【数学】湖北省竹溪一中、竹山一中、房县一中三校2019-2020学年高二下学期7月联考试题

【数学】湖北省竹溪一中、竹山一中、房县一中三校2019-2020学年高二下学期7月联考试题

湖北省竹溪一中、竹山一中、房县一中三校2019-2020学年 高二下学期7月联考试题 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1．已知集合A=，B=，则A∩B中元素的个数为（ ）‎ A．3 B．‎2 ‎ C．1 D．0‎ 2. 若，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C．对任意正数， ‎ 第4题图 D．对任意正数，‎ ‎5．函数的图像大致为（ ）‎ ‎ ‎ ‎6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎7．已知函数y=f(x-1）+x2是定义在R上的奇函数，若f(-2) =1，则f(0)=（ ）‎ ‎ A．-3 B. -2 C．-1 D.0‎ ‎8．的展开式中，的系数是20，则（ ）‎ A.2 B.‎-1 C.4 D.1‎ ‎9．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为（ ）‎ A．-24 B．‎-3 ‎ C．3 D．8‎ ‎10．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）‎ A．16 B．14 C．12 D．10‎ ‎11．若在是减函数，则的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（ ）‎ A.[-，1） B.[-，） C.[，） D.[，1）‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13．曲线在点处的切线的斜率为，则 ．‎ ‎14．记为数列的前项和．若，则 .‎ ‎15. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝ .‎ ‎16．已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为________.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．（10分）的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求．‎ ‎18.（12分）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：分钟)进行调查，将收集的数据分成[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]六组，并作出频率分布直方图(如图)，将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.‎ ‎(1)请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？‎ 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 ‎60‎ 女 ‎110‎ 合计 ‎(2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 附：K2＝.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19. （12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成 平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束.‎ （1） 求；‎ （2） 求事件“且甲获胜”的概率.‎ ‎20．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，‎ ‎∠ABD=∠CBD，AB=BD．‎ ‎（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；‎ ‎（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．‎ ‎21．（12分）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．‎ ‎⑴当与轴垂直时，求直线的方程；‎ ‎⑵设为坐标原点，证明：．‎ ‎22.（12分）已知函数.‎ （1） 讨论的单调性；‎ （2） 是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.‎ 参考答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B D C C B B C B A A A D ‎13． -3 14．-63 15． 0.25 16． ‎ ‎17．【解析】：（1）由题设及，故 上式两边平方，整理得 …………4‎ 解得 …………5‎ ‎（2）由，故 ‎ 又 ……………7‎ 由余弦定理及得 所以b=2 ……………10‎ ‎18．【解析】(1)由题意得“课外体育达标”人数为200×[(0.02＋0.005)×10]＝50，‎ 则“课外体育不达标”人数为150，‎ ‎∴列联表如下：……………4‎ 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 ‎60‎ ‎30‎ ‎90‎ 女 ‎90‎ ‎20‎ ‎110‎ 合计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ ‎∴K2＝＝≈6.061<6.635 …………6‎ ‎∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关.‎ ‎(2)由题意采用分层抽样在“课外体育达标”的学生中抽取2人，在“课外体育不达标”的学生中抽取6人，由题意知：ξ的所有可能取值为1，2，3，‎ P(ξ＝1)＝＝＝；‎ P(ξ＝2)＝＝＝；‎ P(ξ＝3)＝＝＝；‎ 故ξ的分布列为 …………10‎ ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故ξ的数学期望为E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝ ………12‎ ‎19．【解析】(1)时，有两种可能：‎ ‎①甲连赢两局结束比赛，此时； …………3‎ ‎②乙连赢两局结束比赛，此时，…………5‎ ‎∴； ……………6‎ （2） 且甲获胜，即平后，两人又打了4个球该局比赛结束，‎ 且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．‎ 因此所求概率为. ………12‎ ‎20．【解析】（1）由题设可得，‎ 又是直角三角形，所以 取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO 又由于 所以 ‎ .……………5‎ ‎（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ‎ …………6‎ 由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E.故 设是平面DAE的法向量，则 可取 …………9‎ 设是平面AEC的法向量，则同理可得 则 所以二面角D-AE-C的余弦值为 ………12‎ ‎21．【解析】（1）如图所示，将代入椭圆方程得，得，∴，∴，∴直线的方程为：.‎ ‎ …………………4‎ (2) 证明：当斜率不存在时，由（1）可知，结论成立；当斜率存在时，设其方程为，，联立椭圆方程有 即，…………………6‎ ‎∴ ………………7‎ ‎ …………………8‎ （2） ‎，‎ （3） ‎∴，∴ ………………12‎ ‎22．【解析】(1) ‎ 当时，，此时在单调递增.‎ ‚当时，令，解得或，令，解得.‎ 此时在单调递增，在单调递减.‎ ƒ当时，令，解得或，令，解得.‎ 此时在单调递增，在单调递减.‎ 综上可得，当时，在单调递增.‎ 当时，在单调递增，在单调递减.‎ 当时，在单调递增，在单调递减.…………6‎ 由（1）中结论可知，当时，在单调递增，‎ 此时，∴，满足题意.‎ 当时，若，即，则在单调递减，‎ 此时，∴，满足题意.‎ 若，即，则在单调递减，在单调递增.‎ 此时 ‎∵‎ ‎∴当时，‚，‎ 由‚可得，与矛盾，故不成立.‎ 当时，ƒ，‎ 由ƒ可得，与矛盾，故不成立.‎ 综上可知，或满足题意. ………………12‎