人教大纲版高考数学题库考点11 三角函数的图像及性质

人教大纲版高考数学题库考点11 三角函数的图像及性质

‎ ‎ 考点11 三角函数的图象及性质 ‎1.（2010·四川高考理科·Ｔ6）将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把 所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【命题立意】主要考查三角函数图象的平移变换，周期变换.‎ ‎【思路点拨】变换原则：平移变换，左加右减；周期变换为前系数的变换.‎ ‎【规范解答】选C.将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解 析式为，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解 析式是.故选C.‎ ‎【方法技巧】平移变换是指系数为1时的变换.横坐标伸长到原来的2倍，即的系数变为原来的.‎ ‎2.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ7）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）‎ ‎（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位 ‎（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位 ‎【命题立意】本题考查了三角函数的图象平移变换的知识.‎ ‎【思路点拨】运用平移知识解决.‎ ‎【规范解答】 选B 由得2φ，所以.‎ ‎【方法技巧】⑴当函数解析式中x的系数不是1时，平移变换时要先提出x的系数，此题防止错选D项.‎ ‎⑵平移的方向为 “左加右减”. ‎ ‎3.（2010·江西高考文科·Ｔ１２）如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数， ，的图象如下.结果发现其中有一位同学作出的图象有错误，那么有错误的图象是（ ）‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎【命题立意】本题主要考查三角函数图象的作图、识图能力.‎ ‎【思路点拨】将三个函数的图象作在同一个坐标系中进行比较即可，或仔细观察四个选项的 相同与不同之处.‎ ‎【规范解答】选C.作图，结合选项进行比较，A，B，D相同，只有C不同.‎ ‎【方法技巧】从题设条件出发，结合所学知识点，根据“四选一”的要求，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断.这种方法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的变化情况较多时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以排除，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选项.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中考查较多.‎ ‎4.（2010·湖北高考文科·Ｔ2）函数f(x)= 的最小正周期为（ ）‎ ‎(A) (B) (C)2 (D)4‎ ‎【命题立意】本题主要考查型函数的周期．‎ ‎【思路点拨】型函数的最小正周期.‎ ‎【规范解答】选D.由型函数的最小正周期可得函数 f(x)=的最小正周期.‎ ‎【方法技巧】（）型函数的最小正周期；型函数的最小正周期.‎ ‎5.（2010·上海高考理科·Ｔ１5）“”是“”成立的（ ）‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎（C）充分条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【命题立意】本题考查了充要条件、三角函数等有关知识，体现了等价转化的思想．‎ ‎【思路点拨】先将等价转化，求出相应的x的值，再与作比较．‎ ‎【规范解答】选A. ，‎ ‎，‎ 所以“”是“”成立的充分不必要条件．‎ ‎【方法技巧】（1）,则A是B的充分条件，B是A的必要条件；（2）“”是的充分条件，是的必要条件．‎ ‎ 第（6）题 ‎6.（2010·重庆高考理科·Ｔ6）已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）‎ ‎（A）=1，= （B）=1，= ‎ ‎（C）=2，= （D）=2，=‎ ‎【命题立意】本小题考查形如的函数的图象和性质，如周期，平移等，考查运算求解能力，考查数形结合的思想方法.‎ ‎【思路点拨】从图象上找出两个已知点（，1）和是关键.‎ ‎【规范解答】选D .（方法一）观察函数的图象可知，图象过点（，1）和，所以 所以 ‎（方法二）观察函数的图象可知，是四分之一个周期，所以函数的最小正周期是，所以，，排除A，B，再由，所以，选D.‎ ‎【方法技巧】由图象中的条件判断出到 之间的长度是四分之一个周期可以简捷解答.‎ ‎7.（2010·江西高考文科·Ｔ６）函数的值域为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【命题立意】本题主要考查函数的性质：定义域和值域；考查换元及转化与化归的数学思想，考查考生的运算求解能力．‎ ‎【思路点拨】可用换元法转化为二次函数求值域.‎ ‎【规范解答】选C.令则故选C.‎ ‎【方法技巧】求函数的值域一般有以下常见的方法：直接法、公式法、分离变量法、单调性法、反函数法、判别式法、换元法、利用有界性、求导法、利用均值不等式等，平时应认真体会并熟练掌握.‎ ‎8.（2010·重庆高考文科·Ｔ6）下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【命题立意】本小题考查形如的函数的性质：周期性、单调性、图象的平移变换等，考查运算求解的能力，考查数形结合的思想.‎ ‎【思路点拨】先根据周期排除几个选项，再根据函数单调性确定选项.‎ ‎【规范解答】选A .因为函数的周期为，所以，，排除C,D；再选取你熟悉的正弦或余弦函数，取原点附近的一个减区间，如函数在，即上是减函数，所以在上为减函数；或函数在，即上是减函数，在上是增函数.‎ ‎【方法技巧】（1）采用排除法，分步判断选项.（2）在选取函数的减区间时,注意由正弦或余弦函数的图象平移的方向和最短距离，选取原点右侧的第一个减区间判断.‎ ‎9.（2010·江西高考理科·Ｔ１７）已知函数．‎ ‎（1）当时，求在区间上的取值范围．‎ ‎（2）当时，，求的值．‎ ‎【命题立意】本题主要考查二倍角的正弦、余弦和正切、两角差的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查基本运算能力。‎ ‎【思路点拨】（1）先化简，再求取值范围.（２）也要先对进行化简，再用二倍角公式求出和 的值，最后代入计算.‎ ‎【规范解答】（1）当时，‎ ‎，‎ 又由得，所以，‎ 从而．‎ ‎（２）+-‎ ‎+‎ ‎，‎ 由得=，‎ ‎【方法技巧】三角函数的综合问题是每一年必考的内容，主要考查三角函数的变换.特别是二倍角公式，平时应加强对这些知识点的训练并熟练掌握函数的性质.对于本题第(2)问，应先化简到只含和的形式，再利用条件求解.‎ ‎10.（2010·湖北高考文科·Ｔ16）已经函数 ‎(Ⅰ)函数的图象可由函数的图象经过怎样的变化得出？‎ ‎（Ⅱ）求函数的最小值，并求使取得最小值的的集合.‎ ‎【命题立意】本题主要考查三角函数式的恒等变换、图象变换以及求三角函数的最值，同时考查考生的运算求解能力．‎ ‎【思路点拨】(Ⅰ) 先将函数解析式等价变形为的形式，再与的解析式对照，比较它们的振幅、周期、相位等写出变化过程.‎ ‎（Ⅱ）将函数变形为或的形式，再利用正、余弦函数的图象和性质求出最小值时x的集合.‎ ‎【规范解答】(Ⅰ)，所以要得到的图象只需把的图象向左平移个单位长度，再将所得的图象向上平移个单位长度即可。‎ ‎（Ⅱ），‎ 当且仅当Z)时取得最小值，此时对应的的集合为{ Z}。‎ ‎【方法技巧】1、三角函数中的图象变换问题一般要先将表达式化简到或的形式（两函数所用三角函数要同名），然后再通过比较两函数的振幅、周期、相位等写出变化过程。‎ ‎2、三角函数中的最值问题一般要先借用同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角公式等化到或的形式，然后结合三角函数的图象和性质求解。‎ ‎11.（2010·湖北高考理科·Ｔ16）已知函数 ‎，．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期.‎ ‎（Ⅱ）求函数的最大值，并求使取得最大值的的集合．‎ ‎【命题立意】本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式的应用，考查函数=（或=）的最小正周期求法以及利用函数图象求函数值域,考查考生的运算求解能力.‎ ‎【思路点拨】（Ⅰ）将函数化简成的形式，然后利用公式求其最小正周期.（Ⅱ）将函数化简成Acos的形式，然后利用余弦函数的性质求其最大值以及取得最大值的的集合.‎ ‎【规范解答】（Ⅰ）‎ ‎，‎ 因此的最小正周期为.‎ ‎（Ⅱ），当且仅当Z)时，取得最大值，取得最大值时，对应的的集合为{Z}‎ ‎【方法技巧】复杂的三角函数问题如求周期、值域等，首先要将函数解析式利用同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等化到最简，然后结合三角函数的图象和性质求解。‎ ‎12.（2010·江西高考文科·Ｔ1９）已知函数. ‎ ‎（1）若，求.‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎ 【命题立意】本题主要考查二倍角的正弦、余弦和正切、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查基本运算能力.‎ ‎ 【思路点拨】（1）先对进行化简，再用二倍角公式求出和的值，最后代入计算；‎ ‎（２）也要先化简，再求取值范围.‎ ‎ 【规范解答】（1）‎ ‎，‎ 由得，‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）得，‎ 由得，所以 从而.‎ ‎【方法技巧】三角函数的综合问题是每一年必考的内容，主要考查三角函数的变换.特别是二倍角公式，平时应加强对这些知识点的训练并熟练掌握函数的性质.对于本题第(1)问，应先化简到只含和的形式，再利用条件求解. ‎