分钟】‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知椭圆的方程为，则此椭圆的焦距为( )‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎2．双曲线的渐近线方程为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3．己知直线平面，直线∥平面，若，则下列结论正确的是( )‎ A．∥或 B．∥ C． D．‎ ‎4．双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为( )‎ A．4 B． C．2 D．‎ ‎5．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知点P是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且，则的面积为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若直线与双曲线只有一个公共点，则满足条件的直线有( )‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎ ‎8．已知圆，由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎9．过点P(-1，1)作直线与椭圆交于A，B两点，若线段AB的中点恰好为P 点，则AB所在直线方程是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为，则的最大值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知是双曲线的两个焦点，以线段为边作正，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎12．如图，已知正方体的棱长为1，分别是棱上的动点，若，则线段MN的中点P的轨迹是( ) ‎ A．一条线段 B．一段圆弧 C．一个球面区域 D．两条平行线段 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．椭圆的焦点坐标为　　 　．‎ ‎14．直线与椭圆的位置关系为　　 　．‎ ‎15．已知不等式恒成立，则实数的取值范围是　　 　．‎ ‎16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点,若点P是与在第一象限内的交点,且,设与的离心率分别为,则的取值范围是　 　．‎ 三、解答题：本大题共70分 ‎17．(本题满10分) 已知直线及圆．‎ ‎(1) 判断直线与圆的位置关系；‎ ‎(2) 求过点(3，1)的圆的切线方程．‎ ‎18．(本题满分12分) 已知两圆和．‎ ‎(1) 判断两圆的位置关系；‎ ‎(2) 求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长．‎ ‎19．(本题满分12分) 已知双曲线的虚轴长为，且离心率为．‎ ‎(1) 求双曲线的方程；‎ ‎(2) 经过双曲线右焦点作倾斜角为的直线，直线与双曲线交于不同的两点，求． ‎ ‎20．(本题满分12分) 如图四棱锥中，底面是正方形，，，且，E为PD中点．‎ ‎(1) 求证：平面；‎ ‎(2) 求二面角的余弦值．‎ ‎21．(本题满分12分) 已知点A，B的坐标为，，直线AE，BE相交于点E，且它们的斜率之积是．‎ ‎(1) 求点E的轨迹方程；‎ ‎(2) 设O为坐标原点，过点F(-1,0)的直线与点E的轨迹交于M，N两点，求的面积的最大值．‎ ‎22．(本题满分12分) 在平面直角坐标系中，已知椭圆:的离心率，且椭圆C上一点N到距离的最大值为，过点的直线交椭圆C于点A，B．‎ ‎(1) 求椭圆C的方程；‎ ‎(2) 设P为椭圆上一点，且满足 (为坐标原点)，当时,求实数的取值范围．‎ 理科数学参考答案 ‎1---12 BDACB CBBDA CB ‎13. 14. 相交 15. 16. ‎ ‎17 解: （1）解法一：代数法 ‎ 消去y，整理得 .............................................2分 其中 ‎ ‎ 解法二：几何法 ‎ 圆心(1,2)到直线的距离为 所以，直线与圆相交。......................................................................................................4分 (2) 当切线斜率存在时，设切线斜率为k，则可设切线的方程为 y-1=k(x-3)，即kx-y+1-3k=0...............................................................5分 由得................................................................7分 ‎ 此时，切线方程为3x-4y-5=0.................................................................8分 当切线斜率存在时,结合点与圆的图像知，此时切线方程为x=3...........................9分 ‎ 综上，圆的切线方程为x=3和3x-4y-5=0.......................................................................10分 ‎ 18.解：（1）解法一：代数法 ‎ 消去y，整理得①..........................................3分 其中，‎ ‎............................................................................................5分 解法二：几何法 由题意可知：圆心，半径；圆心，半径.......................2分 两圆心距离....................................................................3分 且满足.....................................................................................5分 所以，两圆相交。.‎ ‎(2) 两圆作差得..................................................................................................7分 解法一：由①得代入上式得................................................9分 由两点间距离公式得：.....................................................................12分 解法二： 圆心到直线的距离为 ‎............................................................................................................9分 所以所求弦长为 .................................................................12分 ‎ ‎19 解: (1) 双曲线的虚轴长为，离心率为 ‎∴解得，‎ ‎∴双曲线的方程为. ......................................................................................5分 ‎(2)由（1）知 双曲线的右焦点为 .........................................6分 设经过双曲线右焦点且倾斜角为的直线的方程为，‎ 由,得 .................................................................9分 ‎ 其中，...................................................................................10分 所以 ..................................12分 ‎20 解: （1）证明：∵底面为正方形，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴.‎ 同理，‎ ‎∴平面 ‎............................................................................................5分 ‎ （2） 建立如图的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2.则 ‎ ‎ ........................................................6分 设为平面的一个法向量，又，‎ ‎，令，得................................8分 同理是平面的一个法向量..................................................................10分 则.‎ ‎∴二面角的余弦值为....................................................................................12分 ‎21解：（1）设，因为A，所以直线AE的斜率 同理直线BE的斜率 由已知有 ‎ 化简得的轨迹方程为...............................................................5分 ‎（2）设过F(-1,0)的直线方程为x=my-1，设..............................................6分 联立直线与椭圆的方程，化简得，显然．‎ ‎，...............................................................8分 从而，.‎ 所以............................................................10分 令，‎ 则，当，即时取等号.‎ 所以面积的最大值为..........................................................................................12分 22. 解：(1)∵,∴,则椭圆方程为, 即.‎ 23. ‎ 设,则.‎ 24. 当时, 有最大值,则,‎ 25. 解得,∴,故椭圆方程是...........................................................6分 ‎（2）设,,,直线的方程为,‎ ‎ 由,消去y,整理得.‎ ‎ 其中 ,,‎ ‎ 由,解得.‎ ‎ 由题意得,‎ ‎ 则, .‎ ‎ 由点在椭圆上,得,‎ ‎ 化简得.  ①‎ ‎ 由得 ‎ 将,代入得 ,‎ 化简,得, 则,即 ‎∴.  ②‎ 由①得,③‎ 由②③得, 所以或.‎ 故实数的取值范围为或...........................................................12分