高中数学必修4同步练习：第一章 三角函数(A)

高中数学必修4同步练习：第一章 三角函数(A)

必修四 第一章 三角函数(A)‎ 一、选择题 ‎1、如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(，0)中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎2、已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎3、已知tan α＝，α∈，则cos α的值是(　　)‎ A．± B. C．－ D. ‎4、已知sin(2π－α)＝，α∈(，2π)，则等于(　　)‎ A. B．－ C．－7 D．7‎ ‎5、已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ可能取值是(　　)‎ A. B．－ C. D. ‎6、若点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是(　　)‎ A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ ‎7、已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象不可能是(　　)‎ ‎8、为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象(　　)‎ A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎9、电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的图象如右图所示，则当t＝秒时，电流强度是(　　)‎ A．－‎5 A B．‎5A C．‎5‎ A D．10 A ‎10、sin 600°＋tan 240°的值是(　　)‎ A．－ B. C．－＋ D.＋ ‎11、设ω>0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是(　　)‎ A. B. C. D．3‎ ‎12、已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(0<θ<π)为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点横坐标为x1、x2，若|x2－x1|的最小值为π，则(　　)‎ A．ω＝2，θ＝ B．ω＝，θ＝ C．ω＝，θ＝ D．ω＝2，θ＝ 二、填空题 ‎13、已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝‎20 cm，则扇形的周长为________．‎ ‎14、方程sin πx＝x的解的个数是________．‎ ‎15、已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f()＝________.‎ ‎16、已知函数y＝sin在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是________．‎ 三、解答题 ‎17、已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0且ω>0,0<φ<)的部分图象，如图所示．‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)若方程f(x)＝a在上有两个不同的实根，试求a的取值范围．‎ ‎18、求函数y＝3－4sin x－4cos2x的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x的值．‎ ‎19、已知函数y＝acos＋3，x∈的最大值为4，求实数a的值．‎ ‎20、如右图所示，函数y＝2cos(ωx＋θ)(x∈R，ω>0,0≤θ≤)的图象与y轴交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.‎ ‎(1)求θ和ω的值；‎ ‎(2)已知点A(，0)，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈[，π]时，求x0的值．‎ ‎21、已知α是第三象限角，f(α)＝.‎ ‎(1)化简f(α)；‎ ‎(2)若cos＝，求f(α)的值；‎ ‎(3)若α＝－1 860°，求f(α)的值．‎ ‎22、在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)当x∈时，求f(x)的值域．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、A　[∵y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(，0)中心对称，即3cos(2×＋φ)＝0，‎ ‎∴＋φ＝＋kπ，k∈Z.‎ ‎∴φ＝－＋kπ.∴当k＝2时，|φ|有最小值.]‎ ‎2、D　‎ ‎3、C ‎4、A　[sin(2π－α)＝－sin α＝，∴sin α＝－.又α∈(，2π)，∴cos α＝.‎ ‎∴＝，故选A.]‎ ‎5、C　[检验f＝sin是否取到最值即可．]‎ ‎6、B　[sin α－cos α>0且tan α>0，‎ ‎∴α∈或α∈.]‎ ‎7、D　[当a＝0时f(x)＝1，C符合，‎ 当0<|a|<1时T>2π，且最小值为正数，A符合，‎ 当|a|>1时T<2π，B符合．‎ 排除A、B、C，故选D.]‎ ‎8、B　[y＝sin＝cos＝cos＝cos＝cos2.]‎ ‎9、A　[由图象知A＝10，＝－＝，‎ ‎∴T＝，∴ω＝＝100π.‎ ‎∴I＝10sin(100πt＋φ)．‎ ‎(，10)为五点中的第二个点，‎ ‎∴100π×＋φ＝.‎ ‎∴φ＝.∴I＝10sin(100πt＋)，‎ 当t＝秒时，I＝－‎5 A，故选A.]‎ ‎10、B　‎ ‎11、C　[由函数向右平移π个单位后与原图象重合，得π是此函数周期的整数倍．又ω>0，‎ ‎∴·k＝π，∴ω＝k(k∈Z)，∴ωmin＝.]‎ ‎12、A　[∵y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，∴θ＝.‎ ‎∵图象与直线y＝2的两个交点横坐标为x1，x2，‎ ‎|x2－x1|min＝π，即Tmin＝π，‎ ‎∴＝π，ω＝2，故选A.]‎ 二、填空题 ‎13、(6π＋40) cm 解析　∵圆心角α＝54°＝，∴l＝|α|·r＝6π.‎ ‎∴周长为(6π＋40) cm.‎ ‎14、7‎ 解析　在同一坐标系中作出y＝sin πx与y＝x的图象观察易知两函数图象有7个交点，所以方程有7个解．‎ ‎15、0‎ 解析　方法一　由图可知，T＝－＝π，即T＝，‎ ‎∴ω＝＝3.∴y＝2sin(3x＋φ)，‎ 将(，0)代入上式sin(＋φ)＝0.‎ ‎∴＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝kπ－.‎ ‎∴f()＝2sin(＋kπ－)＝0.‎ 方法二　由图可知，T＝－＝π，即T＝.‎ 又由正弦图象性质可知，若f(x0)＝f(x0＋)＝0，∴f()＝f(＋)＝f()＝0.‎ ‎16、8‎ 解析　‎ T＝6，则≤t，‎ ‎∴t≥，∴tmin＝8.‎ 三、解答题 ‎17、解　(1)由图象易知函数f(x)的周期为 T＝4×＝2π，A＝1，所以ω＝1.‎ 方法一　由图可知此函数的图象是由y＝sin x的图象向左平移个单位得到的，故φ＝，‎ 所以函数解析式为f(x)＝sin.‎ 方法二　由图象知f(x)过点，则sin＝0，∴－＋φ＝kπ，k∈Z.‎ ‎∴φ＝kπ＋，k∈Z，‎ 又∵φ∈，∴φ＝，‎ ‎∴f(x)＝sin.‎ ‎(2)方程f(x)＝a在上有两个不同的实根等价于y＝f(x)与y＝a的图象在上有两个交点，在图中作y＝a的图象，如图为函数f(x)＝sin在上的图象，当x＝0时，f(x)＝，当x＝时，f(x)＝0，由图中可以看出有两个交点时，a∈∪(－1,0)．‎ ‎18、解　y＝3－4sin x－4cos2x＝4sin2x－4sin x－1‎ ‎＝42－2，令t＝sin x，则－1≤t≤1，‎ ‎∴y＝42－2 (－1≤t≤1)．‎ ‎∴当t＝，即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ(k∈Z)时，‎ ymin＝－2；‎ 当t＝－1，即x＝＋2kπ (k∈Z)时，ymax＝7.‎ ‎19、解　∵x∈，∴2x＋∈，‎ ‎∴－1≤cos≤.‎ 当a>0，cos＝时，y取得最大值a＋3，‎ ‎∴a＋3＝4，∴a＝2.‎ 当a<0，cos＝－1时，y取得最大值－a＋3，‎ ‎∴－a＋3＝4，∴a＝－1，‎ 综上可知，实数a的值为2或－1.‎ ‎20、解　(1)将x＝0，y＝代入函数y＝2cos(ωx＋θ)中，得cos θ＝，‎ 因为0≤θ≤，所以θ＝.‎ 由已知T＝π，且ω>0，得ω＝＝＝2.‎ ‎(2)因为点A(，0)，Q(x0，y0)是PA的中点，‎ y0＝，所以点P的坐标为(2x0－，)．‎ 又因为点P在y＝2cos(2x＋)的图象上，且≤x0≤π，‎ 所以cos(4x0－)＝，且≤4x0－≤，‎ 从而得4x0－＝，或4x0－＝，即x0＝，或x0＝.‎ ‎21、解　(1)f(α)＝＝＝cos α.‎ ‎(2)∵cos＝cos＝－sin α，‎ 又cos＝，∴sin α＝－.‎ 又α是第三象限角，‎ ‎∴cos α＝－＝－，‎ ‎∴f(α)＝－.‎ ‎(3)f(α)＝f(－1 860°)＝cos(－1 860°)＝cos 1 860°＝cos(5×360°＋60°)＝cos 60°＝.‎ ‎22、解　(1)由最低点为M得A＝2.‎ 由x轴上相邻两个交点之间的距离为，‎ 得＝，即T＝π，∴ω＝＝＝2.‎ 由点M在图象上得2sin＝－2，‎ 即sin＝－1，‎ 故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，‎ ‎∴φ＝2kπ－(k∈Z)．‎ 又φ∈，∴φ＝，‎ 故f(x)＝2sin.‎ ‎(2)∵x∈，∴2x＋∈，‎ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；‎ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，‎ 故f(x)的值域为[－1,2]．‎