2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．如果,那么下列不等式中正确的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据已知条件分别对A、B、C、D，四个选项利用特殊值代入进行求解．‎ ‎【详解】‎ A、如果a＜0，b＞0，那么，∴，故A正确；‎ B、取a＝﹣2，b＝1，可得，故B错误；‎ C、取a＝﹣2，b＝1，可得a2＞b2，故C错误；‎ D、取a，b＝1，可得|a|＜|b|，故D错误；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查不等关系与不等式，利用特殊值法进行求解更加简便，此题是一道基础题．‎ ‎2．实数为数列比数列，则（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】D ‎【解析】利用等比数列的通项公式或者等比中项求解.‎ ‎【详解】‎ 由等比数列性质得，所以.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的性质，等比中项一般是有两个结果，注意不同情境对结果的取舍.‎ ‎3．在等差数列中，若，，则等于（ ）‎ A．9 B．7 C．6 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用等差数列的性质能求出 ，利用等差数列前n项和公式能求出 a2=-1，求得d,由此能求出a5．‎ ‎【详解】‎ 因为， 所以5a7=55，所以， 因为，所以 ， 所以公差 ， 所以 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的第5项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．‎ ‎4．在中，，，且的面积为，则（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据三角形的面积求出AB，再利用余弦定理求BC得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得.‎ 由余弦定理得 所以BC=2.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角形的面积的应用和余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5．在数列中，已知，，则其通项公式为等于（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意可直接构造一个新数列成等比数列，求出新数列的通项公式，然后求出的通项公式。‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，‎ 由题意得，‎ 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，‎ 所以，‎ 所以，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查新数列的构造，利用构造一个新等比数列，求出新数列的通项公式，从而求出所求数列的通向公式。‎ ‎6．中，若，则该三角形一定是（ ）‎ A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等腰三角形但不是直角三角形 D．直角三角形但不是等腰三角形 ‎【答案】A ‎【解析】利用正弦定理，同角三角函数基本关系式得tanB＝1，tanC＝1，即B＝C＝，可得△ABC为等腰直角三角形．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，由正弦定理，‎ 可得 解得sinB＝cosB，sinC＝cosC，可得tanB＝1，tanC＝1，‎ 又∵B，C∈（0，π），‎ ‎∴B＝C＝，可得：A＝π﹣B﹣C＝，‎ ‎∴△ABC为等腰直角三角形．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理在解三角形中的应用，属于基础题．‎ ‎7．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问：乙应该分得（ ）白米 A．96石 B．78石 C．60石 D．42石 ‎【答案】C ‎【解析】由只知道甲比丙多分三十六石，求出公差18，再由180，能求出甲应该分得78石，进而可得结果．‎ ‎【详解】‎ 解：今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，‎ 只知道甲比丙多分三十六石，‎ ‎∴18，‎ ‎180，‎ 解得＝78（石）．‎ ‎∴＝7818=60石 ‎∴乙应该分得60石．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的首项的求法，考等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎8．若实数x＋y＋z＝1，则2x2+y2+3z2 的最小值为(  )‎ A．1 B． C． D．11‎ ‎【答案】C ‎【解析】由柯西不等式可知：（x+y+z）2≤（2x2+y2+3z2）（+12+）， ‎ 故2x2+y2+3z2≥，即：x2+2y2+3z2的最小值为.‎ 故答案为：C.‎ ‎9．在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是 A．，， B．，，‎ C．，， D．，，‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据全等三角形的判断方法，判断A,B两个选项有一个解.根据判断C选项有一个解.根据判断D选项有两个解.‎ ‎【详解】‎ 根据“有两个角两角相等，且有一边相等的两个三角形全等”可知A选项有一个解.根据“两边对应相等，且这两边的夹角相等，则这两个三角形全等”可知B选项有一个解.由于为锐角，且，故C选项有一个解.对于D选项，由于，所以D选项有两个解.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查解三角形过程中，三角形解得个数的判断，属于中档题.‎ ‎10．已知数列满足：，则的前40项的和为（ ）‎ A．860 B．1240 C．1830 D．2420‎ ‎【答案】B ‎【解析】本道题结合得到数列的递推公式,利用等差数列求和公式,计算结果,即可.‎ ‎【详解】‎ 令,‎ ‎,第一个式子和第二个式子相减,得到 ‎,第二个式子和第三个式子左右两边相加得到 故 ‎,故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了数列求和,关键把握好数列的递推公式,难度偏难.‎ ‎11．已知，不等式的解集为.若对任意的，恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先根据韦达定理求出b和c的值，再根据不等式恒成立求出m的范围.‎ ‎【详解】‎ 由题得，所以b=4,c=6.‎ 所以.‎ 因为对任意的，恒成立，‎ 所以对任意的，恒成立，‎ 因为y=在[-1,0]上的最大值为4.‎ 所以m≥4.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查一元二次不等式的解和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎12．已知数列的前项和为，且满足，若不等式对任意的正整数恒成立，则整数的最大值为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，根据数列数列满足，得，所以数列表示首项，公差为2的等差数列，求得，又由恒成立，转化为对任意的正整数恒成立，利用数列的单调性，求得当时，求得最大值，此时最大值为，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，数列满足，则当时，，‎ 两式相减可得，‎ 所以，又由，所以，‎ 即，所以数列表示首项，公差为2的等差数列，所以，‎ 又由，即，‎ 即，即对任意的正整数恒成立，‎ 即对任意的正整数恒成立，‎ 设，则，‎ 所以，当时，求得最大值，此时最大值为，‎ 所以，即，所以的最大整数为4，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的递推公式求数列的通项公式，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中根据数列的递推关系式，求得数列的通项公式，把不等式的恒成立问题转化为对任意的正整数恒成立是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ 二、填空题 ‎13．数列中，，，，则为__________．‎ ‎【答案】19‎ ‎【解析】分析：利用数列的递推公式，逐个写出项的值。‎ 详解：由递推公式可得 所以 ‎ 点睛：本题考查了数列递推公式的应用，属于简单题。‎ ‎14．在锐角中，角的对边分别为，若 ， ，则的取值范围是_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先由正弦定理化简可得 ,再由 和正弦定理把边化角，利用化一公式即可求出 的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 解：在 中，由正弦定理可得:‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ 又因为为锐角三角形，‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理，锐角三角形求角的范围，以及化一公式的应用。‎ ‎15．将数列3，6，9，……按照如下规律排列，‎ 记第行的第个数为，如，若，则_______．‎ ‎【答案】44‎ ‎【解析】本题首先可以通过数列来确定2019是数列的第673项，然后通过计算前多少行共有多少个数来确定第673项在哪一行，最后即可得出的值并计算出结果。‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，数列是一个首项为3、公差为3的等差数列，‎ 令数列为数列，则有，2019是数列的第673项，‎ 再由图可知：‎ 前1列共有1个数；‎ 前2列共有个数；‎ 前3列共有个数；‎ 前4列共有个数；‎ ‎；‎ 前36列共有个数；‎ 前37列共有个数；‎ 所以2019是第37列第7个数，故。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的相关性质，主要考查数列的某一项的项数以及数列的前项和，考查推理能力以及计算能力，考查学生从题意中获取信息并寻找规律的能力，是中档题。‎ ‎16．在中，点在线段上，且，，则面积的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在、中通过互补的两个角做为纽带，根据它们的余弦和为零，构造等式，通过这个等式，利用基本不等式，可以得到两边乘积的最大值，最后根据面积公式，可求出面积的最大值。‎ ‎【详解】‎ 设， 所以,‎ 在中，由余弦定理可知：，‎ 在中，由余弦定理可知：，‎ ‎ ，①‎ 在中，由余弦定理可知：， ②,‎ 由①②可得 ，③‎ 因为④（当且仅当等号成立），把③代入④中得，‎ 面积.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦定理、面积公式、基本不等式。解决本题的关键是根据图形的特点，在两个三角形中，互补两个角的余弦值互为相反数，来构造等式来求解。‎ 三、解答题 ‎17．已知x，y是实数，求证：．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】利用综合法，证明不等式即可．‎ ‎【详解】‎ 因为，可得，‎ ‎，可得，‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的证明，综合法的应用，是基本知识的考查.‎ ‎18．在等差数列中，公差，且，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据已知求出公差d和，即得数列的通项公式；（2）利用裂项相消求数列的前项和．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题可得，‎ 联立解得或（舍去）‎ ‎，.‎ ‎(2)由题知，‎ 得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的通项的求法和裂项相消求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎19．已知的内角的对边分别为，且．‎ ‎（1）求B；‎ ‎（2）若，求c边长及的面积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）,面积 ‎【解析】（1）根据正弦定理，结合两角和差的正弦公式进行求解即可；（2）结合余弦定理求出c的值，结合三角形的面积公式进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 即，‎ 得，‎ 即，‎ ‎∵，‎ ‎∴，得．‎ ‎（2）∵．‎ ‎∴．‎ 即，即，‎ 得，得舍，或，‎ 则三角形的面积．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角形边长与面积的计算，结合正弦定理以及余弦定理求出角和边的值是解决本题的关键．‎ ‎20．已知函数.‎ 当时，求不等式的解集；‎ 若，的最小值为，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】(1)利用分类讨论法解不等式；（2）由题得，再利用基本不等式求的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当，时，，‎ 当x≤-1时，-2x≤4，x≥-2,即-2≤x≤-1.‎ 当-1＜x≤1时，2≤4成立.‎ 当x＞1时，2x≤4，x≤2.所以1＜x≤2.‎ 所以的解集为.‎ ‎（2）因为，又最小值为 所以，又， ‎ 所以 当且仅当，时取等号 故的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查绝对值不等式的解法，考查三角绝对值不等式和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21．在中，角的对边分别为，已知，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）如图，为边上一点，且，求的面积．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）先由得，求出，根据余弦定理即可求出结果；‎ ‎（2）先由（1）得到，求出，进而得到，，再由面积公式即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由得，，‎ 又，所以.‎ 由余弦定理得，‎ 所以，. ‎ ‎（2）由（1）得，，‎ ‎，即.‎ 在中，，‎ ‎， ‎ 所以，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查解三角形，熟记余弦定理以及三角形面积公式即可，属于常考题型.‎ ‎22．已知数列满足，，，数列满足．‎ ‎（1）证明是等差数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）设数列满足，，记表示不超过的最大整数，求不等式的解集．‎ ‎【答案】（1）（2）．‎ ‎【解析】（1）根据等差数列的证明方法，即证明是常数即可；根据是等差数列可求得的通项公式。‎ ‎（2）通过构造数列的方法证明出，进而求出；再由数列的单调性求得。将不等式转化为关于n的不等式组，进而求得n的值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 是首项为，公差为2的等差数列． ‎ 因为，即， ‎ ‎ 所以 ‎，‎ 又满足上式，所以的通项公式为． ‎ ‎（2）由已知得，，，‎ ‎，‎ 即， ，‎ 又，，，‎ ‎，，不等式等价于，，‎ ‎，或2，‎ 故不等式的解集为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的证明，通项公式求法，数列求和公式的综合应用，对分析问题、解决问题能力要求较高，属于难题。‎