【数学】2020届一轮复习北师大版椭圆双曲线抛物线作业
一、选择题(本题共7小题，每小题5分，共35分)
1．(2018·张家界三模)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，其渐近线与圆(x－a)2＋y2＝相切，则该双曲线的方程为
A．x2－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 由题意得到e＝＝2，∴b＝a，则双曲线的渐近线方程为y＝±x，渐近线与圆(x－a)2＋y2＝相切，∴＝⇒a＝1，b＝.则双曲线方程为x2－＝1.
答案 A
2．(2018·山师附中模拟)已知点A是抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点，O为坐标原点，若以点M(0，8)为圆心，|OA|的长为半径的圆交抛物线C于A，B两点，且△ABO为等边三角形，则p的值是
A. B．2 C．6 D.
解析 由题意知|MA|＝|OA|，所以点A的纵坐标为4，
又△ABO为等边三角形，所以点A的横坐标为，又点A是抛物线C上一点，所以＝2p×4，解得p＝.
答案 D
3．(2018·绍兴模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，以O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线，切点为A，B，若四边形PAOB为正方形，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
解析 由题意知|OA|＝|AP|＝b，|OP|＝a，OA⊥AP，
所以2b2＝a2，＝，故e＝＝，故选B.
答案 B
4．(2018·长沙二模)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)经过抛物线C2：y2＝2px(p>0)的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线C1的离心率是
A．2 B. C. D.
解析 依题意得，曲线C2的焦点就是曲线C1的右顶点，故曲线C2的准线方程为x＝－a，将x＝－a代入曲线C1的渐近线方程y＝±x得，该等边三角形的边长为2b，高为a，于是有a＝b，双曲线C1的离心率e＝＝.
答案 D
5．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝
A. B．3 C．2 D．4
解析 因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)，
由得所以M，
所以|OM|＝＝，
所以|MN|＝|OM|＝3，故选B.
答案 B
6．(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是
A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
解析 当0
3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120
°，则≥tan 60°＝，即≥，得m≥9，故m的取值范围为(0，1]∪[9，＋∞)，故选A.
答案 A
7．(2018·茂名联考)过抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点，且与其对称轴垂直的直线与E交于A，B两点，若E在A，B两点处的切线与E的对称轴交于点C，则△ABC外接圆的半径是
A．(－1)p B．p
C.p D．2p
解析 因为直线过抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点，且与其对称轴垂直，∴A，B，由y′＝可知E在A，B两点处的切线斜率为k1＝1，k2＝－1，
∴k1·k2＝－1，∴AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，
又|AB|＝2p，所以△ABC外接圆的半径是p.
答案 B
二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
8．(2018·北京)已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴．若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．
解析 由题意知，a>0，对于y2＝4ax，当x＝1时，y＝±2，由于l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，所以4＝4.所以a＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1，0)．
答案 (1，0)
9．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
解析 双曲线的右顶点为A(a，0)，一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，则圆心A到此渐近线的距离d＝＝.又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin 60°＝，即＝，所以e＝＝.
答案
10．(2018·北京)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M
的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．
解析 设椭圆的右焦点为F(c，0)，
双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，由题意可知A，由点A在椭圆M上得，＋＝1，∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，∵b2＝a2－c2，∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，∴4a4－8a2c2＋c4＝0，∴e－8e＋4＝0，∴e＝4±2，∴e椭＝＋1(舍去)或e椭＝－1，∴椭圆M的离心率为－1，∵双曲线的渐近线过点A，∴渐近线方程为y＝x，∴＝，故双曲线的离心率e双＝＝2.
答案 －1；2
三、解答题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)
11．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解析 (1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
12．(2018·江苏)
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点，焦点F1(－，0)，F2(，0)，圆O的直径为F1F2.
(1)求椭圆C及圆O的方程；
(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．
解析 (1)因为椭圆C的焦点为F1(－，0)，F2(，0)．
可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．
又点在椭圆C上，所以
解得因此，椭圆C的方程为＋y2＝1.
因为圆O的直径为F1F2，所以其方程为x2＋y2＝3.
(2)①设直线l与圆O相切于P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，
则x＋y＝3，所以直线l的方程为y＝－(x－x0)＋y0，即y＝－x＋.由消去y，得(4x＋y)x2－24x0x＋36－4y＝0.(*)
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以Δ＝(－24x0)2－4(4x＋y)(36－4y)＝48y(x－2)＝0.
因为x0，y0>0，所以x0＝，y0＝1.
因此，点P的坐标为(，1)．
②因为三角形OAB的面积为，
所以AB·OP＝，从而AB＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(*)得x1，2＝，
所以AB2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝·.
因为x＋y＝3，
所以AB2＝＝，即2x－45x＋100＝0.
解得x＝(x＝20舍去)，则y＝，
因此P的坐标为.
综上，直线l的方程为y＝－x＋3.
