高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：3-1-2 两条直线平行与垂直的判定

高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：3-1-2 两条直线平行与垂直的判定

一、选择题 ‎1．下列命题 ‎①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；‎ ‎②如果两直线平行，则它们的斜率相等；‎ ‎③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；‎ ‎④如果两直线垂直，则它们的斜率之积为－1.‎ 其中正确的为(　　)‎ A．①②③④ B．①③‎ C．②④ D．以上全错 ‎[答案]　B ‎[解析]　当两直线l1，l2的斜率k1，k2都存在且不重合时，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1，故①③正确；当两直线都与x轴垂直时，其斜率不存在，但它们也平行，故②错；当两直线中一条直线与x轴平行(或重合)，另一条直线与x轴垂直时，它们垂直，但一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在，故④错．‎ ‎2．过点A(1,2)和点B(－3,2)的直线与x轴的位置关系是(　　)‎ A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 ‎[答案]　B ‎[解析]　∵A、B两点纵坐标相等，‎ ‎∴直线AB与x轴平行．‎ ‎3．已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1)，若l1过原点O(0,0)，则l2与y轴交点的坐标为(　　)‎ A．(2,0) B．(0,2)‎ C．(0,1) D．(1,0)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　设l2与y轴交点为B(0，b)，‎ ‎∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1.‎ ‎∴kOAkAB＝－1.‎ ‎∴×＝－1，‎ 解得b＝2，即l2与y轴交点的坐标为(0,2)．‎ ‎4．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)、(6，y)，且l1⊥l2，则y＝(　　)‎ A．2 B．－2‎ C．4 D．1‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵l1⊥l2且k1不存在，∴k2＝0，‎ ‎∴y＝1.故选D.‎ ‎5．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为(　　)‎ A．(3,0) B．(－3,0)‎ C．(0，－3) D．(0,3)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　设P(0，y)　∵l1∥l2　∴＝2‎ ‎∴y＝3　故选D.‎ ‎6．满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是(　　)‎ ‎①l1的斜率为2，l2过点A(1,2)，B(4,8)‎ ‎②l1经过点P(3,3)，Q(－5,3)，l2平行于x轴，但不经过P点；‎ ‎③l1经过点M(－1,0)，N(－5，－2)，l2经过点R(－4，3)，S(0,5)．‎ A．①② B．②③‎ C．①③ D．①②③‎ ‎[答案]　B ‎7．已知两点A(2,0)、B(3,4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，且O、A、B、C四点共圆，那么y的值是(　　)‎ A．19 B. C．5 D．4‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由于A、B、C、O四点共圆，‎ 所以AB⊥BC　∴·＝－1　∴y＝ 故选B.‎ ‎8．过点E(1,1)和点F(－1,0)的直线与过点M(－，0)和点N(0，)(k≠0)的直线的位置关系是(　　)‎ A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．相交或重合 ‎[答案]　C ‎[解析]　kEF＝＝，kMN＝＝，‎ 又当k＝2时，EF与MN重合．‎ 二、填空题 ‎9．经过点P(－2，－1)和点Q(3，a)的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a＝________.‎ ‎[答案]　4‎ ‎[解析]　由题意，得tan45°＝，解得a＝4.‎ ‎10．已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，点D(m,1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由题意得AD⊥BC，则有kADkBC＝－1，‎ 所以有·＝－1，解得m＝.‎ ‎11．直线l过点A(0,1)和B(－2,3)，直线l绕点A顺时针旋转90°得直线l1，那么l1的斜率是______；直线l绕点B逆时针旋转15°得直线l2，则l2的斜率是______．‎ ‎[答案]　1　－ ‎[解析]　∵kAB＝－1，∴直线l的倾斜角α＝135°.‎ ‎(1)∵l1与l垂直，∴kl1＝1.‎ ‎(2)∵∠ABC＝15°，∠CDB＝135°，‎ ‎∴∠β＝135°＋15°＝150°，‎ ‎∴kl2＝tan150°＝tan(180°－30°)＝－tan30°＝－.‎ ‎12．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________.‎ ‎[答案]　2　－ ‎[解析]　当l1⊥l2时，k1k2＝－1，‎ ‎∴－＝－1.∴b＝2.‎ 当l1∥l2时，k1＝k2，‎ ‎∴Δ＝(－3)2＋4×2b＝0.∴b＝－.‎ 三、解答题 ‎13．直线l1经过点A(m,1)，B(－3,4)，直线l2经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，当l1∥l2或l1⊥l2时，分别求实数m的值．‎ ‎[解析]　当l1∥l2时，‎ 由于直线l2的斜率存在，则直线l1的斜率也存在，‎ 则kAB＝kCD，即＝，解得m＝3；‎ 当l1⊥l2时，‎ 由于直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，则kABkCD＝－1，‎ 即·＝－1，解得m＝－.‎ 综上，当l1∥l2时，m的值为3；当l1⊥l2时，m的值为－.‎ ‎14．已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．‎ ‎(1)求点D的坐标；‎ ‎(2)试判定▱ABCD是否为菱形？‎ ‎[解析]　设D(a，b)，∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴kAB＝kCD，kAD＝kBC，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴D(－1,6)．‎ ‎(2)∵kAC＝＝1，kBD＝＝－1，‎ ‎∴kAC·kBD＝－1.∴AC⊥BD.‎ ‎∴▱ABCD为菱形．‎ ‎15．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．‎ ‎[分析]　分类讨论直角梯形ABCD的腰和底，利用直线平行和垂直的斜率关系解决．‎ ‎[解析]　(1)如下图，当∠A＝∠D＝90°时，‎ ‎∵四边形ABCD为直角梯形，‎ ‎∴AB∥DC且AD⊥AB.‎ ‎∵kDC＝0，∴m＝2，n＝－1.‎ ‎(2)如下图，当∠A＝∠B＝90°时，‎ ‎∵四边形ABCD为直角梯形，‎ ‎∴AD∥BC，且AB⊥BC，∴kAD＝kBC，kABkBC＝－1.‎ ‎∴ 解得m＝，n＝－.‎ 综上所述，m＝2，n＝－1或m＝，n＝－.‎ ‎16．已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A、B为直径的端点作圆与x轴有交点C，求交点C的坐标．‎ ‎[分析]　本题中有三个点A、B、C，由于AB为直径，C为圆上的点，所以∠ACB＝90°，因此，若斜率存在，则必有kAC·kBC＝－1.列出方程求解即可．‎ ‎[解析]　以线段AB为直径的圆与x轴交点为C，则AC⊥CB ‎.据题设条件可知AC，BC的斜率均存在．设C(x,0)，则kAC＝，kBC＝.‎ ‎∴·＝－1.去分母解得x＝1或2.‎ ‎∴C(1,0)或C(2,0)．‎ 规律总结：当AC或BC的斜率不存在时，不满足AC⊥BC.这是很明显的(上图)．故不需对AC或BC斜率不存在的情形作讨论．‎