【数学】2020届一轮复习人教B版6-1不等关系与不等式学案

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【数学】2020届一轮复习人教B版6-1不等关系与不等式学案

第一节 不等关系与不等式 不等式的概念和性质 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.‎ 知识点一 实数的大小顺序与运算性质的关系 ‎(1)a>b⇔a-b>0;‎ ‎(2)a=b⇔a-b=0;‎ ‎(3)aN C.M=N D.不确定 解析:M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1),‎ 又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0.‎ ‎∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0.∴M>N.‎ 答案:B 知识点二 不等式性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔bb,b>c⇒a>c ‎⇒‎ 可加性 a>b⇔a+c>b+c ‎⇔‎ 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒acb+d ‎⇒‎ 同向同正 可乘性 ⇒ac>bd ‎⇒‎ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn ‎(n∈N,n≥1)‎ 同正 可开方性 a>b>0⇒> ‎(n∈N,n≥2)‎ 易误提醒 ‎ ‎1.在应用传递性时,注意等号是否传递下去,如a≤b,bb⇒ac2>bc2;若无c≠0这个条件,a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c=0时,取“=”).‎ ‎[自测练习]‎ ‎2.设a,b,c∈R,且a>b,则(  )‎ A.ac>bc B.< C.a2>b2 D.a3>b3‎ 解析:当c<0时,ac>bc不成立,故A不正确,当a=1,b=-3时,B、C均不正确,故选D.‎ 答案:D ‎3.若a>b>0,则下列不等式中恒成立的是(  )‎ A.> B.a+>b+ C.a+>b+ D.> 解析:由a>b>0⇒0<<⇒a+>b+,故选C.‎ 答案:C ‎4.已知a<0,-10,∴ab>ab2>a.‎ 答案:ab>ab2>a 考点一 利用不等式(组)表示不等关系|‎ ‎1.将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x,构成一个钝角三角形,试用不等式(组)表示x应满足的不等关系.‎ 解:由题意知 ‎2.某厂拟生产甲、乙两种适销产品,甲、乙产品都需要在A,B两台设备上加工,在A,B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时,加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时,A,B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式.‎ 解:设甲、乙两种产品的产量分别为x件,y件,由题意可知, 利用不等式(组)表示不等关系的一个注意点及一个关键点:‎ 关键点:准确将题目中的文字语言转化为数学符号语言.‎ 注意点:要注意“不超过”,“至少”,“低于”表示的不等关系,同时还应考虑变量的实际意义.‎ ‎  ‎ ‎    考点二 不等式性质及应用|‎ ‎1.(2018·大庆质检)若a B.> C.|a|>|b| D.a2>b2‎ 解析:由a不成立,选A.‎ 答案:A ‎2.(2018·武汉调研)若实数a,b∈(0,1),且满足(1-a)b>,则a,b的大小关系是(  )‎ A.ab D.a≥b 解析:∵a,b∈(0,1),∴1-a>0,又(1-a)b>,‎ ‎∴<2,<,即b-a>0,故选A.‎ 答案:A ‎3.设a,b是实数,则“a>b>‎1”‎是“a+>b+”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:法一:因为a+-=,所以若a>b>1,显然a+-=>0,则充分性成立;当a=,b=时,显然不等式a+>b+成立,但a>b>1不成立,所以必要性不成立,故选A.‎ 法二:令函数f(x)=x+,则f′(x)=1-=,可知f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上为增函数,在(-1,1)上为减函数,所以“a>b>1”是“a+>b+”的充分不必要条件,选A.‎ 答案:A 运用不等式性质求解问题的两个注意点 ‎1.解题时,易忽视不等式性质成立的条件,或“无中生有”自造性质导致推理判定失误.‎ ‎2.对于不等式的常用性质,要注意弄清其条件和结论,不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面,单向性主要用于证明不等式,双向性是解不等式的依据.‎ ‎  ‎ 考点三 比较大小|‎ ‎ (1)若实数a≠1,比较a+2与的大小;‎ ‎(2)比较aabb与abba(a>0且a≠1,b>0且b≠1)的大小.‎ ‎[解] (1)a+2-=,‎ ‎∵a2+a+1=2+>0,∴-(a2+a+1)<0,‎ ‎∴当1-a>0,即a<1时,<0,则有a+2<.‎ 当1-a<0即a>1时,>0,则有a+2>.综上知,当a<1时,a+2<,‎ 当a>1时,a+2>.‎ ‎(2)=aa-bbb-a=a-b,‎ 当a>b>0时,>1,a-b>0,‎ 则a-b>1,∴aabb>abba;‎ 当b>a>0时,0<<1,a-b<0,‎ 则a-b>1,∴aabb>abba;‎ 当a=b>0时,a-b=1,∴aabb=abba,‎ 综上知aabb≥abba(当且仅当a=b时取等号).‎ 比较两个数(式)大小的两种方法 ‎(1)比较大小时,要把各种可能的情况都考虑进去,对不确定的因素需进行分类讨论,每一步运算都要准确,每一步推理都要有充分的依据.‎ ‎(2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小.‎ ‎  ‎ 已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是(  )‎ A.c≥b>a        B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b 解析:c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0,‎ ‎∴c≥b.将题中两式作差得2b=2+2a2,即b=1+a2.‎ ‎∵1+a2-a=2+>0,∴1+a2>a,‎ ‎∴b=1+a2>a.∴c≥b>a.‎ 答案:A ‎  10.不等式变形中不等价致误 ‎【典例】 设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(-2)的取值范围是________.‎ ‎[解析] 法一:设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数),则‎4a-2b=m(a-b)+n(a+b),‎ 即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,‎ 于是得解得 ‎∴f(-2)=3f(-1)+f(1).‎ 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,‎ ‎∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,即5≤f(-2)≤10.‎ 法二:由得 ‎∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).‎ 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,‎ ‎∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.‎ 法三:由 确定的平面区域如图阴影部分,当f(-2)=4a-2b过点A时,‎ 取得最小值4×-2×=5,‎ 当f(-2)=4a-2b过点B(3,1)时,‎ 取得最大值4×3-2×1=10,∴5≤f(-2)≤10.‎ ‎[答案] [5,10]‎ ‎[易误点评] 解题中多次使用同向不等式的可加性,先求出a,b的范围,再求f(-2)=‎4a-2b的范围,导致变量范围扩大.‎ ‎[防范措施] (1)此类问题的一般解法:先建立待求整体与已知范围的整体的关系,最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围;(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围.‎ ‎[跟踪练习] 若α,β满足试求α+3β的取值范围.‎ 解:设α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)α+(x+2y)β.‎ 则解得 ‎∵-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6,‎ 两式相加,得1≤α+3β≤7.‎ ‎∴α+3β的取值范围为[1,7].‎ A组 考点能力演练 ‎1.已知<<0,则下列结论错误的是(  )‎ A.a22‎ C.ab>b2 D.lg a20,∴a-b>0,‎ ‎∴ab-b2=(a-b)b<0,∴abπb,即a>b,由函数y=ln x,y=sin x,y=,y=x3的单调性知C正确.‎ 答案:C ‎3.(2018·资阳一诊)已知a,b∈R,下列命题正确的是(  )‎ A.若a>b,则|a|>|b| B.若a>b,则< C.若|a|>b,则a2>b2 D.若a>|b|,则a2>b2‎ 解析:当a=1,b=-2时,A不正确;当a=1,b=-2时,B不正确;当a=1,b=-2时,C不正确;对于D,a>|b|≥0,则a2>b2,故选D.‎ 答案:D ‎4.已知ab>0,则“b<”是“a<”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由b<,ab>0得ab20,所以a<,同理由a<可得b<,故选C.‎ 答案:C ‎5.(2018·贵阳期末)下列命题中,正确的是(  )‎ A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若ac>bc,则a>b C.若<,则ab,c>d,则a-c>b-d 解析:A项,取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;B项,当c<0时,ac>bc⇒a0,∴ay,a>b,则在①a-x>b-y,②a+x>b+y,③ax>by,④>这四个式子中,恒成立的不等式有________(写出所有恒成立的不等式的序号).‎ 解析:令x=-2,y=-3,a=3,b=2,符合题设条件x>y,a>b,∵a-x=3-(-2)=5,b-y=2-(-3)=5,∴a-x=b-y,因此①不成立.又ax=-6,by=-6,∴ax=by,因此③也不成立.又==-1,==-1,∴=,因此④不成立.由不等式的性质可推出②成立.‎ 答案:②‎ ‎8.如果00,∴++>++,即当变量a的值增加1会使S的值增加最大.‎ 答案:a ‎9.若a>b>0,c.‎ 证明:∵c-d>0.‎ 又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0.‎ ‎∴(a-c)2>(b-d)2>0.‎ ‎∴0<<.‎ 又∵e<0,∴>.‎ ‎10.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票,其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠.”这两个车队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠.‎ 解:设该单位职工有n人(n∈N*),全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元,‎ 则y1=x+x·(n-1)=x+xn,y2=nx.‎ 所以y1-y2=x+xn-nx=x-nx=x.‎ 当n=5时,y1=y2;‎ 当n>5时,y1y2.‎ 因此当单位去的人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,甲车队更优惠;少于5人时,乙车队更优惠.‎ B组 高考题型专练 ‎1.(2018·高考天津卷)设a,b∈R,则“(a-b)·a2<‎0”‎是“ab>1,c<0,给出下列三个结论:‎ ‎①>;②acloga(b-c).‎ 其中所有的正确结论的序号是(  )‎ A.① B.①②‎ C.②③ D.①②③‎ 解析:∵a>b>1,∴<.又c<0,‎ ‎∴>,故①正确.‎ 当c<0时,y=xc在(0,+∞)上是减函数,‎ 又a>b>1,∴acb>1,-c>0,∴a-c>b-c>1.‎ ‎∵a>b>1,∴logb(a-c)>loga(a-c)>loga(b-c),‎ 即logb(a-c)>loga(b-c),故③正确.‎ 答案:D ‎3.(2018·高考山东卷)已知实数x,y满足ax B.ln(x2+1)>ln(y2+1)‎ C.sin x>sin y D.x3>y3‎ 解析:根据指数函数的性质得x>y,此时x2,y2的大小不确定,故选项A,B中的不等式不恒成立;根据三角函数的性质,选项C中的不等式也不恒成立;根据不等式的性质知,选项D中的不等式恒成立.‎ 答案:D ‎4.(2018·高考四川卷)若a>b>0,c<d<0,则一定有(  )‎ A.> B.< C.> D.< 解析:依题意取a=2,b=1,c=-2,d=-1,代入验证得A,B,C均错,只有D正确.‎ 答案:D
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