2018-2019学年湖南省娄底市高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年湖南省娄底市高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年湖南省娄底市高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设命题，，则为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据非命题的要求得解.‎ ‎【详解】‎ 因为“任意”的否定是“存在”，“等于”的否定是“不等于”‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查非命题，注意区别非命题与命题的否定，属于基础题.‎ ‎2．已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求函数定义域得集合A，求函数值域得集合B，取交集即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 由函数y＝ln（9﹣x2），得9﹣x2＞0，‎ 即（x+3）（x﹣3）＜0，解得：﹣3＜x＜3，‎ 所以集合A＝（﹣3，3），‎ 由函数＞0，得集合B＝（0，+∞），‎ 则A∩B＝．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集的运算及函数定义域值域的求法，属于基础题.‎ ‎3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　‎ A．6 B．8 C．10 D．12‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，下半部分为正方体，棱长为，上半部分为直三棱柱，高为，底面是等腰直角三角形，直角边长为，再由正方体与棱柱的体积公式求解．‎ ‎【详解】‎ 由三视图还原原几何体如图，‎ 该几何体为组合体，下半部分为正方体，棱长为，上半部分为直三棱柱，高为，底面是等腰直角三角形，直角边长为，则该几何体的体积, 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是基础题．‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据输入的条件执行循环，并且每一次都要判断结论是或否，直至退出循环.‎ ‎【详解】‎ ‎，，，；，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查程序框图，执行循环，属于基础题.‎ ‎5．函数的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】可采用排除法，根据奇偶性和特殊点的函数值的正负进行排除.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以的图象关于原点对称，故排除；‎ 当时，，当时，，所以，排除B．‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数的奇偶性和特殊点的函数值的正负识别图像，属于基础题.‎ ‎6．设点的坐标为，点在抛物线上移动，到直线 的距离为，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先由抛物线的定义转化所求的距离和，再根据两点之间线段最短求最值.‎ ‎【详解】‎ 点到准线的距离为，于是，‎ 所以的最小值为．‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义和两线段之和最值，属于中档题.‎ ‎7．已知函数的图像在点处的切线与直线平行，则 A．1 B． C． D．-1‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出曲线在点处切线的斜率，求出函数的导函数，根据两直线平行的条件，令， ，求出；‎ ‎【详解】‎ ‎，所以，又直线得斜率为，由两直线平行得：，所以 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了运算能力，属于中档题．‎ ‎8．有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，有人走访了这四位大学生，甲说：“是丙获奖.”乙说：“是丙或丁获奖.”丙说：“乙、丁都未获奖.”丁说：“我获奖了.”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据四位大学生的话只有两人说的是对的，假设其中一人说的对，如果和条件不符合，就说明假设的不对，如果和条件相符，则按假设的方法解决问题.‎ ‎【详解】‎ 若甲说的对，则乙、丙两人说的也对，这与只有两人说的对不符，故甲说的不对；‎ 若甲说的不对，乙说的对，则丁说的也对，丙说的不对，符合条件，故获奖的是丁；‎ 若若甲说的不对，乙说的不对，则丁说的也不对，故本题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了推理的应用，假设法是经常用的方法.‎ ‎9．已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】B ‎【解析】根据等差中项的定义和等比数列的通项公式求解 ‎【详解】‎ 因为，，成等差数列，所以，‎ 又因为为等比数列，所以，即，解得．‎ 因为数列的各项均为正数，所以．‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差中项和等比数列的通项公式，属于基础题.‎ ‎10．在中，“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】根据诱导公式和三角形的关系判断是否从左推右成立或从右推左成立，从而判断充分条件和必要条件.‎ ‎【详解】‎ 若，则；‎ 若，则，‎ 因为A，B为三角形的内角，所以或，‎ 即或．‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分条件和必要条件，属于基础题.‎ ‎11．已知函数在区间上单调递增．将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度．得到函数的图象，且当时，，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据正弦的二倍角化简，再由函数的单调性和值域求解.‎ ‎【详解】‎ 将化简，得，‎ 由已知可得，则．因为，所以．‎ 所以，‎ 当时，，‎ 又，结合正弦函数的图象可得，‎ 所以．‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的恒等变换和函数的单调性和值域，属于基础题.‎ ‎12．设是双曲线的一个焦点，，是的两个顶点，上存在一点，使得与以为直径的圆相切于，且是线段的中点，则的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据图形的几何特性转化成双曲线的之间的关系求解.‎ ‎【详解】‎ 设另一焦点为，连接，由于是两的切线，‎ 则，且，‎ 又是的中点，则是的中位线，‎ 则，且，‎ 由双曲线定义可知，‎ 由勾股定理知，，，‎ 即，渐近线方程为，‎ 所以渐近线方程为．‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单的几何性质，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．若x，y满足约束条件，则的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.‎ ‎【详解】‎ 画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值，且最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.‎ ‎14．函数在上的最大值是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出导函数，求解极值点，然后判断函数的单调性求解函数的最大值即可．‎ ‎【详解】‎ 函数，，令，解得．‎ 因为，函数在上单调递增，在单调递减；‎ 时，取得最大值，．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的导数的应用，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键．‎ ‎15．将正整数排成如表，则在表中第行第个数是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】观察归纳每一行最后一个数的特征再求解.‎ ‎【详解】‎ 因为每行的最后一个数分别是 可归纳出第行的最后一个数是，‎ 因为，所以第行第个数为．‎ 故得解.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查观察归纳能力，属于基础题.‎ ‎16．已知，，且．若成立，则的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据均值不等式的“1”的妙用得最值求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 当且仅当，时，取等号，‎ 由题意得，解得或．‎ 故得解.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查均值不等式，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．在等差数列中，，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】(1)根据等差数列的通项公式求解；‎ ‎(2)运用裂项相消法求数列的和.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，∴，‎ 即．‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 即.‎ 利用累加法得 ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式和裂项相消法求数列的和.‎ ‎18．在中，角所对的边分别为，已知，‎ ‎．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的周长．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】(1)由三角函数的恒等变换化简角，再运用正弦定理边角互化得解；‎ ‎(2)由余弦定理反映三角形的三边的关系求解三角形的周长.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，‎ 得，即，‎ 所以，．‎ 因为，所以，故 ．‎ ‎（2）由余弦定理得，‎ 所以．‎ 因为，所以，．‎ 于是．‎ 的周长为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查运用三角形的正弦定理和余弦定理，属于中档题.‎ ‎19．已知动圆C过定点F（2，0），且与直线x=-2相切，圆心C的轨迹为E，‎ ‎（1）求圆心C的轨迹E的方程；‎ ‎（2）若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标（1，1），求|PQ|．‎ ‎【答案】（1）y2=8x（2）‎ ‎【解析】根据题意，动圆的圆心C到定点F距离等于圆心C到直线的距离，可判断圆心C的轨迹为抛物线，由抛物线定义即可求得E的轨迹方程。‎ 设出直线斜率，及P、Q的坐标，根据中点坐标利用点差法求出斜率，可得直线方程，联立抛物线方程，利用弦长公式即可求出。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题设知，点C到点F的距离等于它到直线x=-2的距离，‎ 所以点C的轨迹是以F为焦点x=-2为基准线的抛物线，‎ 所以所求E的轨迹方程为y2=8x．‎ ‎（2）由题意已知，直线l的斜率显然存在，‎ 设直线l的斜率为k， ‎ 则有，‎ 两式作差得即得，‎ 因为线段PQ的中点的坐标为（1，1），所以k=4，‎ 则直线l的方程为y-1=4（x-1），即y=4x-3，‎ 与y2=8x联立得16x2-32x+9=0，‎ 得，‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。将直线代入曲线方程，化为关于（或关于）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。‎ ‎20．设函数.‎ ‎（1）若，求的极值；‎ ‎（2）若，求的单调区间.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】（1）当时，对函数求导，利用导数性质，即可求出极值。（2）当时，对函数求导，利用导数性质求出单调区间即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以 当时，，当，.‎ 所以在处取得极小值，极小值为，无极大值.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 令，得，.‎ 当时，，当时，.‎ 故的单调递增区间为.‎ 的单调递减区间为，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数求函数极值与单调区间的问题，属于中档题。‎ ‎21．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的焦点弦的弦长为，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线，互相垂直，直线过且与椭圆交于点，两点，直线过且与椭圆交于，两点.求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）根据周长确定，由通径确定，求得，因而确定椭圆的方程。‎ ‎（2）分析得直线、直线的斜率存在时，根据过焦点可设出AB直线方程为，因而直线的方程为.联立椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程.由韦达定理求得和，进而.‎ ‎ 当AB斜率不存在时，求得，，所以 ‎。‎ ‎ 当直线的斜率为时，求得，，所以。‎ 即可判断。‎ 详解：（1）将代入，得，所以.‎ 因为的周长为，所以，，‎ 将代入，可得，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）（i）当直线、直线的斜率存在且不为时，‎ 设直线的方程为，则直线的方程为.‎ 由消去得.‎ 由韦达定理得，，‎ 所以， .‎ 同理可得.‎ ‎ .‎ ‎（ii）当直线的斜率不存在时，，，.‎ ‎（iii）当直线的斜率为时，，，.‎ 综上，.‎ 点睛：本题综合考查了圆锥曲线的定义、应用，对直线和圆锥曲线的位置问题，常见方法是设出直线方程，联立曲线方程，得到一元二次方程，利用韦达定理解决相关问题，思路较为清晰，关键是注意计算，综合性强，属于难题。‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）当，求函数的单调区间；‎ ‎（2）证明：当时，.‎ ‎【答案】(1) 函数的单调递减区间是，，单调递增区间是 (2)见解析 ‎【解析】分析：（1）把代入，取导函数，因而判断导数的符号即可判断单调区间。‎ ‎（2）将函数变形，构造函数，求导函数。构造函数，则，根据导函数的单调性求其最值，即可证明不等式。‎ 详解：函数的定义域为，‎ ‎（1）函数，‎ 当且时，；当时，，‎ 所以函数的单调递减区间是，，单调递增区间是.‎ ‎（2）问题等价于.‎ 令，则，‎ 当时，取最小值.‎ 设，则.‎ 在上单调递增，在上单调递减. ‎ ‎∴，‎ ‎∵ ，‎ ‎∴，∴，‎ 故当时，. ‎ 点睛：本题考查了导数单调性、导数不等式证明等综合应用，在高考中导数是重点、难点，综合性强，对分析解决问题能力要求很高，属于难题。‎