2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§12 推理与证明（试题部分）

2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§12 推理与证明（试题部分）

专题十二　推理与证明 探考情 悟真题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测 热度 考题示例 考向 关联考点 合情推理与演绎推理 ‎①了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用;②了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行简单的推理;③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 ‎2019课标全国Ⅱ,5,5分 合情推理 ‎—‎ ‎★★☆‎ ‎2016课标全国Ⅱ,16,5分 合情推理 ‎—‎ ‎2019课标全国Ⅰ,4,5分 合情推理 ‎—‎ 直接证明与间接证明 ‎①了解直接证明的两种基本方法:分析法与综合法,并了解分析法和综合法的思考过程、特点;②了解间接证明的一种基本方法:反证法,并了解反证法的思考过程、特点 ‎2018江苏,20,16分 直接证明 等差、等比数列 的综合应用 ‎★★☆‎ 分析解读 本专题在高考中主要考查以下几个方面:1.归纳推理与类比推理以选择题、填空题的形式出现,考查学生的逻辑推理能力,而演绎推理多出现在立体几何的证明中;2.直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法,常以不等式、立体几何、解析几何、函数 为载体,考查综合法、分析法及反证法.本专题内容在高考中的分值分配:①归纳推理与类比推理分值为5分左右,属于中档题;②证明问题以解答题形式出现,分值为12分左右,属于中高档题.‎ 破考点 练考向 ‎【考点集训】‎ 考点一　合情推理与演绎推理 ‎1.(2019安徽六校教育研究会第一次素质测试,8)如图,第1个图形由正三角形扩展而成,共12个顶点.第n个图形由正(n+2)边形扩展而来,其中n∈N*,则第n个图形的顶点个数是(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.(2n+1)(2n+2) B.3(2n+2)‎ C.2n(5n+1) D.(n+2)(n+3)‎ 答案　D　‎ ‎2.(命题标准样题,14)甲、乙、丙、丁参加一比赛,赛前甲、乙、丙分别作出预测.‎ 甲说:乙会获得奖牌;‎ 乙说:丙会获得金牌;‎ 丙说:丁不会获得银牌.‎ 比赛结果有3人分别获得金牌、银牌和铜牌,另外1人没获得奖牌.如果甲、乙、丙中有一人获得了金牌,而且只有获得金牌的那个人预测正确,则获得金牌的是　　　　. ‎ 答案　甲 ‎3.(2019广东珠海期末,14)某班级的四位学生A、B、C、D参加了文科综合知识竞赛,在竞赛结果公布前,地理老师预测得冠军的是A或B;历史老师预测得冠军的是C;政治老师预测得冠军的不可能是A或D;语文老师预测得冠军的是B,而班主任老师看了竞赛结果后说以上只有两位老师都说对了,则得冠军的是　　　　. ‎ 答案　C 考点二　直接证明与间接证明 ‎1.(2018湖北普通高中联考,7)分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a0 B.c-a>0‎ C.(c-b)(c-a)>0 D.(c-b)(c-a)<0‎ 答案　C　‎ ‎2.(2020届河南许昌质量检测,7)用反证法证明命题“已知x,y∈N*,如果xy可被7整除,那么x,y至少有一个能被7整除”时,假设的内容是(　　)‎ A.x,y都不能被7整除 B.x,y都能被7整除 C.x,y只有一个能被7整除 D.只有x不能被7整除 答案　A　‎ 炼技法 提能力 ‎【方法集训】‎ 方法　归纳推理与类比推理的应用 ‎1.(2019江西吉安教学质量检测,9)斐波那契数列又称黄金分割数列,指的是这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…,在数学上,斐波那契数列{an}定义为a1=1,a2=1,an+2=an+an+1,斐波那契数列有种看起来很神奇的巧合,如根据an+2=an+an+1可得an=an+2-an+1,所以a1+a2+…+an=(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an+2-an+1)=an+2-a2=an+2-1,类比这一方法,可得a‎1‎‎2‎+a‎2‎‎2‎+…+a‎10‎‎2‎=(　　)‎ A.714 B.1 870 C.4 895 D.4 896‎ 答案　C　‎ ‎2.(2018广东肇庆一模,14)观察下列不等式:1+‎1‎‎2‎‎2‎<‎3‎‎2‎,1+‎1‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎3‎‎2‎<‎5‎‎3‎,1+‎1‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎3‎‎2‎+‎1‎‎4‎‎2‎<‎7‎‎4‎,……,照此规律,第五个不等式为　　　　　　　　　　　　. ‎ 答案　1+‎1‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎3‎‎2‎+‎1‎‎4‎‎2‎+‎1‎‎5‎‎2‎+‎1‎‎6‎‎2‎<‎‎11‎‎6‎ ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 ‎1.(2019课标全国Ⅰ,4,5分)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是‎5‎‎-1‎‎2‎‎5‎‎-1‎‎2‎≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是‎5‎‎-1‎‎2‎.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm 答案　B　‎ ‎2.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是　　　　. ‎ 答案　1和3‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 考点一　合情推理与演绎推理 ‎1.(2015陕西,16,5分)观察下列等式 ‎1-‎1‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎ ‎1-‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎-‎1‎‎4‎=‎1‎‎3‎+‎‎1‎‎4‎ ‎1-‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎-‎1‎‎4‎+‎1‎‎5‎-‎1‎‎6‎=‎1‎‎4‎+‎1‎‎5‎+‎‎1‎‎6‎ ‎……‎ 据此规律,第n个等式可为　 . ‎ 答案　1-‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎-‎1‎‎4‎+…+‎1‎‎2n-1‎-‎1‎‎2n=‎1‎n+1‎+‎1‎n+2‎+…+‎‎1‎‎2n ‎2.(2016山东,12,5分)观察下列等式:‎ sinπ‎3‎‎-2‎‎+sin‎2π‎3‎‎-2‎=‎4‎‎3‎×1×2;‎ sinπ‎5‎‎-2‎‎+sin‎2π‎5‎‎-2‎+sin‎3π‎5‎‎-2‎+sin‎4π‎5‎‎-2‎=‎4‎‎3‎×2×3;‎ sinπ‎7‎‎-2‎‎+sin‎2π‎7‎‎-2‎+sin‎3π‎7‎‎-2‎+…+sin‎6π‎7‎‎-2‎=‎4‎‎3‎×3×4;‎ sinπ‎9‎‎-2‎‎+sin‎2π‎9‎‎-2‎+sin‎3π‎9‎‎-2‎+…+sin‎8π‎9‎‎-2‎=‎4‎‎3‎×4×5;‎ ‎……‎ 照此规律,‎ sinπ‎2n+1‎‎-2‎‎+sin‎2π‎2n+1‎‎-2‎+sin‎3π‎2n+1‎‎-2‎+…+sin‎2nπ‎2n+1‎‎-2‎=　　　　　　. ‎ 答案　‎‎4n(n+1)‎‎3‎ ‎3.(2017北京,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:‎ ‎(i)男学生人数多于女学生人数;‎ ‎(ii)女学生人数多于教师人数;‎ ‎(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.‎ ‎①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为　　　　; ‎ ‎②该小组人数的最小值为　　　　. ‎ 答案　①6　②12‎ 考点二　直接证明与间接证明 ‎　(2018江苏,20,16分)设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,{bn}是首项为b1,公比为q的等比数列.‎ ‎(1)设a1=0,b1=1,q=2,若|an-bn|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围;‎ ‎(2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1,m‎2‎],证明:存在d∈R,使得|an-bn|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).‎ 答案　(1)由条件知an=(n-1)d,bn=2n-1.‎ 因为|an-bn|≤b1对n=1,2,3,4均成立,‎ 即|(n-1)d-2n-1|≤1对n=1,2,3,4均成立.‎ 即1≤1,1≤d≤3,3≤2d≤5,7≤3d≤9,得‎7‎‎3‎≤d≤‎5‎‎2‎.‎ 因此,d的取值范围为‎7‎‎3‎‎,‎‎5‎‎2‎.‎ ‎(2)由条件知:an=b1+(n-1)d,bn=b1qn-1.‎ 若存在d∈R,使得|an-bn|≤b1(n=2,3,…,m+1)均成立,‎ 即|b1+(n-1)d-b1qn-1|≤b1(n=2,3,…,m+1).‎ 即当n=2,3,…,m+1时,d满足qn-1‎‎-2‎n-1‎b1≤d≤qn-1‎n-1‎b1.‎ 因为q∈(1,m‎2‎],‎ 所以10,对n=2,3,…,m+1均成立.‎ 因此,取d=0时,|an-bn|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立.‎ 下面讨论数列qn-1‎‎-2‎n-1‎的最大值和数列qn-1‎n-1‎的最小值(n=2,3,…,m+1).‎ ‎①当2≤n≤m时,qn‎-2‎n-qn-1‎‎-2‎n-1‎=nqn-qn-nqn-1‎+2‎n(n-1)‎=n(qn-qn-1‎)-qn+2‎n(n-1)‎,‎ 当10.‎ 因此,当2≤n≤m+1时, 数列qn-1‎‎-2‎n-1‎单调递增,‎ 故数列qn-1‎‎-2‎n-1‎的最大值为qm‎-2‎m.‎ ‎②设f(x)=2x(1-x),当x>0时,f '(x)=(ln 2-1-xln 2)2x<0.‎ 所以f(x)单调递减,‎ 从而f(x)‎3‎‎4‎,‎ 所以f(x)>‎3‎‎4‎.‎ 综上,‎3‎‎4‎0,n∈N*,‎ 所以ST≤a1+a2+…+ak=1+3+…+3k-1=‎1‎‎2‎(3k-1)<3k.‎ 因此,STπ‎2‎;(2)若ab>c2,则C>π‎3‎;‎ ‎(3)若a3+b3=c3,则C<π‎2‎;(4)若2ab>(a+b)c,则C>π‎2‎;‎ ‎(5)若(a2+b2)c2<2a2b2,则C<π‎3‎.‎ A.(1)(2)(3) B.(1)(2)(5)‎ C.(1)(3)(4) D.(1)(3)(5)‎ 答案　D　‎ ‎7.(2020届河南新乡质量检测,7)从A地到B地有三条路线:1号路线,2号路线,3号路线.小王想自驾从A地到B地,因担心堵车,于是向三位司机咨询,司机甲说:“2号路线不堵车,3号路线不堵车.”司机乙说:“1号路线不堵车,2号路线不堵车.”司机丙说:“1号路线堵车,2号路线不堵车.”如果三位司机中只有一位的说法是完全正确的,那么小王最应该选择的路线是(　　)‎ A.1号路线 B.2号路线 C.3号路线 D.2号路线或3号路线 答案　B　‎ ‎8.(2020届江西临川质量检测,8)已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推,若该数列前n项和N满足:①N>80;②N是2的整数次幂,则满足条件的最小的n为(　　)‎ A.21 B.91 C.95 D.101‎ 答案　C　‎ ‎9.(2020届河南安阳质量检测,6)中国古代用算筹来进行记数,算筹的摆放形式有纵、横两种形式(如图所示),表示一个多位数时,像阿拉伯记数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,其中个位、百位、万位、……用纵式表示,十位、千位、十万位、……用横式表示,则56 846可用算筹表示为(　　)‎ 答案　B　‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎10.(2019广东惠州模拟,15)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中,用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列,俗称“杨辉三角形”,该数表的规律是每行首尾数字均为1,从第三行开始,其余的数字是它“上方”左右两个数字之和.现将杨辉三角形中的奇数换成1,偶数换成0,得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表,由上往下数,记第n行各数字的和为Sn,如S1=1,S2=2,S3=2,S4=4,S5=2,……,则S33=　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎11.(2018河北衡水中学模拟,16)数列{an}满足an+1=‎1‎‎2‎an‎,an是正偶数,‎‎3an+1,an是正奇数,‎已知a7=2,{an}的前7项和的最大值为S,把a1的所有可能取值从小到大排成一个新数列{bn},{bn}所有项的和为T,则S-T=　　　　. ‎ 答案　64‎ ‎12.(命题标准样题,15)两位同学在研究三角形时,分别用三角形的周长和面积刻画三角形三个顶点的“集中程度”,你认为这两位同学的刻画方式更合理的是　　　　　　　　　　;请你再给出一种刻画三角形三个顶点的“集中程度”的方式: ‎ ‎ 　. ‎ 答案　三角形的周长;三角形最长边的长度、三角形三条中线的长度和、三角形三个顶点到内心的距离之和(其他合理答案均可)‎