高考数学专题复习：数学归纳法训练题选修２－２
第二章2—3数学归纳法训练题 选修２－２
一、选择题
1、观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为( )
A．3125 B．5625
C．0625 D．8125
2、在数列{an}中，an＝1－＋－＋…＋－，则ak＋1等于( )
A．ak＋ B．ak＋－
C．ak＋ D．ak＋－
3、利用数学归纳法证明＋＋＋…＋<1(n∈N*，且n≥2)时，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是( )
A．增加了这一项
B．增加了和两项
C．增加了和两项，同时减少了这一项
D．以上都不对
4、用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是( )
A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确
B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确
C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确
D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)
5、k(k≥3，k∈N*)棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为( )
A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1
C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2
6、用数学归纳法证明1＋＋＋…＋
1)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋<2 B．1＋＋<2
C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3
二、填空题
7、分析下述证明2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1(n∈N*)的过程中的错误：________________.
证明：假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝
k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N*等式都成立．
8、用数学归纳法证明≥()n(a，b是非负实数，n∈N*)时，假设n＝k命题成立之后，证明n＝k＋1命题也成立的关键是________．
9、平面上原有k个圆，它们相交所成的圆弧共有f(k)段，若增加第k＋1个圆与前k个圆均有两个交点，且不过前k个圆的交点，试问前k个圆的圆弧增加________段．
三、解答题
10、已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1，
(1)写出a1，a2，a3并推测an的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得结论．
11、用数学归纳法证明：
当n≥2，n∈N*时，(1－)(1－)(1－)…(1－)＝.
12、求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．
四、选择题
13、下列说法正确的是( )
A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等
B．ai是纯虚数
C．如果复数x＋yi是实数，则x＝0，y＝0
D．复数a＋bi不是实数
14、若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A．1 B．2
C．1或2 D．－1
15、下列各数中，纯虚数的个数是( )
2＋，i,0i,5i＋8，i(1－)，0.618
A．0 B．1
C．2 D．3
16、对于复数a＋bi(a、b∈R)，下列结论正确的是( )
A．a＝0，则a＋bi为纯虚数
B．a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－3
C．b＝0，则a＋bi为实数
D．1的平方等于i
17、若(a－2)i＝b－i，其中a、b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2＝( )
A．0 B．2
C．5 D．1
18、如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则( )
A．C＝R∪I B．R∪I＝{0}
C．R＝C∩I D．R∩I＝∅
五、填空题
19、若a－2i＝bi＋1(a、b∈R)，则b＋ai＝________.
20、若复数z＝sin2α－i(1－cos2α)是纯虚数，则α＝________.
21、已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈Z)，且z<0，则k＝________.
六、解答题
22、设m∈R，复数z＝2m2－3m－2＋(m2－3m＋2)i.试求m为何值时，z分别为：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数．
23、求适合等式(2x－1)＋i＝y＋3i的x、y的值．(其中x∈R，y是纯虚数)
24、已知关于实数x，y的方程组
有实数解，求实数a，b的值．
以下是答案
一、选择题
1、解析：选D.∵55＝3125,56＝15625,57＝78125，
58末四位数字为0625,59末四位数字为3125，
510末四位数字为5625,511末四位数字为8125，
512末四位数字为0625，…，
由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现，
∴52011＝54×501＋7末四位数字为8125.
2、解析：选D.a1＝1－，a2＝1－＋－，…，
an＝1－＋－＋…＋－，
ak＝1－＋－＋…＋－，
所以ak＋1＝ak＋－.
3、解析：选C.不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n的等差数列，当n＝k时，左端为＋＋＋…＋；当n＝k＋1时，左端为＋＋＋…＋＋＋，对比两式，可得结论．
4、解析：选B.因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确．
5、解析：选A.三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面[0＋2＝0＋(3－1)]；五棱柱有5个对角面[2＋3＝2＋(4－1)]；六棱柱有9个对角面[5＋4＝5＋(5－1)]；….
猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱有f(k)＋k－1个对角面．
6、选B.∵n>1且n∈N*，∴n取的第一个值n0＝2，故选B.
二、填空题
7、缺少步骤归纳奠基，实际上当n＝1时等式不成立
8、两边同乘以
解析：要想办法出现ak＋1＋bk＋1，两边同乘以，右边也出现了要证的()k＋1.
9、2k
解析：增加的第k＋1个圆与前k个圆中的每一个均有两个交点，这两个交点中的每个点都将原来的一段圆弧分为两段，因此每个圆都要增加两段圆弧．
∴k个圆共增加的圆弧段数为2k段．
三、解答题
10、解：(1)由Sn＋an＝2n＋1，
得a1＝，a2＝，a3＝，
故推测an＝＝2－(n∈N*)．
(2)证明：an＝2－(n∈N*)．
①当n＝1时，a1＝2－＝，结论成立，
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即ak＝2－，
当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1
＝2(k＋1)＋1，
∵a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak，
∴2ak＋1＝ak＋2，∴2ak＋1＝4－，
∴ak＋1＝2－，
∴当n＝k＋1时结论成立．
由①②知对于任何正整数n，结论都成立．
11、证明：(1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝，∴n＝2时等式成立．
(2)假设当n＝k(n≥2，n∈N*)时等式成立，
即(1－)(1－)(1－)…(1－)＝，
那么当n＝k＋1时，
(1－)(1－)(1－)…(1－)[1－]
＝·[1－]
＝＝
＝.
∴当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)知，对任意n≥2，n∈N*，等式都成立．
12、证明：(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，
即＋＋…＋>.
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋(＋＋－)>＋(＋＋－)>＋(3×－)＝，
所以当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．
四、选择题
13、
解析：选A.由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差都为0.
14、解析：选B.因为复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，所以，解得a＝2.故选B.
15、解析：选C.根据纯虚数的定义知，
i，i(1－)是纯虚数．
16、解析：选C.对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；对于B，a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D,1的平方仍为1，故C对．
17、解析：选D.∵，故，
∴a2＋b2＝1.
18、解析：选D.用韦恩图可得答案．
五、填空题
19、－2＋i
解析：根据复数相等的充要条件，得，
∴b＋ai＝－2＋i.
20、kπ＋(k∈Z)
解析：⇒⇒2α＝(2k＋1)π，
∴α＝kπ＋(k∈Z)．
21、2
解析：⇒⇒k＝2.
六、解答题
22、解：(1)当z为实数时，则有m2－3m＋2＝0，解得m＝1或2.即m为1或2时，z为实数．
(2)当z为虚数时，则有m2－3m＋2≠0，解得m≠1且m≠2.即m≠1且m≠2时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，则有，解得m＝－，即m＝－时，z是纯虚数．
23、解：设y＝bi(b≠0)代入已知等式得，
(2x－1)＋i＝(b＋3)i，
∴，∴，
∴y＝－2i.
∴x＝，y＝－2i.
24、解：根据复数相等的充要条件，得，解得③.把③代入②，得5＋4a－(6＋b)i＝9－8i，且a、b∈R，∴，解得.
