安徽省枞阳县浮山中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学（理）试题

安徽省枞阳县浮山中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学（理）试题

浮山中学2019-2020学年第二学期期中测试（开学）‎ 高二数学试题（理科）‎ 试卷分值：150分 考试时间 120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的A，B，C，D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号填涂到答题卡相应位置.‎ ‎1．若复数满足，则复数在复平面上的对应点在第( )象限 A.一 B.二 C.三 D.四 ‎2．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．已知函数，若f（0）＜0，则此函数的单调减区间是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，+∞） C．（﹣3，﹣1] D．[﹣1，1）‎ ‎4．已知正实数a，b，c满足：，则（　　）‎ A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b ‎5．已知，若的最大值为M，的最小值为N，则M+N等于（　　）‎ A．0 B．‎2 ‎ C． D．‎ ‎6．已知函数f（x）＝，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+m﹣1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（1﹣，+∞） C．（1，e） D．（1﹣，1）‎ ‎7．已知y＝f（x+2）是奇函数，若函数g（x）＝f（x）﹣有k个不同的零点，记为x1，‎ x2，…，xk，则x1+x2+…+xk＝（　　）‎ A．0 B．k C．2k D．4k ‎8．已知函数f（x）＝sincosωx﹣（ω＞0）在[0，]上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是（　　）‎ A．（，） B．[，] C．[4，] D．[4，）‎ ‎9．已知函数，若对任意两个不相等的正数x1，x2，都有恒成立，则a的取值范围为（　　）‎ A．[4，+∞） B．（4，+∞） C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，4）‎ ‎10．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）ex，若方程f（x）＝a有3个不同的实根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则的取值范围是（　　）‎ A．（，0 ） B．（，0） C．（，） D．（0，）‎ ‎11．函数恰有一个零点，则实数的值为（　　）‎ A．4 B．‎3 ‎ C． D．‎ ‎12. 设函数是函数的导函数，当时，,则函数的零点个数为（　　）‎ A. 3 B‎.2 ‎C.1 D.0‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知，若，则的表达式为________．‎ ‎14.已知奇函数满足：对一切，且时，‎ ‎ .‎ ‎15.已知是函数的零点，是函数的零点，则 的值为__________‎ ‎16..已知函数f（x）＝2x﹣a，g（x）＝1+x3，若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围是　 　．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出说明文字、演算式。‎ ‎17.(10分)若在是减函数，求的最大值。‎ ‎18.（12分） 设函数=，．证明：‎ ‎(1)； (2)．‎ ‎19．（12分）已知函数f（x）＝．‎ ‎（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（m，2）（m＞0）处的切线方程为y＝﹣x+3，求f（x）的单调区间．‎ ‎（Ⅱ）若方程f（x）﹣1＝0在x∈（，e]上有两个实数根，求实数a的取值范围．‎ ‎20．（12分）已知函数f（x）＝2lnx+ax，g（x）＝x2+1﹣‎2f（x）‎ ‎（1）讨论函数f（x）在[4，+∞）上的单调性；‎ ‎（2）若a＞0，当x∈（1，+∞）时，g（x）≥0，且g（x）有唯一零点，证明：a＜1．‎ ‎21．(本小题12分)‎ 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B以及CD的中点P处，已知AB=‎20km，CB=‎10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD内(含边界)，且与A，B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为km．‎ ‎(I)设，将表示成的函数关系式；‎ ‎(II)确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最短，并求出最短值．‎ ‎22．(本小题12分)已知函数：‎ ‎(I)当时，求的最小值；‎ ‎(II)对于任意的都存在唯一的使得，求实数a的取值范围．‎ 高二数学试题（理科）参考答案 一．选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D C B B D C D A B A D 二．填空题：‎ ‎13． 14. 15.3 16.[﹣1，1]‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17（10分）解法一，且函数在区间 上单调递减，则由，得．‎ 因为在上是减函数，所以，解得，‎ 所以的最大值是，‎ 解法二 因为，所以，‎ 则由题意，知在上恒成立，‎ 即，即，在上恒成立，结合函数 的图象可知有，解得，所以，‎ 所以的最大值是，‎ ‎18.（12分） 解：(1)因为， ‎ 由于，有，即，所以 ‎(2)由得，‎ 故，‎ 所以.‎ 由(1)得，又因为，所以，‎ 综上，．‎ ‎19．（12分）解：（Ⅰ）f’（x）＝﹣+．由题意可得2＝﹣m+3，解得m＝1，‎ ‎∴，解得a＝2．∴f（x）＝+lnx，f’（x）＝﹣+＝．‎ 当x＞2时、f'（x）＞0，当0＜x＜2时、f'（x）＜0，‎ ‎∴f（x）的单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间为（0，2）．‎ ‎（Ⅱ）方程f（x）﹣1＝0在x 上有俩个实数根 即方程a＝x（1﹣Inx）在x 上有两个实数根，‎ 令h（x）＝x（1﹣lnx），则h'（x）＝1﹣lnx﹣1＝﹣Inx，‎ 当 ≤x＜1时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；‎ 当1＜x≤e时，h’（x）＜0， h（x）单调递减∴h（x）max＝h（1）＝1．‎ 又h（）＝，h（e）＝0，∴．即实数a的取值范围是（，1）‎ ‎20．（12分）解：（1）依题意，f′（x）＝+a＝‎ 若a＝0，则f′（x）＝＞0，故函数f（x）在[4，+∞）上单调递增；‎ 若a≠0，令f′（x）＝0，解得x＝﹣，‎ ‎①若a＞0，则﹣＜0，则f′（x）＞0，函数f（x）在[4，+∞）上单调递增；‎ ‎②若a≤﹣，则﹣≤4，则f′（x）≤0，则函数f（x）在[4，+∞）上单调递减；‎ ‎③﹣＜a＜0，则﹣＞4，则函数f（x）在[4，﹣]单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减；‎ 综上所述，a≥0时，函数f（x）在[4，+∞）上单调递增，a≤﹣时，函数f（x）在[4，+∞）单调递减，‎ ‎﹣＜a＜0时，函数f（x）在[4，﹣]单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减．‎ ‎（2）证明：依题意，x2+1﹣4lnx﹣2ax≥0，而g′（x）＝2x﹣﹣‎2a＝，‎ 令g′（x）＝0，解得x＝＞1，因为a＞0，故＞1，‎ 故g′（x）在（1，+∞）上有唯一零点x0＝，‎ 又g′（x）＝2（﹣+x﹣a）故﹣+x0﹣a＝0①‎ 要使g（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，且g（x）＝0有唯一解，只需g（x0）＝0，‎ 即﹣2lnx0+（x20+1）﹣ax0＝0②‎ 由①②可知，﹣2lnx0+（x2+1）﹣x0（﹣+x0）＝0，故﹣2lnx0﹣x20+＝0，‎ 令h（x0）＝﹣2lnx0﹣x20+，显然h（x0）在（1，+∞）上单调递减，‎ 因为h（1）＝2＞0，h（2）＝﹣2ln2+＜0，故1＜x0＜2，‎ 又a＝﹣+x0在（1，+∞）单调递增，故必有a＜1．‎ ‎21.（12分）（I）由条件PQ垂直平分AB，若，则，‎ 故，‎ 所以，‎ 所求函数关系式为 ‎（II）‎ 因为可看作点和点的连线的斜率，‎ 由单位圆知，当，所以，‎ 所以当，即点P位于线段AB的中垂线上且距离处时，‎ 三条排污管管道总长最短为.‎ ‎22.（12分）解：（I）…‎ 时，递增，‎ 时，递减，‎ 时， 时，‎ 递增，所以 综上，当； 当 ‎ 当 ‎（II）因为 递增，的值域为 ‎（i）当时，在上单调递增，‎ 又，所以即 ‎（ii）当时，因为时，递减，时，递增，且，所以只需 即，所以 ‎（iii）当时，因为上单调递减，且，‎ 所以不合题意.综合以上，实数的取值范围是.‎