【数学】湖南省顶级名校2020届高三第七次（5月）大联考试题（理）（解析版）

【数学】湖南省顶级名校2020届高三第七次（5月）大联考试题（理）（解析版）

湖南省顶级名校2020届高三第七次（5月）大联考试题 数学试卷（理） ‎ 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知全集U＝Z，A＝{1，2，3，4}，B＝{x|(x＋1)(x－3)>0，x∈Z}，则A∩(B)＝（ ）‎ A.{1，2} B.{2，3} C.{1，2，3} D.{1，2，3，4}‎ ‎2.已知复数z＝，则z的共轭复数＝（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是（ ）‎ ‎4.(1－2t)(1＋t)6的展开式中，t3项的系数为（ ）‎ A.20 B.30 C.－10 D.－24‎ ‎5.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(注：素数也叫做质数)猜想的一个弱化形式。孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p使得p＋2是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数。从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.如图所示的程序框图，则输出的x，y，z的值分别是（ ）‎ A.，600， B.1200，500，300 C.1100，400，600 D.300，500，1200‎ ‎7.若θ∈[]，sin2θ＝，则sinθ＝（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p＝（ ）‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎9.在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为等边三角形，PA＝AB，E是PC的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.直线x＝2与双曲线的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任意一点，若(a，b∈R，O为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ）‎ A.|ab|＝2 B.a2＋b2≥4 C.|a－b|≥2 D.|a＋b|≥2‎ ‎11.已知函数f(x)＝cosxsin2x，给出下列命题：‎ ‎①x∈R，都有f(－x)＝－f(x)成立； ②存在常数T≠0，x∈R恒有f(x＋T)＝f(x)成立；‎ ‎③f(x)的最大值为； ④y＝f(x)在[]上是增函数。‎ 以上命题中正确的为（ ）‎ A.①②③④ B.②③ C.①②③ D.①②④‎ ‎12.已知函数f(x)＝lnx－ax2＋(a－1)x＋a(a>0)的值域与函数f(f(x))的值域相同，则a的取值范围为（ ）‎ A.(0，1] B.(1，＋∞) C.(0，] D.[，＋∞)‎ 第II卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.已知向量a＝(1，4)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)与(2a－b)共线，则实数k＝ 。‎ ‎14.某中学有学生3600名，从中随机抽取300名调查他们的居住地与学校之间的距离，其中不超过1公里的学生共有15人，不超过2公里的学生共有45人，由此估计该学校所有学生中居住地到学校的距离在(1，2]公里的学生有 人。‎ ‎15.如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，CD的中点，cos∠PEF＝，若A，B，C，D，P在同一球面上，则此球的体积为 。‎ ‎16.如图，在△ABC中，AC⊥BC，D为BC边上的点，M为AD上的点，CD＝1，∠CAB＝∠MBD＝∠DMB，则AM＝ 。‎ 三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题：共60分 ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知等差数列{an}和递增的等比数列{bn}满足：a1＝1，b1＝3且b3＝2a5＋3a2，b2＝a4＋2。‎ ‎(1)分别求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设Sn表示数列{an}的前n项和，若对任意的n∈N*，kbn≥Sn恒成立，求实数k的取值范围。‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，AB＝AA1，∠BAA1＝60°。‎ ‎(1)求证：A1C⊥B1A1；‎ ‎(2)若平面ABC⊥平面ABB1A1，且AB＝BC，求直线CB1与平面A1BC所成角的正弦值。‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎2019年上半年我国多个省市暴发了“非洲猪瘟”疫情，生猪大量病死，存栏量急剧下降，一时间猪肉价格暴涨，其他肉类价格也跟着大幅上扬，严重影响了居民的生活。为了解决这个问题，我国政府一方面鼓励有条件的企业和散户防控疫情，扩大生产；另一方面积极向多个国家开放猪肉进口，扩大肉源，确保市场供给稳定。某大型生猪生产企业分析当前市场形势，决定响应政府号召，扩大生产。决策层调阅了该企业过去生产相关数据，就“一天中一头猪的平均成本与生猪存栏数量之间的关系”进行研究。现相关数据统计如下表：‎ ‎(1)研究员甲根据以上数据认为y与x具有线性回归关系，请帮他求出y关于x的线性回归方程；(保留小数点后两位有效数字)‎ ‎(2)研究员乙根据以上数据得出y与x的回归模型：。为了评价两种模型的拟合效果，请完成以下任务：‎ ‎①完成下表(计算结果精确到0.01元)(备注：称为相应于点(xi，yi)的残差)；‎ ‎②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q1及Q2，并通过比较Q1，Q2的大小，判断哪个模型拟合效果更好。‎ ‎(3)根据市场调查，生猪存栏数量达到1万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为7.5元；生猪存栏数量达到1.2万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为7.2元。若按(2)中拟合效果较好的模型计算一天中一头猪的平均成本，问该生猪存栏数量选择1万头还是1.2万头能获得更多利润?请说明理由。(利润＝收入－成本)‎ 参考公式：。‎ 参考数据：。‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知A(x0，0)，B(0，y0)两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|＝1，若动点P(x，y)满足。‎ ‎(1)求出动点P的轨迹C的标准方程；‎ ‎(2)设动直线l与曲线C有且仅有一个公共点，与圆x2＋y2＝7相交于两点P1，P2(两点均不在坐标轴上)，求直线OP1、OP2的斜率之积。‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)＝＋lnx(a∈R，a为常数)。。‎ ‎(1)讨论函数f(x)的单调性；‎ ‎(2)若函数f(x)在(e，＋∞)内有极值，试比较ea－1与ae－1的大小，并证明你的结论。‎ ‎(二)选考题：共10分。请考生在22、23两题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题记分。‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C1的方程为x2＋(y－1)2＝1。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。‎ ‎(1)求直线l和曲线C1的极坐标方程；‎ ‎(2)曲线C2：θ＝α(ρ>0，0<α<)分别交直线l和曲线C1于点A，B，求的最大值及相应α的值。‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|3x－a|＋|3＋x|。‎ ‎(1)若a＝3，解不等式f(x)≤6；‎ ‎(2)若不存在实数x，使得f(x)≤1－a－|6＋2x|，求实数a的取值范围。‎