【推荐】专题17 利用均值不等式求最值-2018版高人一筹之高三数学一轮复习特色专题训练

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‎2018版高人一筹之高三数学一轮复习特色专题训练 一、选择题 ‎1. 函数的值域为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ∴函数 ‎ 当且仅当 ,即时取等号．故函数的值域是 故选C．‎ ‎2. 若函数在定义域上单调递增,则实数的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ 3. 已知,且满足,那么的最小值为 A. 3﹣ B. 3+2 C. 3+ D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得（2y-1）(x-1)=1,变形为,所以,所以,当且仅当时,等号成立,即,故选B.‎ ‎4. 函数的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得, ‎ 当且仅当时, 取最大值,故选B. ‎ ‎5.抛物线的焦点为,设, 是抛物线上的两个动点, ,则的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ 6.若实数、、,且,则的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为,所以 ,所以=,当且仅当时,等号成立. 故选D.‎ ‎7.设且,则的最小值是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎8.设正实数 满足.则当 取得最大值时, ‎ 的最大值为 A. 0 B. C. 1 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】,又均为正实数, （当且仅当时取“=”）,,此时, , ,当且仅当时取得“=”,满足题意,‎ 的最大值为,故选C. ‎ ‎9．已知等差数列的等差,且 成等比数列,若, 为数列的前项和,则 的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎10.已知对于任意的恒成立,则 A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最大值为4‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为,所以 .不等式 可化为 即 ,因为,当且仅当 即 时,上式取“=”号.所以,解得 .故选A.‎ ‎11.设区域, 是区域内的任意一点,则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ 12.设二次函数的导函数为,则对,不等式恒成立,则的最大值为【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由二次函数f(x)=ax2+bx+c,可得导函数为f′(x)=2ax+b,∴不等式f(x)⩾f′(x)化为ax2+(b−2a)x+c−b⩾0.‎ ‎∵对∀x∈R,不等式f(x)⩾f′(x)恒成立,∴,化为b2⩽4ac−4a2.【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎∴,令,则：‎ ‎ ,‎ ‎,当且仅当时取等号.∴的最大值为 ,故选D. ‎ ‎13.已知圆的半径为1, 为该圆上四个点,且,则的面积最大值为 A. 2 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 14.已知函数,对任意的, 恒成立,则的最小值为 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】 因为二次函数恒非负,故,再由得到,‎ 则 ‎ 故当,且时, 取得最小值是3,即时, 最小值是,故选A.‎ ‎15.已知为正实数,则的最大值是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由于求的是最大值且为正实数,由,由,,当且仅当时,等号成立,故选B．‎ 二、填空题 ‎16. 已知, 均为正数,且,则的最小值为__________．‎ ‎【答案】7‎ ‎ 17.设的最小值为___________‎ ‎【答案】‎ ‎ 18.已知函数,若存在非零实数使得,则的最小值为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得 即 ‎ 因此 【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎.‎ ‎19.已知直线, 是之间的一定点,并且点到的距离分别为1,2, 是直线上一动点, , 与直线交于点,则面积的最小值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎【解析】如图所示,建立直角坐标系．直线 的斜率存在,设方程为： 则直线AC的方程为： ‎ 的面积 ‎ 当且仅当 时取等号． 的面积最小值为2．‎ 三、解答题 ‎20.过点作直线分别交轴的正半轴于两点.‎ ‎（Ⅰ）当取最小值时,求出最小值及直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）当取最小值时,求出最小值及直线的方程；‎ ‎（Ⅲ）当取最小值时,求出最小值及直线的方程.‎ ‎（Ⅱ） ,‎ 此时, .‎ ‎∴方程为.‎ ‎（Ⅲ）设直线,分别令,得.‎ 则=,‎ 当且仅当,即时, 取最小值,又∵,‎ ‎∴,这时的方程为.‎ ‎21.已知、,,求的最小值.‎ 解法如下：,‎ 当且仅当,即时取到等号,‎ 则的最小值为.‎ 应用上述解法,求解下列问题：‎ ‎（1）已知,,求的最小值；‎ ‎（2）已知,求函数的最小值；‎ ‎（3）已知正数、、,,‎ 求证：.‎ ‎（3）【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 当且仅当时取到等号,则. ‎ ‎22.已知抛物线： （）,过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于、两点,且．　‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知动圆的圆心在抛物线上,且过定点,若动圆与轴交于、两点,且,求的最小值.‎ ‎（Ⅱ）设动圆圆心, , ,则,‎ 且圆： ,‎ 令,整理得,解得, ,‎ ‎,‎ 当时, ,‎ 当时, ,‎ ‎∵,∴,‎ ‎,‎ ‎∵,‎ ‎∴的最小值为．‎ ‎ ‎