高中数学必修4同步练习：第三章 三角恒等变换 章末复习课

高中数学必修4同步练习：第三章 三角恒等变换 章末复习课

必修四 第三章 三角恒等变换 章末复习课 一、选择题 ‎1、函数f(x)＝是(　　)‎ A．以4π为周期的偶函数 B．以2π为周期的奇函数 C．以2π为周期的偶函数 D．以4π为周期的奇函数 ‎2、设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎3、已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是(　　)‎ A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z ‎4、已知θ是第三象限角，若sin4 θ＋cos4 θ＝，那么sin 2θ等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎5、函数f(x)＝sin4x＋cos2x的最小正周期是(　　)‎ A. B. C．π D．2π ‎6、若3sin α＋cos α＝0，则的值为(　　)‎ A. B. C. D．－2‎ ‎7、tan 15°＋等于(　　)‎ A．2 B．2＋ C．4 D. 二、填空题 ‎8、设α为第四象限的角，若＝，则tan 2α＝________.‎ ‎9、已知α为第三象限的角，cos 2α＝－，则tan＝________.‎ ‎10、若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________.‎ ‎11、函数y＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________．‎ ‎12、函数f(x)＝sin2(x＋)－sin2(x－)的最小正周期是________．‎ 三、解答题 ‎13、设函数f(x)＝sin－2cos2x＋1.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值．‎ ‎14、已知tan α＝－，cos β＝，α，β∈(0，π)．‎ ‎(1)求tan(α＋β)的值；‎ ‎(2)求函数f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、A　[由sin x＋2sin ＝2sin (cos ＋1)≠0，得x≠2kπ，k∈Z.‎ ‎∴f(x)定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}关于原点对称．‎ ‎∵f(x)＝＝.‎ ‎∴f(－x)＝＝＝f(x)．‎ ‎∴函数f(x)为偶函数．‎ 又f(x＋2π)＝＝＝≠f(x)．‎ f(x＋4π)＝＝＝＝f(x)，‎ ‎∴函数f(x)以4π为周期．]‎ ‎2、C　[∵m·n＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，‎ ‎∴sin(A＋B)－cos(A＋B)＝sin C＋cos C＝2sin＝1.‎ ‎∴sin＝，‎ ‎∴＋C＝π或＋C＝(舍去)，‎ ‎∴C＝π.]‎ ‎3、C　[f(x)＝sin ωx＋cos ωt＝2sin.因为函数y＝f(x)的图象与y＝2的两个相邻交点的距离为π，故函数y＝f(x)的周期为π.所以＝π，即ω＝2.所以f(x)＝2sin.令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋得2kπ－≤2x≤2kπ＋，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．]‎ ‎4、A　[∵sin4 θ＋cos4 θ＝(sin2 θ＋cos2 θ)2－2sin2 θcos2 θ＝1－sin2 2θ＝，∴sin2 2θ＝.‎ ‎∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，∴sin 2θ>0.∴sin 2θ＝.]‎ ‎5、B　[f(x)＝sin4x＋1－sin2x＝sin4x－sin2x＋1＝－sin2x(1－sin2x)＋1‎ ‎＝1－sin2xcos2x＝1－sin22x＝1－×＝cos 4x＋ ‎∴T＝＝.]‎ ‎6、A　[∵3sin α＋cos α＝0，‎ ‎∴tan α＝－，‎ ‎∴＝＝＝＝.]‎ ‎7、C 二、填空题 ‎8、－ 解析　由＝＝＝2cos2α＋cos 2α＝.‎ ‎∵2cos2α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝，∴cos 2α＝.‎ ‎∵α为第四象限角，‎ ‎∴2kπ＋<α<2kπ＋2π，(k∈Z)‎ ‎∴4kπ＋3π<2α<4kπ＋4π，(k∈Z)‎ 故2α可能在第三、四象限，‎ 又∵cos 2α＝，‎ ‎∴sin 2α＝－，tan 2α＝－.‎ ‎9、－ 解析　由题意，得2kπ＋π＜α＜2kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴4kπ＋2π＜2α＜4kπ＋3π.∴sin 2α＞0.‎ ‎∴sin 2α＝＝.‎ ‎∴tan 2α＝＝－.‎ ‎∴tan＝＝＝－.‎ ‎10、 解析　∵(8sin α＋5cos β)2＋(8cos α＋5sin β)2‎ ‎＝64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)‎ ‎＝89＋80sin(α＋β)＝62＋102＝136.‎ ‎∴80sin(α＋β)＝47，‎ ‎∴sin(α＋β)＝.‎ ‎11、1－ 解析　∵y＝2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋sin(2x＋)，‎ ‎∴ymin＝1－.‎ ‎12、π 解析　f(x)＝sin2(x＋)－sin2(x－)‎ ‎＝cos2(－x)－sin2(x－)‎ ‎＝cos2(x－)－sin2(x－)‎ ‎＝cos(2x－)＝sin 2x.‎ ‎∴T＝π.‎ 三、解答题 ‎13、解　(1)f(x)＝sinxcos－cosxsin－cosx＝sinx－cosx＝sin，‎ 故f(x)的最小正周期为T＝＝8.‎ ‎(2)在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x＝1的对称点为(2－x，g(x))．‎ 由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，‎ 从而g(x)＝f(2－x)＝sin＝sin＝cos.‎ 当0≤x≤时，≤x＋≤，因此y＝g(x)在区间上的最大值为g(x)max＝cos＝.‎ ‎14、解　(1)由cos β＝，β∈(0，π)，‎ 得sin β＝，tan β＝2，‎ 所以tan(α＋β)＝＝1.‎ ‎(2)因为tan α＝－，α∈(0，π)，‎ 所以sin α＝，cos α＝－，‎ f(x)＝(sin xcos α－cos xsin α)＋cos xcos β－sin xsin β ‎＝－sin x－cos x＋cos x－sin x ‎＝－sin x，‎ 又－1≤sin x≤1，所以f(x)的最大值为.‎