【数学】福建省龙岩市2020届高三上学期期末教学质量检查试题（理）（解析版）

【数学】福建省龙岩市2020届高三上学期期末教学质量检查试题（理）（解析版）

福建省龙岩市2020届高三上学期期末教学质量检查 数学试题（理）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合，，则下列判断正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，‎ ‎，‎ 对于A，，故A不正确；‎ 对于B，集合中不含，故B不正确； ‎ 对于C，，故C正确；‎ 对于D，，故D不正确；‎ 故选：C.‎ ‎2.设，，则的值为（ ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ 则，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎3.如图，一个装饰物的正视图、侧视图都是边长为2，且有一个内角为的菱形，俯视图是正方形，则这个装饰物的体积为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图知该几何体是两个大小相同的正四棱锥的组合体，‎ 正视图、侧视图均都是边长为2，且有一个内角为的菱形，‎ 所以正四棱锥的底边边长为，高为，‎ 所以组合体的体积为,‎ 故选：A.‎ ‎4.已知首项为1，公比为的等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】，当时，则，所以，‎ 当时，，解得，‎ 所以“”是“”的必要不充分条件.‎ 故选：B.‎ ‎5.已知圆被两直线，分成面积相等的四部分，且截轴所得线段的长为4.则圆的方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设圆的方程为，‎ 圆被两直线，分成面积相等的四部分，‎ 圆心一定是两条直线，的交点，‎ 联立，解得，，‎ 又圆截轴所得线段的长为4，‎ ‎，‎ 则圆的方程.‎ 故选：B.‎ ‎6.函数的部分图象大致为（ ）‎ A. B. C. ‎ ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数，‎ 设，可得为奇函数，‎ 所以的图像关于对称，‎ 则的图像关于对称，故排除A、C 当时，，即，故排除B.‎ 故选：D.‎ ‎7.如图所示，已知在中，，，交于点，若，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 三点共线，，解得，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎8.已知函数，对任意的，，当时，，则下列判断正确的是（ ）‎ A. ‎ B. 函数在上递增 C. 函数的一条对称轴是 ‎ D. 函数的一个对称中心是 ‎【答案】D ‎【解析】，‎ 又，即，‎ 有且仅有满足条件；‎ 又，则，‎ ‎，函数，‎ ‎ 对于A，，故A错误；‎ 对于B，由，‎ 解得，故B错误；‎ 对于C，当时，，故C错误； ‎ 对于D，由，故D正确.‎ 故选：D.‎ ‎9.某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏.为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）.该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励80慧币；第二种，闯过第一关奖励8慧币，以后每一关比前一关多奖励8慧币；第三种，闯过第一关奖励1慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加1倍）.游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案.已知一名闯关者冲关数一定超过3关但不会超过9关，为了得到更多的慧币，他应如何选择奖励方案？‎ A. 选择第一种奖励方案 B. 选择第二种奖励方案 C. 选择第三种奖励方案 D. 选择的奖励方案与其冲关数有关 ‎【答案】A ‎【解析】设冲关数为，三种方案获得慧币为，‎ 由题意可知：；，‎ ‎；‎ 当时，，，，‎ 故选择第一种奖励方案.‎ 故选：A.‎ ‎10.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（ ）‎ A. 4 B. 8 C. 9 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知，‎ 当直线的斜率不存在时，可得，所以，即；‎ 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线方程：，‎ 则，整理可得，所以，‎ 所以，‎ 当且仅当时，取等号，‎ 故的最小值为9.‎ 故选：C.‎ ‎11.已知函数有唯一零点，则（ ）‎ A. B. -2 C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】因函数，‎ 所以，‎ 所以的图象直线关于对称，函数有唯一零点，则必有，‎ 即，解得.‎ 故选：B.‎ ‎12.正四面体的棱长为2，动点在以为直径的球面上，则的最大值为（ ）‎ A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设的中点为，以为原点建立如图所示的空间坐标系，‎ 则，‎ 设，则，，‎ ‎，‎ 在以为球心，以为半径的球面上，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎ ‎ 令，‎ 则直线与单位圆相切时，截距取得最小值，‎ 令，解得或 ‎ 的最大值为. ‎ 故选：C.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13.设，向量，，且，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由向量，，且，‎ 所以，解得，‎ 则 ‎ 所以，‎ 故答案为：.‎ ‎14.已知实数，满足约束条件，则的最小值为______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】作出实数，满足约束条件的可行域，如图所示，‎ ‎ ‎ 由解得 ，，‎ 作出直线：，‎ 将目标函数化为，‎ 目标函数过点时，，‎ 综上所述，的最小值为1.‎ 故答案为：1.‎ ‎15.已知双曲线：的左焦点为，过原点的直线与双曲线相交于、两点.若，，，则双曲线的实轴长______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在中，，，，‎ 由余弦定理可得，‎ ‎ ‎ 从而可得，解得，‎ 所以为直角三角形， ‎ 设为双曲线的右焦点，连接，根据对称性可得四边形是矩形，‎ 所以，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎16.已知数列的通项公式为，其前项和记为 ‎，则下列命题正确的是______.‎ ‎①数列为递减数列；‎ ‎②对任意正整数，都成立；‎ ‎③对任意正整数，都成立；‎ ‎④对任意正整数，都成立.‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】可知①是明显错误的.‎ 对于②，由得，所以②正确，‎ 对于③④，‎ ‎，所以④正确，③是错误的.‎ 故答案为：②④.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.已知函数的最小值为-2.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，求的长.‎ 解：（1）‎ ‎.‎ ‎∵的最小值为-2，∴，解得.‎ ‎（2）由得，∵，∴，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∵，，∴.‎ ‎∴.‎ 由正弦定理，得，得，即.‎ ‎18.如图，正方体，点，，分别是棱，，的中点，动点在线段上运动.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值.‎ ‎（1）证明：如图：连接，，，， ‎ ‎∵，分别是，的中点，∴.‎ 又，∴，∵平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵，分别是，的中点，∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴，‎ 又，，∴，，‎ ‎∴四边形是平行四边形，∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵，∴平面平面，‎ 又∵平面，∴平面.‎ ‎（2）解：以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，‎ 如图所示建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，‎ 则，，，，，‎ ‎，，，‎ ‎∵在线段上，令，‎ 则，‎ ‎，‎ 设是平面的法向量，则 ‎，即，取，得，，‎ ‎∴.‎ 设直线与平面所成角为，则 ‎，‎ ‎∵，∴时，.‎ ‎∴直线与平面所成角的正弦值的最大值.‎ ‎19.党的十九大报告明确指出要坚决打赢脱贫攻坚战，让贫困人口和贫困地区同全国一道进入全面小康社会，要动员全党全国全社会力量，坚持精准扶贫、精准脱贫，确保到2020年我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫.现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作.经摸底排查，该村现有贫困农户100户，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其户数必须小于种植的户数.从2018年初开始，若该村抽出户（，）从事水果包装、销售.经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为万元.（参考数据：，，，）.‎ ‎（1）至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.32万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由；‎ ‎（2）至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（即每户（水果种植农户）年均纯收入不低于1.6万元），至少要抽出多少户从事包装、销售工作？‎ 解：（1）假设至2018年底每户年均纯收入能达到1.32万元，由已知可得：‎ 每户的平均收入为：，‎ 令，‎ 化简，得，解得：，‎ 因为，， 且，可得：，‎ 所以，当从事包装、销售的户数为16，20，24，28，32，36户时能达到每户平均纯收入1.32万元.‎ ‎（2）由已知可得：至2020年底，种植户每户平均收入，‎ 令，得：，‎ 由题所给数据，知：，所以，，‎ 所以，的最小值为4，，‎ 即至少抽出16户从事包装、销售工作.‎ ‎20.已知圆：，过且与圆相切的动圆圆心为.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）已知过点的两直线和互相垂直，且直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点（，，，为不同的四个点），求四边形的面积的最小值.‎ 解：（1）设动圆半径为，由于在圆内，故圆与圆内切，‎ 则，，∴，‎ 由椭圆定义可知，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为4的椭圆，‎ ‎，，，‎ ‎∴轨迹的方程为. ‎ ‎（2）若或的斜率不存在，四边形的面积，‎ 若两条直线的斜率都存在，设的斜率为，则的斜率为，‎ 则的方程为，的方程为，‎ 联立方程组，得，‎ 由韦达定理得，，‎ ‎，‎ 设，，则，‎ 同理可得，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ ‎∵，因此当时，四边形的面积取得最小值为.‎ 另解一：‎ ‎.‎ 当即时等号成立.‎ 另解二：也可以令换元求解.‎ ‎21.设函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个极值点，，求证：.‎ 解：（1），‎ 令，，‎ ‎①当时，在上单调递减，‎ ‎②当时，，由得，，‎ 当时，当时，，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎③当时，，，∴在上单调递减，‎ ‎④当时，，由得，‎ 当或时，，‎ 当时，，‎ ‎∴在，上单调递减，‎ 在上单调递增，‎ 综上所述，‎ 当时，在上单调递减，‎ 在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减；‎ 当时，在，上单调递减，‎ 在上单调递增.‎ ‎（2）由（1）得时，有两个极值点，设，‎ 则有且，‎ ‎∴‎ ‎，，‎ 令，，‎ ‎，‎ 令，则 ‎，‎ ‎∵，∴，，，‎ ‎∴当时，，∴在区间单调递增，‎ ‎∴，∴在区间单调递减，‎ ‎∴，‎ 综上，.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求和的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知与相切，求的值.‎ 解：（1）因为，，两式相减，有，‎ 所以的直角坐标方程为.‎ 直线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）联立与的方程，有，消，‎ 得，因为与相切，所以有 ‎，‎ 解得：.‎ ‎23.已知，，为正数，且满足，证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ 证明：（1）由，可得 ‎.‎ 当且仅当时，等号成立.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴‎ ‎（当且仅当时等号成立）‎ 即，∴.‎