数学理·江苏省泰州二中2017届高三上学期期初数学试卷（理科）+Word版含解析

数学理·江苏省泰州二中2017届高三上学期期初数学试卷（理科）+Word版含解析

‎2016-2017学年江苏省泰州二中高三（上）期初数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.‎ ‎1．设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=　　．‎ ‎2．已知全集U=R，集合M={x|x2﹣4≤0}，则∁UM=　　．‎ ‎3．命题“任意偶数是2的倍数”的否定是　　．‎ ‎4．若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为　　．‎ ‎5．函数y=的定义域是　　．‎ ‎6．函数y=的值域为　　．‎ ‎7．已知f（+1）=lg x，则f（x）=　　．‎ ‎8．若函数f（x）=（p﹣2）x2+（p﹣1）x+2是偶函数，则函数f（x）的单调递减区间是　　．‎ ‎9．若f（x）表示﹣2x+2与﹣2x2+4x+2中的较小者，则函数f（x）的最大值为　　．‎ ‎10．设函数f（x）满足f（x）=1+f（）log2x，则f（2）=　　．‎ ‎11．函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围是　　．‎ ‎12．若点A（2，2）在矩阵M=对应变换的作用下得到的点为B（﹣2，2），则矩阵M的逆矩阵为　　．‎ ‎13．已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是　　．‎ ‎14．设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：‎ ‎①若f（x）是奇函数，则c=0‎ ‎②b=0时，方程f（x）=0有且只有一个实根24‎ ‎③f（x）的图象关于（0，c）对称G ‎④若b≠0，方程f（x）=0必有三个实根M 其中正确的命题是　　 （填序号）D ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.m ‎15．求下列函数的值域：f ‎（1）； ‎ ‎ （2）．‎ ‎16．已知矩阵，其中a∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，﹣3），h ‎（1）求实数a的值；Q ‎（2）求矩阵A的特征值及特征向量．C ‎17．在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．V ‎18．已知二次函数f（x）的图象顶点为A（1，16），且图象在x轴上截得线段长为8．X ‎（1）求函数f（x）的解析式；2‎ ‎（2）当x∈[0，2]时，关于x的函数g（x）=f（x）﹣（t﹣x）x﹣3的图象始终在x轴上方，求实数t的取值范围．t ‎19．已知函数f（x）=|x﹣m|和函数g（x）=x|x﹣m|+m2﹣7m．u ‎（1）若方程f（x）=|m|在[﹣4，+∞）上有两个不同的解，求实数m的取值范围；M ‎（2）若对任意x1∈（﹣∞，4]，均存在x2∈[3，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围．+‎ ‎20．设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）．0‎ ‎（Ⅰ）当b=+1时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最小值g（a）的表达式．7‎ ‎（Ⅱ）已知函数f（x）在[﹣1，1]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围．Y ‎　‎ ‎2016-2017学年江苏省泰州二中高三（上）期初数学试卷（理科）T 参考答案与试题解析l ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.a ‎1．设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=　1　．Q ‎【考点】交集及其运算．=‎ ‎【分析】根据交集的概念，知道元素3在集合B中，进而求a即可．=‎ ‎【解答】解：∵A∩B={3}‎ ‎∴3∈B，又∵a2+4≠3‎ ‎∴a+2=3 即 a=1‎ 故答案为1‎ ‎　‎ ‎2．已知全集U=R，集合M={x|x2﹣4≤0}，则∁UM=　{x|x＞2或x＜﹣2}　．‎ ‎【考点】补集及其运算．‎ ‎【分析】由题意全集U=R，先化简集合M，然后根据交集的定义“两个集合 A 和 B 的交集是含有所有既属于 A 又属于 B 的元素，而没有其他元素的集合”进行计算即可．‎ ‎【解答】解：因为M={x|x2﹣4≤0}={x|﹣2≤x≤2}，全集U=R，‎ 所以CUM={x|x＜﹣2或x＞2}，‎ 故答案为：{x|x＞2或x＜﹣2}．‎ ‎　‎ ‎3．命题“任意偶数是2的倍数”的否定是　存在偶数不是2的倍数　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】分别对题设和结论进行否定即可．‎ ‎【解答】解：题设的否定为∀偶数，结论的否定为不是2的倍数 ‎∴原命题的否定为：存在偶数不是2的倍数．‎ ‎　‎ ‎4．若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为　﹣1　．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】因x2＞1得x＜﹣1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2＞1”，反之不成立．由此可求出a的最大值．‎ ‎【解答】解：因x2＞1得x＜﹣1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，‎ 知“x＜a”可以推出“x2＞1”，‎ 反之不成立．‎ 则a的最大值为﹣1．‎ 故答案为﹣1．‎ ‎　‎ ‎5．函数y=的定义域是　[﹣3，1]　．‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案．‎ ‎【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0，‎ 解得：x∈[﹣3，1]，10443825‎ 故答案为：[﹣3，1]‎ ‎　‎ ‎6．函数y=的值域为　{y∈R|y≠3}　．‎ ‎【考点】函数的值域．‎ ‎【分析】当函数的是分数型结构函数时，并且分子分母都是一次函数时，求值域可以采用：反函数法和分离常数法．‎ ‎【解答】分离常数法：‎ 解：化简函数 ‎∵‎ ‎∴y≠3‎ 所以：{y∈R|y≠3}‎ 故答案为：{y∈R|y≠3}‎ 反函数法：‎ 解：化简函数：y=‎ ‎⇔y（x﹣2）=3x+1‎ ‎⇔x（y﹣3）=1+2y ‎⇔‎ 分式中分母不等于0，∴y≠3‎ 所以：{y∈R|y≠3}‎ 故答案为：{y∈R|y≠3}‎ ‎　‎ ‎7．已知f（+1）=lg x，则f（x）=　lg（x＞1）　．‎ ‎【考点】函数的表示方法．‎ ‎【分析】用换元法令+1=t（t＞1）解x=代入f（+1）=lg x求得．‎ ‎【解答】解：令+1=t（t＞1），则x=，‎ ‎∴f（t）=lg，f（x）=lg（x＞1）．‎ ‎　‎ ‎8．若函数f（x）=（p﹣2）x2+（p﹣1）x+2是偶函数，则函数f（x）的单调递减区间是　（0，+∞）　．‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合；二次函数的性质．‎ ‎【分析】由f（x）=（p﹣2）x2+（p﹣1）x+2是偶函数，可求p，结合二次函数的性质可求函数的单调递减区间 ‎【解答】解：∵函数f（x）=（p﹣2）x2+（p﹣1）x+2是偶函数，‎ ‎∴p﹣1=0即p=1‎ ‎∴函数f（x）=﹣x2+2‎ 函数的单调递减区间是（0，+∞）‎ 故答案为（0，+∞）‎ ‎　‎ ‎9．若f（x）表示﹣2x+2与﹣2x2+4x+2中的较小者，则函数f（x）的最大值为　2　．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】先在直角坐标系中分别画出函数y=﹣2x+2和y=﹣2x2+4x+2的图象，再利用函数f（x）的定义，取函数图象靠下的部分作为函数f（x）的图象，由图数形结合即可得f（x）的最大值 ‎【解答】解：如图，虚线为函数y=﹣2x+2和y=﹣2x2+4x+2的图象，粗线为f（x）的图象 由图可知函数f（x）在x=0时取得最大值2‎ 故答案为 2‎ ‎　‎ ‎10．设函数f（x）满足f（x）=1+f（）log2x，则f（2）=　　．‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】通过表达式求出f（），然后求出函数的解析式，即可求解f（2）的值．‎ ‎【解答】解：因为，‎ 所以．‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎∴=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎11．函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围是　a≥1　．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】二次函数解析式配方变形后，利用二次函数的性质确定出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=x2﹣2ax+2=x2﹣2ax+a2﹣a2+2=（x﹣a）2﹣a2+2，‎ ‎∵二次函数图象开口向上，对称轴为直线x=a，且在区间（﹣∞，1]上递减，‎ ‎∴a的范围是a≥1，‎ 故答案为：a≥1‎ ‎　‎ ‎12．若点A（2，2）在矩阵M=对应变换的作用下得到的点为B（﹣2，2），则矩阵M的逆矩阵为　　．‎ ‎【考点】逆矩阵与二元一次方程组．‎ ‎【分析】根据二阶矩阵与平面列向量的乘法，确定矩阵M，再求矩阵的逆矩阵．‎ ‎【解答】解：由题意， =‎ ‎∴，‎ ‎∴sinα=1，cosα=0，‎ ‎∴M=10443825‎ ‎∵=1≠0，‎ ‎∴M﹣1=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎13．已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是　（﹣1，﹣1）　．‎ ‎【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法．‎ ‎【分析】由题意f（x）在[0，+∞）上是增函数，而x＜0时，f（x）=1，故满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x需满足，解出x即可．‎ ‎【解答】解：由题意，可得 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：‎ ‎①若f（x）是奇函数，则c=0‎ ‎②b=0时，方程f（x）=0有且只有一个实根 ‎③f（x）的图象关于（0，c）对称 ‎④若b≠0，方程f（x）=0必有三个实根 其中正确的命题是　①②③　 （填序号）‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；函数奇偶性的判断；奇偶函数图象的对称性．‎ ‎【分析】由奇函数定义结合比较系数法，可得f（x）是奇函数时c=0，故①正确；当b=0时，得f（x）=x|x|+c在R上为单调增函数，方程f（x）=0只有一个实根，故②正确；利用函数图象关于点对称的定义，可证得函数f（x）图象关于点（0，c）对称，故③正确；取b=1，c=0时，利用函数单调性可证出方程f（x）=0只有一个实根，故④错．‎ ‎【解答】解：对于①，若f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣x|x|﹣bx+c=﹣f（x）对任意x∈R恒成立，可得c=0，故①正确；‎ 对于②，b=0时，得f（x）=x|x|+c在R上为单调增函数，且值域为R，所以方程f（x）=0有且只有一个实根，故②正确；‎ 对于③，因为f（﹣x）=﹣x|x|﹣bx+c，所以f（﹣x）+f（x）=2c，可得函数f（x）的图象关于点（0，c）对称，故③正确；‎ 对于④，当b=1，c=0时，f（x）=x|x|+x在R上为增函数，此时方程f（x）=0有且只有一个实根，故④错．‎ 故答案为：①②③‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.‎ ‎15．求下列函数的值域：‎ ‎（1）； ‎ ‎ （2）．‎ ‎【考点】函数的值域．‎ ‎【分析】（1）由于函数y=1﹣，且0＜≤1，故有 0≤1﹣＜1，由此求得函数的值域．‎ ‎（2）由于函数在它的定义域{x|x≥﹣1}内是增函数，当x=﹣1时，函数有最小值等于﹣2，‎ 当X趋于+∞时，y趋于+∞，从而得到函数的值域．‎ ‎【解答】解：（1）由于 ==1﹣，‎ ‎∵0＜≤1，∴0≤1﹣＜1，故函数的值域为[0，1）．‎ ‎（2）由于函数的定义域为{x|x≥﹣1}，且函数在其定义域内是增函数，‎ 故当x=﹣1时，函数有最小值等于﹣2，当X趋于+∞时，y趋于+∞，‎ 故函数的值域为[﹣2，+∞）．‎ ‎　‎ ‎16．已知矩阵，其中a∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，﹣3），‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）求矩阵A的特征值及特征向量．‎ ‎【考点】特征值与特征向量的计算；二阶矩阵．‎ ‎【分析】（1）根据点P在矩阵A的变化下得到的点P′（0，﹣3），写出题目的关系式，列出关于a的等式，解方程即可．‎ ‎（2）写出矩阵的特征多项式，令多项式等于0，得到矩阵的特征值，对于两个特征值分别解二元一次方程，得到矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量和矩阵A的属于特征值3的一个特征向量．‎ ‎【解答】解：（1）由=，‎ 得a+1=﹣3‎ ‎∴a=﹣4‎ ‎（2）由（1）知，‎ 则矩阵A的特征多项式为 令f（λ）=0，得矩阵A的特征值为﹣1或3‎ 当λ=﹣1时二元一次方程 ‎∴矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量为 当λ=3时，二元一次方程 ‎∴矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为．10443825‎ ‎　‎ ‎17．在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】先圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可．‎ ‎【解答】解：p2=2pcosθ，圆ρ=2cosθ的普通方程为：x2+y2=2x，（x﹣1）2+y2=1，‎ 直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：3x+4y+a=0，‎ 又圆与直线相切，所以=1，解得：a=2，或a=﹣8．‎ ‎　‎ ‎18．已知二次函数f（x）的图象顶点为A（1，16），且图象在x轴上截得线段长为8．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）当x∈[0，2]时，关于x的函数g（x）=f（x）﹣（t﹣x）x﹣3的图象始终在x轴上方，求实数t的取值范围．‎ ‎【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．‎ ‎【分析】（1）由题意可得函数的对称轴为x=1，结合已知函数在x轴上截得线段长为8，可得抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（5，0），可设函数为f（x）=a（x+3）（x﹣5）（a＜0），将（1，16）代入可求 ‎（2）g（x）=f（x）﹣（t﹣x）x﹣3=（2﹣t）x+12，x∈[0，2]，结合题意可得，代入可求 ‎【解答】解：（1）∵二次函数图象顶点为（1，16），‎ ‎∴函数的对称轴为x=1‎ ‎∵在x轴上截得线段长为8，‎ ‎∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（5，0），…‎ 又∵开口向下，设原函数为f（x）=a（x+3）（x﹣5）（a＜0）…‎ 将（1，16）代入得a=﹣1，…‎ ‎∴所求函数f（x）的解析式为f（x）=﹣x2+2x+15． …‎ ‎（2）g（x）=f（x）﹣（t﹣x）x﹣3=（2﹣t）x+12，x∈[0，2]…‎ 由g（x）得图象在x轴上方，根据一次函数的性质可得，…‎ 即﹣2t+16＞0‎ 解得t＜8 …‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=|x﹣m|和函数g（x）=x|x﹣m|+m2﹣7m．‎ ‎（1）若方程f（x）=|m|在[﹣4，+∞）上有两个不同的解，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若对任意x1∈（﹣∞，4]，均存在x2∈[3，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】带绝对值的函数；函数的最值及其几何意义；根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】（1）解方程f（x）=|m|，解得x=0，或x=2m．由题意可得 2m≥﹣4，且2m≠0，由此求得实数m的取值范围．‎ ‎（2）命题等价于任意x1∈（﹣∞，4]，任意的x2∈[3，+∞），fmin（x1）＞gmin（x2） 成立，分m＜3、‎ ‎3≤m＜4、4≤m三种情况，分别求出实数m的取值范围再取并集，即得所求．‎ ‎【解答】解：（1）方程f（x）=|m|，即|x﹣m|=|m|，解得x=0，或x=2m．‎ 要使方程|x﹣m|=|m|在[﹣4，+∞）上有两个不同的解，‎ 需 2m≥﹣4，且2m≠0．解得 m≥﹣2 且m≠0．‎ 故实数m的取值范围为[﹣2，0）∪（0，+∞）．‎ ‎（2）由于对任意x1∈（﹣∞，4]，都存在x2∈[3，+∞），使f（x1）＞g（x2）成立，‎ 故有 fmin（x1）＞gmin（x2） 成立．‎ 又函数f（x）=|x﹣m|=，故fmin（x1）=．‎ 又函数g（x）=x|x﹣m|+m2﹣7m=，‎ 故gmin（x2）=．‎ 当m＜3时，有0＞m2﹣10m+9，解得 1＜m＜3．‎ 当 3≤m＜4，有0＞m2﹣7m，解得 3≤m＜4．‎ 当4≤m，有m﹣4＞m2﹣7m，解得 4≤m＜4+2．‎ 综上可得，1＜m＜4+2，故实数m的取值范围为（1，4+2 ）．‎ ‎　‎ ‎20．设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）．10443825‎ ‎（Ⅰ）当b=+1时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最小值g（a）的表达式．‎ ‎（Ⅱ）已知函数f（x）在[﹣1，1]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围．‎ ‎【考点】二次函数的性质；函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间[﹣1，1]的关系，运用函数的单调性即可得到最小值；‎ ‎（Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且﹣1≤t≤1，运用韦达定理和已知条件，得到s的不等式，讨论t的范围，得到st的范围，由分式函数的值域，即可得到所求b的范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当b=+1时，f（x）=（x+）2+1，对称轴为x=﹣，‎ 当a≤﹣2时，函数f（x）在[﹣1，1]上递减，则g（a）=f（1）=+a+2；‎ 当﹣2＜a≤2时，即有﹣1≤﹣＜1，则g（a）=f（﹣）=1；‎ 当a＞2时，函数f（x）在[﹣1，1]上递增，则g（a）=f（﹣1）=﹣a+2．‎ 综上可得，g（a）=；‎ ‎（Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且﹣1≤t≤1，‎ 则，‎ 由于0≤b﹣2a≤1，‎ 由此≤s≤（﹣1≤t≤1），‎ 当0≤t≤1时，≤st≤，‎ 由﹣≤≤0，由=9﹣[（2（t+2）+]≤9﹣2，‎ 得﹣≤≤9﹣4，‎ 所以﹣≤b≤9﹣4；‎ 当﹣1≤t＜0时，≤st≤，‎ 由于﹣2≤＜0和﹣3≤＜0，所以﹣3≤b＜0，‎ 故b的取值范围是[﹣3，9﹣4]．‎ ‎　‎ ‎2016年11月4日