专题74 坐标系与极坐标方程-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题74 坐标系与极坐标方程-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

‎2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)‎ 专题74坐标系与极坐标方程 最新考纲 ‎1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．‎ ‎2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.‎ 基础知识融会贯通 ‎1．平面直角坐标系 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．‎ ‎2．极坐标系 ‎(1)极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．‎ ‎(2)极坐标与直角坐标的互化 设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：‎ 或，这就是极坐标与直角坐标的互化公式．‎ ‎3．常见曲线的极坐标方程 重点难点突破 ‎【题型一】极坐标与直角坐标的互化 ‎【典型例题】‎ 曲线的极坐标方程ρ＝4sinθ化为直角坐标为（　　）‎ A．x2+（y+2）2＝4 B．x2+（y﹣2）2＝4 ‎ C．（x﹣2）2+y2＝4 D．（x+2）2+y2＝4‎ ‎【解答】解：曲线的极坐标方程ρ＝4sinθ 即 ρ2＝4ρsinθ，即 x2+y2＝4y，‎ 化简为x2+（y﹣2）2＝4，‎ 故选：B． ‎ ‎【再练一题】‎ 点M的直角坐标为（，﹣1）化为极坐标为（　　）‎ A．（2，） B．（2，） C．（2，） D．（2，）‎ ‎【解答】解：∵点M的直角坐标为（，﹣1），∴ρ2，再根据此点位于第三象限，且tanθ，∴可取θ，‎ 故选：B． ‎ 思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．‎ ‎(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．‎ ‎【题型二】求曲线的极坐标方程 ‎【典型例题】‎ 过点（4，0），与极轴垂直的直线的极坐标方程为（　　）‎ A．ρsinθ＝4 B．ρ＝4sinθ C．ρcosθ＝4 D．ρ＝4cosθ ‎【解答】解：因为过点（4，0），与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x＝4，‎ 所以过点（4，0），与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcosθ＝4，‎ 故选：C．‎ ‎【再练一题】‎ 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线m与直线l平行，且过坐标原点，圆C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求直线m和圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）设直线m和圆C相交于点A、B两点，求△ABC的周长．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的斜率为1，‎ ‎∵直线m与直线l平行，且过坐标原点，∴直线m的直角坐标方程为y＝x，‎ ‎∴直线m的极坐标方程为；‎ ‎∵圆C的参数方程为（φ为参数），‎ ‎∴圆C的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，‎ 即x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0，‎ ‎∴圆C的极方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0；‎ ‎（2）把直线m的极坐标方程代入ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0中，‎ 得，‎ 则，ρ1ρ2＝4，‎ ‎∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|，‎ ‎∴△ABC的周长为． ‎ 思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤 ‎(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点．‎ ‎(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式．‎ ‎(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．‎ ‎【题型三】极坐标方程的应用 ‎【典型例题】‎ 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝3，以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）判断：直线l与曲线C是否相交？若相交，请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）由（x﹣1）2+（y+1）2＝3，得x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0．‎ ‎∴ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣1＝0．‎ 即曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣1＝0；‎ ‎（2）把代入ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣1＝0，‎ 得．‎ ‎∵△0，∴方程有两不等实数根，则直线l与曲线C相交．‎ 且，ρ1ρ2＝﹣1．‎ ‎∴弦长为． ‎ ‎【再练一题】‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C2：ρ＝4cosθ的圆心为C2．‎ ‎（Ⅰ）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）过原点且与直线（t为参数，0≤α＜π）平行的直线C3与C2的交点为M，N，且△C2MN的面积为2，求α的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）消去参数t得到C1的普通方程为x2+（y﹣1）2＝1，‎ 故C1是以（0，1）为圆心，1为半径的圆．‎ 将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ＝0或ρ＝2sinθ，而当θ＝0时得ρ＝0，‎ 故C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ．‎ ‎（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ＝α，与C2的交点分别为M（cosα，α），N（0，α），‎ ‎，得|sin2α|＝1（0≤α＜π），‎ 得或． ‎ 思维升华 极坐标应用中的注意事项 ‎(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正半轴重合；③取相同的长度单位．‎ ‎(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．‎ ‎(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．‎ 基础知识训练 ‎1．把圆绕极点按顺时针方向旋转而得圆的极坐标方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为圆的半径为，圆心极坐标为，‎ 所以，将圆绕极点按顺时针方向旋转所得圆的圆心极坐标为，半径不变；‎ 因此，旋转后的圆的圆心直角坐标为，‎ 所以，所求圆的直角坐标方程为，‎ 即，化为极坐标方程可得，‎ 整理得.‎ 故选D ‎2．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 圆化为,，配方为 ，‎ 因此圆心直角坐标为，可得圆心的极坐标为 故选：B ‎3．在极坐标系中，表示的曲线是( )‎ A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为，即，所以，因此原曲线为圆.故选D.‎ ‎4．极坐标方程表示的曲线是（ ）‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由，得，又由则xy=1,即，所以表示的曲线是双曲线.‎ 故选C.‎ ‎5．在极坐标系中，曲线：上恰有3个不同的点到直线：的距离等于1，则（ ）‎ A．2 B．2或‎6 ‎C．-6 D．-2或-6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 曲线的直角坐标方程为，‎ 曲线的直角坐标方程为，‎ 由题意知直线与圆相交，且曲线的圆心到直线的距离为1，‎ 则，故或.‎ 故选B.‎ ‎6．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中,与圆交于两点，则的长为（ ）‎ A． B．‎1 ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 把代入圆.‎ 所以|OA|=1.‎ 故选：B ‎7．在极坐标系中，曲线：上恰有3个不同的点到直线：的距离等于1，则（ ）‎ A．2或6 B．‎2 ‎C．-6 D．-2或-6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，圆心为，半径为2， ，由题意可知：圆心到直线的距离为1，所以或，故本题选A.‎ ‎8．设点在曲线 上，点在曲线 上，则的最小值为( )．‎ A．2 B．‎1 ‎C．3 D．0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据极坐标与直角坐标的互化公式，可得曲线的直角坐标方程为，‎ 曲线，则，所以直角坐标方程为，‎ 即，表示圆心为，半径的圆，‎ 则圆心到直线的距离为，所以的最小值为，故选B．‎ ‎9．在极坐标系中，直线被曲线截得的线段长为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 直线的直角坐标方程为，即，‎ 化为，直角坐标方程为，圆心为原点，半径为，‎ 圆心到直线的距离为，‎ 被圆截得的弦长为，故选C.‎ ‎10．在极坐标系中，点是曲线上一动点，以极点为中心，将点绕顺时针旋转得到点，设点的轨迹为曲线，则曲线的极坐标方程为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设点，则点，代入，得.故选A.‎ ‎11．在极坐标系中，设圆与直线 交于两点，则以线段为直径的圆的极坐标方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意，圆化为直角坐标方程，可得，‎ 直线化为直角坐标方程，可得，‎ 由直线与圆交于两点，把直线代入圆，解得或，‎ 所以以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径为，‎ 则圆的方程为，即，‎ 又由，代入可得，‎ 即，故选A．‎ ‎12．在极坐标中，为极点，曲线：上两点对应的极角分别为，则的面积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 依题意得：、，，‎ 所以，故选：A。‎ ‎13．已知直线的极坐标方程，则极点到直线的距离为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由得，‎ 所以直线的直角坐标方程为，‎ 又极点的直角坐标为，‎ 所以极点到直线的距离为.‎ 故答案为 ‎14．圆被直线截得的弦长为____．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎,直线,所以，所以有或，因此弦长为.‎ ‎15．在极坐标系中，过点并且与极轴垂直的直线方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图，‎ 由图可知，过点（1，0）并且与极轴垂直的直线方程是ρcosθ＝1．‎ 故答案为．‎ ‎16．圆被直线截得的弦长为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 将代入圆的极坐标方程，得，则，，故弦长为.‎ 故答案为2.‎ ‎17．已知曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的值为_________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ 曲线的极坐标方程为，化为直角坐标方程为，即 ‎，表示以为圆心，1为半径的圆，又由直线的极坐标方程是 ‎，即，化为直角坐标方程为，‎ 由直线与曲线有且只有一个公共点，，解得或，‎ 所以，答案为或 ‎18．在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程为____（用极坐标书写）.‎ ‎【答案】和 ‎【解析】‎ 由题意，圆的极坐标方程，可化为直角坐标方程为，‎ 表示以为圆心，以为半径的圆，‎ 其中与圆相切且垂直与轴的直线方程分别为和，‎ 则两切线对应的极坐标方程分别为和，‎ 故答案为：和．‎ ‎19．在极坐标系中，曲线被直线所截得的弦长为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 曲线的直角坐标方程为，直线，所以圆心到直线的距离为，‎ 所求弦长为.故答案为：。‎ ‎20．已知直线的极坐标方程为，为极点，点在直线上，线段上的点满足，则点的轨迹的极坐标方程为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设的极坐标为，的极坐标为.‎ 所以,,且.‎ 由得，即.故答案为：。‎ 能力提升训练 ‎1．在极坐标系中，圆上的点到直线距离的最大值是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为，所以，结合可得圆的直角坐标方程为，圆心为，半径.‎ 直线化为直角坐标方程为，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大值为6.故选D.‎ ‎2．圆的圆心极坐标是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，即，‎ 可化为，‎ 圆心坐标为,‎ 由于圆心在第四象限，所以=，‎ 即圆心的极坐标是．‎ 故选：A．‎ ‎3．曲线的极坐标方程为, 直线与曲线交于两点，则为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 联立，可得；联立，可得；‎ 由于A,B都在直线上，所以,故选C.‎ ‎4．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵圆ρ＝2sinθ化为ρ2＝2ρsinθ，‎ ‎∴x2+y2＝2y，配方为x2+（y﹣1）2＝1，‎ 因此圆心直角坐标为（0，1），‎ 可得圆心的极坐标为．‎ 故选：A．‎ ‎5．极坐标方程表示的曲线是（ ）‎ A．余弦曲线 B．两条相交直线 C．一条射线 D．两条射线 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由极坐标方程cosθ（），‎ 可得θ＝．‎ 表示两条从极点出发的射线，‎ 故选：D．‎ ‎6．将直角坐标方程转化为极坐标方程，可以是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 直角坐标方程转化为极坐标方程即：，‎ 即.‎ 本题选择D选项.‎ ‎7．在极坐标系中，圆C：的圆心到点的距离为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 化为，‎ 化为直角坐标为，‎ 即为，圆心坐标为的直角坐标仍然是,‎ 所以的距离为，故答案为.‎ ‎8．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为，在以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为，则直线l与圆C的位置关系为___________.‎ ‎【答案】相交 ‎【解析】‎ 因为圆C的方程为，所以，‎ 因此圆心到直线距离为，所以直线与圆C相交.‎ ‎9．已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x的正半轴重合，点A在圆ρ＝2cosθ＋2sinθ上，点B在直线(t为参数)上，则|AB|的最小值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由ρ＝2cosθ＋2sinθ得x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2，故圆心M(1,1)，半径r＝，由 (t为参数)得x－y－4＝0，‎ ‎∵A在圆M上，B在直线x－y－4＝0上，‎ ‎∴|AB|min＝dM－r＝.‎ ‎10．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线参数方程为为参数焦点为F，直线l的极坐标方程为，则点F到直线l的距离为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 抛物线参数方程为为参数焦点为F，‎ 抛物线直角坐标方程为，‎ 直线l的极坐标方程为，‎ ‎，‎ 直线的直角坐标方程为，‎ 点F到直线l的距离为：‎ ‎．‎ 故答案为：．‎